二重积分讲解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,二重积分,11/1/2026,一,.,二重积分的性质,二,.,二重积分的算法,三,.,二重,积分与,极坐标,四,.二重积分的应用,学习内容：,11/1/2026,一,.,二重积分的性质,1.,线性性质,（其中,:,是常数）,2.,对区域的有限可加性,若区域,D,分为,D1,，,D2,两个部分区域,则：,3.,若在区域,D,上总有,，则有不等式,4.,若在区域,D,上有,为区域,D,的面积）,（,5.,估值不等式,设,M,与,m,分别是函数,Z=f(x,y),在,D,上的最大值与最小值，,是,D,的面积,6.,中值定理,若,f(x,y,）在闭区域,上连续，是,D,的面积，则在,D,内至少存在一点 使得,例,1,：,估计二重积分,的值，,D,是圆域,解,:,求被积函数,在区域,上可能的最值,(0,0),是驻点，,f(0,0)=9,，在边界上：,，,于是有：,例,2,：,比较积分,，,的大小,其中,D,是由直线,和,所围成的,解：因为积分域,D,在直线想,x+y=1,的下方，所以对于任意点,均有,从而有,而,故由二重积分的性质得,二,.,二重积分的算法,在区间,a,b,上任意取一个点,作平行于,yoz,面的平面,x=,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间,为底，曲线,为曲边的曲边梯形,其面积为,该曲顶柱体的体积为,D,:,x,1,(,y,),x,x,2,(,y,),c,y,d,I=,0,y,x,x,2,(,y,),x,1,(,y,),c,d,y,二重积分计算的两种积分顺序,D,0,y,x,c,d,y,D,x,2,(,y,),x,1,(,y,),I=,二重积分计算的两种积分顺序,.,D,:,x,1,(,y,),x,x,2,(,y,),c,y,d,0,y,x,c,d,y,D,D,:,y,1,(,x,),y,y,2,(,x,),a,x,b,0,y,x,I=,a,b,y,1,(,x,),y,2,(,x,),D,x,2,(,y,),x,1,(,y,),x,I=,二重积分计算的两种积分顺序,.,D,:,x,1,(,y,),x,x,2,(,y,),c,y,d,0,y,x,c,d,y,D,0,y,x,I=,a,b,y,1,(,x,),y,2,(,x,),D,x,2,(,y,),x,1,(,y,),x,6.,二重积分计算的两种积分顺序,.,I=,D,:,x,1,(,y,),x,x,2,(,y,),c,y,d,D,:,y,1,(,x,),y,y,2,(,x,),a,x,b,0,y,x,c,d,y,D,0,y,x,I=,a,b,y,1,(,x,),y,2,(,x,),D,x,2,(,y,),x,1,(,y,),x,二重积分计算的两种积分顺序,.,I=,D,:,x,1,(,y,),x,x,2,(,y,),c,y,d,D,:,y,1,(,x,),y,y,2,(,x,),a,x,b,1,1,y,=,x,2,0,y,x,D,2,先对,y,积分（从下到上）,1,画出区域,D,图形,3,先对,x,积分（从左到右）,.,.,.,y,=,x,.,.,.,例,3,：,用两种顺序计算,一 先对,x,积分,y,x,o,a,b,D,y,x,o,a,b,D,y,x,o,a,b,D,.,.,.,.,例,4,：,将二重积分化成二次积分,二 先对,y,积分,y,x,o,a,b,y,x,o,a,b,y,x,o,a,b,D,D,D,.,.,.,.,.,举例说明如何交换二次积分的次序,（1）对于给定的二重积分 先根据其积分限,画出积分区域D,（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限,（3）写出结果,例,1,将 交换积分次序。,解：由 得积分区域,：,令 ，画出 的示意图如图。,因为 ，所以,：,画出 的示意图如图。,例,2,将 交换积分次序。