有效教学-数学核心素养.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,有效教学,培养和发展学生的核心素养,教研室：潘祥仙,学生发展核心素养,核心素养：,是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的,必备品格,和,关键能力,。,基本特点：是所有学生应具有的最关键、最必要的基础素养,是知识、能力和态度的综合表现,可以通过接受教育来形成和发展,具有发展的连续性和阶段性,兼具个人价值和社会价值,学生发展核心素养是一个体系，其作用具有整合性,核心素养,人与社会：社会责任 国家认同 国际理解,人与文化：人文底蕴 科学精神 审美情趣,人与自我：身心健康 学会学习 实践创新,核心素养对基础教育的启示,1.,从学科为中心向以学生为中心转变,2.,从教书向育人转变,3.,从关注知识为中心向关注学生全面发展为中心转变,4.,从关注学生某一学段的发展向关注学生一生发展转变,5.,从关注为学生做了什么向关注学生的实际获得转变,基于核心素养指导考试评价是抓手。着眼于学生未来的发展性长期目标，从知识中心转向素养中心的考试内容改革，试题体现利用所学知识解决、解释生活中的实际问题。,核心素养对教育评价的启示,什么是数学？,数学是研究数量关系和空间形式的科学。,数学研究的对象不是具体的物质或物质运动形态，数学研究的对象是从众多的物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。在提高一个人的推理、抽象、分析、创造能力方面，数学训练的作用，是其他学科难以替代的。,数学是要让身边的事物变得更简单的学问。数学就是利用纸笔来表达、解决现实生活中的问题。也就是说，只要能进行抽象化，什么情况都可以套用数学来解决。,三句耐人寻味的话,一个人若不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。,一个学科，只有当它成功地运用数学的时候，才算达到了成熟的程度。,一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量,。,什么是数学素养？,“数学素养”的通俗说法,把所有的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。,“,数学素养,”,是数学让人终生受益的精华。比如：,从数学角度看问题的出发点；,有条理的理性思维，严密地思考、求证，简洁、清晰、准确地表达；,在解决问题时，总结工作时，逻辑推理的意识和能力；,对所从事的工作，合理地量化和简化，周到地运筹帷幄，等等。,“数学素养”的专业说法,主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；,熟练地用准确、简明、规范的数学语言，表达自己数学思想的素养；,具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；,对各种问题以,“,数学方式,”,的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；,善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。,数学核心素养,：数学抽象 逻辑推理,数学建模 直观想象 数学应用,数据分析,能有效地使用数学的思考方式。,1.,准确地找出问题的本质。,2.,能够适当地把它抽象化。,3.,用简洁而优美的数学方法对其处理。,4.,拥有数学的应用能力。,什么是优异的数学感觉？,企业招聘员工考察数学素养的两道题,1.,甲乙两人同时同地赛跑，甲到达,100,米终点线时，乙才跑到,90,米。现如果让甲的起跑线退后,10,米，这时两人再同时起跑比赛，比赛的结果会怎样？为什么？,2.,有三个筐，一个筐装桔子，一个筐装苹果，一个筐混装着桔子和苹果。装完以后封好了，然后做了三个标签（桔子，苹果，混装），分别往上贴，由于马虎，全贴错了。请你想一个办法，只许从某一个筐中拿出一个水果查看，就能够纠正所有的标签。,数学的基本思想主要指：,数学抽象的思想；,数学推理的思想；,数学模型的思想,柯尼斯堡七桥问题,18,世纪，在东普鲁士的柯尼斯堡，人们对于一个散步问题非常感兴趣。,镇上有七座桥，散步时必须经过每座桥一次，条件是每个岸边和小岛都可以数次进出，但同一座桥不得重复经过。,一、数学中的抽象,欧拉是以,“,反证法,”,来解决这个问题的。