,解：由 得积分区域,：,令 ，,因为 ，所以,：,极坐标系下的面积元素,将,变换到,极坐标系,0,D,用,坐标线,:,=,常数,；,r,=,常数,分割区域,D,i,r,i,r,i+,1,.,.,.,.,.,.,i,i,i,+,i,I,=,r,i,r,.,.,三,.,二重积分与极坐标,怎样利用极坐标计算二重积分,1.,极点不在区域,D,的内部,0,A,B,F,E,D,D,:,r,r,怎样利用极坐标计算二重积分,(1),0,A,B,F,E,D,D,:,.,1.,极点不在区域,D,的内部,r,怎样利用极坐标计算二重积分,(1),0,A,B,F,E,D,D,:,.,步骤：,1,从,D,的图形找出,r,上、下限；,2,化被积函数为极坐标形式；,3,面积元素,d,x,d,y,化为,r,d,r,d,.,1.,极点不在区域,D,的内部,r,2.,极点位于区域,D,的内部,0,D,r,D,:,怎样利用极坐标计算二重积分,(2),r,D,:,D,0,怎样利用极坐标计算二重积分,(2),.,2.,极点位于区域,D,的内部,r,D,:,.,D,0,步骤：,1,从,D,的图形找出,r,上、下限；,2,化被积函数为极坐标形式；,3,面积元素,d,x,d,y,化为,r,d,r,d,怎样利用极坐标计算二重积分,(2),.,2.,极点位于区域,D,的内部,r,0,y,x,2,a,.,.,解,例,5,：,.,此题用直角系算麻烦，,需使用,极坐标系！,2,1,D,0,y,x,D,:,变换到极坐标系,.,.,例,6:,计算,D,:,=1,和,=2,围成,0,y,x,1,2,y=x,D,.,.,.,例,7,：,四.二,重积分的应用,（,一,）,、,曲面的面积,（,二,）,、,平面薄片的质心,（,三,）,、,平面薄片的转动惯量,(,四,）,、,平面薄片对质点的引力,（五）,、,经济应用,卫星,实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的,轨道位于地球的赤道平面内,且可近似,认为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率,与地球自转的角速率相同,即人们看到,它在天空不动.若地球半径取为R,问,卫星距地面的高度h应为多少?,通讯卫星的覆盖面积是多大?,一、曲面的面积,一、曲面的面积,设光滑曲面,则面积,A,可看成曲面上各点,处小切平面的面积,d,A,无限积累而成.,设它在,D,上的投影为,d,(称为面积元素),则,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,例1,求半径为R的球的表面积：,解,球面方程为：,在第一卦限内球面的方程为,在,平面上的投影区域可表示为,D,：,x,2,+,y,2,R,2,，,x,0，,y,0,.,又,于是，所求球的表面积为,即球的表面积,它等于大圆面积的4倍,.,二、平面薄片的质心,设空间有,n,个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心标,设物体占有平面域,D,有连续密度函数,则,分别位于,为,为,采用,“,大化小,常代变,近似和,取极限,”,可导出其,质心,公式,若物体为占有,xoy,面上区域,D,的平面片,(,A,为,D,的面积),得,D,的,质心坐标,:,则它的质心坐标为,其面密度,例5.,求位于两圆,和,之间均匀薄的质心.,解:,利用对称性可知,而,三、平面薄片的转动惯量,设物体占有平面区域,D,有连续分布的密度数,该物体位于(,x,y,)处的,微元,因此物体,对 x 轴 的转动惯量:,对 x 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,同理可得：,例7.,求半径为,a,的均匀半圆薄片对其直径,解:,建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,G,为引力常数,四,、平面薄片对质点的引力,设物体占有平面区域,D,求该薄片对于点,利用元素法,在,D上,积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,连续,处单位质点的引力,例9.,设面密度为,半径为,R,的圆形薄片,求它对位于点,解,:由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,五.经济应用,谢谢观看,2026-11-01,