如果这个问题的答案可以成立，那我们假设其中某个小岛既不是起点也不是终点，只是散步途中所经过的点，这么一来，经由一座桥来到这个点散步，就一定要能出去，而规定同一座桥不得重复经过，所以一进一出的桥必须是两座不同的桥。假设要到同样地点第二次的话，必须再由另外两座不同的桥进出。,像这样，散步途中所经过的桥梁数目，是每座小岛到访次数的两倍，因此连接每个到访点的桥梁数目一定得是偶数。,可是图中横跨在四个小岛上的桥梁数目是,3,、,3,、,3,、,5,，全是奇数。而四个小岛不可能全都是起点或终点，起点和终点只能各有一个。出现这种矛盾的情况，证明了最初的假设错误，所以这样的散步路线不存在。,欧拉把实际的问题抽象简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点，则连接这一点的线数必须是偶数，这样的点称为偶顶点。相对的，连有奇数条线的点称为奇顶点。欧拉论述了，由于柯尼斯堡七桥问题中存在,4,个奇顶点，它无法实现符合题意的遍历。,欧拉把问题的实质归于一笔画问题。,欧拉的三步抽象：,1.,地图的抽象（点线图）,2.,问题的抽象（一笔画的问题）,3.,把一笔画问题转化为数学方式的叙述。,欧拉用这种方式掌握问题的本质，成功的将问题抽象化。抽象化后的题目已和小岛的形状、面积、路线、距离远近都无关了。重要的是岸、桥、岛的相对位置关系。在这里，从抽象化后的题目上去思考才是数学的第一步，因为抽象化后的题目才是问题的本质，可以省略其他一切无关的内容。像这样将数学问题抽象化之后，使问题不但单纯化，也变得容易解答。这就是运用抽象化的步骤来强化数学思考的例子。,欧拉的一笔画原理是：,(1),一笔画必须是连通的,(,图形的各部分之间连接在一起,),；,(2),没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；,(3),只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；,(4),奇点个数超过两个的图形不能一笔画。,问题：如何测量卷筒纸的长度？,如下图，将厚度,0.02cm,的卷筒纸，在直径,10cm,的圆筒上卷成直径,20cm,的大小。请求出这卷卷筒纸的总长度。,20,10,解法,1,：将卷筒纸实际拉出来测量看看。但它的缺点是，要找到问题中指定大小的卷筒纸是很困难的。就算能找到，但,“,为了测量长度而把它全部拉出来，会失去卷筒纸本身的价值。,20,10,20,10,解法,2,：假设这卷卷筒纸是以同心圆卷在一起的。那么它最外侧的圆直径就是,20cm,，而往内的下一个圆则减少,0.04cm,，即,19.96cm,，再往内则是,19.92cm,，,而最内侧的圆直径是,10.04cm,，由内往外第二个圆直径,10.08cm,。,总长度,:,（,20+19.96+19.92+,+10.08+10.04,）,cm,=,（,250,30.04,2,）,20,10,解法,3,：（,20+10,）,2=15,，,15,250=3750,解法,4,：在脑海里试着将所有的纸都拉出来看看。拉出来之后从侧面来看，就成了下面的形状。,长设为,x,，宽为,0.02cm,。,卷筒纸卷着时的圆环面积与拉开后的侧面积相等。,因此，阴影部分圆环面积为：,100-25=75,75=0.02x x=3750,20,10,所谓数学的进步，我们不妨把它理解成,“,稍微动动脑筋让事情变得更轻松,”,的一种思考方式。数学并不是要让身边的事物变得更困难，而是一种要让它们变得更简单的学问。,符号意识,主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,数学中的抽象,符号意识,用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。,数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。,1.,符号化思想,第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。,如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：,S,ab,。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。,第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是,a,，那么,4a,就表示该正方形的周长，,a,表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。,2.,如何理解符号化思想。,第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值,80,千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式,s=80t,表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。,第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。,2.,如何理解符号化思想。,3.,符号化思想的具体应用,（,1,）数的表示、运算和关系。,数字,0-,9,、,+,、,、,、,、,是比较早期的数学符号，便于人们计数和计算。是小学数学应用最广泛的符号。,（,2,）代数思想。,代数在早期的主要特征是以文字为主的演算，到了,16,、,17,世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。,用字母表示数。,用字母表示数量关系。,运算定律、公式、数量关系。,加法交换律,:a+b=b+a,时间、速度和路程的关系,:s=vt,用符号表示变化规律。,数列的变化规律,:1,2,3,5,8,图形的变化规律,小棒的根数：,y=3x+1,例,5,：中国建筑中经常能见到,“,外方内圆,”,和,“,外圆内方,”,的设计。下图中两个圆半径都是,1,米，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？,改编：,五、操作运用,（,作图并计算,）,在下面的正方形外作一个圆，使这个圆经过正方形的四个顶点，你是如何确定圆心的？在图中保留作图痕迹。,计算圆的面积比正方形面积多百分之几？（可设所画圆的半径是,或具体某个数，,取,3.14,）,改编：如图，一种饮料瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），饮料瓶的容积是,600,毫升，在它里面装有一些饮料。正放时，饮料高度,16,厘米，倒放时，空余部分高,4,厘米。瓶内现有饮料多少毫升？,16,4,书,27,页例题：一个内直径是,8,厘米的瓶子里，水的高度是,7,厘米，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是,18,厘米。这个瓶子的容积是多少？,模型思想,的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。,二、数学建模,数学模型思想,数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，主要从侠义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题。,3.,模型思想的应用。,数的表示，自然数列：,0,1,2,用数轴表示数,用数字和图形表示规律,数的运算,a+b=c,，,c,a=b,c,b,a,，,a,b,c(a0,b0),，,c,a=b,c,b,a,用字母表示运算定律，方程,ax+b=c,数量关系：时间、速度和路程：,s=vt,数量、单价和总价：,a=np,正比例关系：,y/x=k,反比例关系：,xy=k,用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系,用字母表示周长、面积和体积公式,用图表示空间和平面结构,用统计图表描述和分析各种信息,用分数表示可能性的大小。,数学建模是一个比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：,(1),理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。,(2),把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据。,(3),建立模型，可以是数量关系式，也可以是图表形式。,(4),解答问题。,案例：鸡兔同笼问题,某科学考察组进行科学考察，要越过一座山。上午,8时上山，每小时行,3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行5千米，下午2时到达山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？,案例：盈亏问题,小红从家到少年宫上课，若按,12,千米,/,小时速度，将迟到,5,分钟；若按,15,千米,/,时速度，则提前,10,分钟。家到少年宫有多少千米？,三,、,数学运算能力,运算是义务教育阶段一、二学段学生在数学学习中接触最多的内容。作为数学课程的一条主线，它不仅贯穿于,“,数与代数,”,的所有重要知识点，也和,“,图形与几何,”“,统计与概率,”“,综合与实践,”,的内容交融在一起。运算不仅是学习的重要内容，也是解决数学问题的基本方式，必然成为学生应该培养的最基本的数学素养。,三,、,数学运算能力,案例：,长方形、正方形的周长 新授课中先复习周长的意义，,再,自主探究长方形、正方形周长计算方法，最后优化出长方形、正方形的周长计算公式。,在巩固练习环节有这样一道题：王大伯借助一面墙用篱笆围一块长方形菜地（如图），求篱笆长度。,反馈校正时学生出现了这样,4,种解题方法：,（,9,5,）,2,（,9,5,）,2,9,9,5,2 9,5,5,5,9,三,、,数学运算能力,探讨：,第一种显然错了。第,2,、,3,、,4,种方法中，显然后两种方法较简单，根据平面图形周长的意义，直接把三条边相加，但有些学生先套用周长公式求出长方形周长，然后再减去一条边长，求出篱笆的长度。出现这样的结果，可能是学生在尚未充分理解周长的意义和计算方法的情况下，教师过于强调用长方形周长计算公式解题，导致学生忽略周长的意义，忽视了四条边相加求长方形周长的方法。事实上，理解周长的意义是本质的，应在此基础上优化求长方形周长的算法。因此，在教学中，教师要先突出最简单、最本质的方法，逐步抽象出最佳方法，进而促使学生达到认识上的最佳状态。过于强调计算公式的记忆可能会限制学生的探索能力，封闭学生的思维空间。,三,、,数学运算能力,计算教学一般都是把计算置于现实情境之中，为学生探究算理提供情境支撑，有利于理解算理，掌握算法。培养运算能力应注意以下几方面的问题：,1.,注意强化与运算有关的概念、公式、命题的,理解,，夯实运算的知识基础。实践证明，第一、二学段的运算问题皆与相关的数学知识意义的理解紧密关联，学生在运算中表现出来的水平高低往往受其对基础知识掌握的程度的制约（如关于,“,平均数,”,的计算问题）。那种不求概念意义理解，急于进行运算技能操练的做法是不可取的。,三,、,数学运算能力,2.,既重视算理，又要重视算法的提炼，适当进行巩固训练。虽不要求学生死记硬背计算法则，但在理解的基础上要记住要点，再通过适当的练习进行巩固。要想形成运算能力，一定量的训练是必要的。通过练习，能了解学生对算法的掌握情况，根据记忆的遗忘规律，定期的在每个单元后对以前的知识进行混合练习也是必要的。,三,、,数学运算能力,3.,加强对学生良好学习习惯的培养,教师平时要求学生书写整洁、规范，看清数字一步一步地算，计算完后可检查或验算一遍。,三,、,数学运算能力,4.,重视计算问题新题型的教学,运算能力不仅包括传统的口算、笔算和估算等最基础的看得见的技能，也包括运用运算解决各种问题时的分析能力、推理能力等思维能力。比如找数字排列的规律、规律中的计算、算式的大小比较、代数式求值、定义新运算等方面。,算,24,，每组四个数经过加减乘除运算得到,24,。,5,，,5,，,5,，,1,3,，,3,，,7,，,7,4,，,4,，,7,，,7,3,，,3,，,8,，,8,运算律的运用,四、处理好数学训练与发展思维的关系,众所周知，数学教学最基本的任务就是使学生学会解题，学会数学地思考，发展思维，从而变得更聪明。数学教育家波利亚认为，要,“,把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径,”,。由此可以看出解题训练在数学教学中的重要性。一提到解题，我们自然而然联想到的就是,“,类型分析,”,、,“,题海战术,”,。诚然，常规的训练是学会解题的必要条件，但过度训练会影响学生的创造力，阻碍学生思维的发展。,案例,1,：,教学,圆锥的体积的计算及应用,1.,教师在新授圆锥的体积后，让学生计算下列各圆锥的体积：（,1,）底面积,3,平方米，高,2,分米。（,2,）底面积,4,平方厘米，高,4.5,厘米。,小结：应用圆锥体积的计算公式求圆锥体积时，不能忘记乘,1/3,或除以,3,。,2.,例,2,：一个圆锥形的沙堆的底面直径是,6,米，高,1.8,米。每立方米沙重,1.7,吨。这堆沙约重多少吨？学生尝试解答后交流反馈。小结：注意求圆锥体积时，一定不能忘记乘,1/3,或除以,3,。,质量调研时，试卷上出现了圆锥体积计算的题目。,题目,1,如果一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积一共是,48,立方厘米，那么圆锥的体积是（）立方厘米。已知圆锥的底面积是,9,平方厘米，它的高是（）厘米。,题目,2,把一个底面积,45,平方分米、高,7,分米的圆柱体钢块，铸成一个圆锥体零件，这个圆锥零件的体积是（）立方分米。已知这个零件的高是,9,分米，那么它的底面积是（）平方分米。,估计学生第一题得分率较高，而第二题得分率较低。这两道难度相仿的题，为什么会出现如此大的差别？在平时的练习中，教师注意强调了等底等高的圆柱和圆锥体积间的关系，重视了圆柱、圆锥体积公式的实际应用，所以第,1,题的得分率较高。但在应用圆锥体积公式求体积时，教师常常会提醒学生乘,1/3,或除以,3,。在大量的重复练习后，学生一看到求圆锥体的体积就条件反射地乘,1/3,或除以,3,，所以第,2,题的第,1,空多数学生出现了这样的错误。,探讨：,上述数学活动，看上去学生似乎在大量模仿练习中已经熟练掌握圆锥体积计算公式，实则是：少了变式训练的题目，少了发展思维的题目，少了解决现实问题的题目。是的，在平时的数学教学中，常常会出现这样的现象：教师精细地讲解例题后，学生能很快掌握一类题的解题技能，经过一段时间的反复操练后，学生的解该类型题的技能进一步提高，但遇到稍有变化的习题或具体的问题情境时，学生或变得不愿思考，机械照搬；或不会思考，一筹莫展。学生在一味的机械训练中究竟学到了什么？是数学思维还是应用意识？,案例,3,：,教学,按比例分配应用题,。,教师在教学完,按比例分配应用题,的例题后常常小结：告诉我们两个数量的比及它们的和，要求这两个量，可以用和分别乘总份数分之一个数量的份数，分别求出这两个数量。,对比两道题：,1.,一种盐水，盐和水的比是,199,，要配置,400,克这样的盐水，需要盐多少克？,2.,一种盐水，盐和水的比是,199,，要配置这样的盐水，,400,克水中需要放入盐多少克？,探讨：,按比例分配应用题有其特有的数量特征，教师常常会总结解题规律并进行类似练习。学生习惯于把问题和类型相联系，死扣类型，而不去思考这些问题的实际意义。于是解第,2,题时生搬硬套，出现了一些错误。因此，教学中应着重引导学生把问题和其实际意义相联系，避免解题模式的,“,类型化,”,，以真正发展学生的数学思维能力。,盲目、过度的练习会影响学生理解力和创造力的发展。那么，如何匡正数学训练与发展思维的关系？,1.,科学设计练习，剖析题目中的思想方法。,科学的、一定数量的数学练习能促进理解，发展数学思维。反之，单一、重复的机械性训练也会影响学生的思考力。如果教师只依靠模仿性练习让学生,“,记住,”,知识，而非推进认知结构，就会将数学肢解成零散的小步骤来训练，活生生的数学思想就会被完全割裂，不复存在。,有人说过：,“,数学训练的第一层是知识堆积,”,与,“,解题术,”,式的。它看得见，摸得着，易操作，易复制，但功能性弱，应用面窄。第二层是,“,思维方法,”,和,“,解题方法,”,式的。它与前一层比，程序性弱，不易复制，但功能性强，应用面宽。第三层是,“,数学思想,”,与,“,数学观念,”,式的。它虽抽象，程序性更弱，但功能性强，它是对其他两个层次的指导和引领。所以，,教师在教学中要科学地、有层次地设计练习。首先是模仿训练，旨在巩固基础知识和基本技能；其次是变式训练，旨在理解方法和发展思维；最后是应用训练。,这样才能高屋建瓴，有效训练，发展学生的思维。,2.,引导自主探索，理解题目中的思想方法。,数学家华罗庚教授总结他的学习经历时指出：对书本的某些原理、定律、公式问题，我们在学习的时候，不仅应该记住它的结论，懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎么想出来的，经过多少曲折，攻破多少难关，才得出这个结论的。只有经历这样的探索过程，数学的思想和方法才能积淀、凝聚在这些数学结论上，从而使知识具有更大的智慧，所以，在对学生进行数学解题训练时，教师要引导学生经历数学化的学习过程，巧妙地将模型化、化归等数学思想有意识地渗透在解题过程之中，这样才能促进理解，发展思维。,3.,重视解题反思，领悟题目中的思想方法。,在解题训练中引导学生获得数学思想方法，一方面要求教师有意识地渗透和训练，但是更多的是要靠学生自身在反思过程中领悟。在数学学习过程中，要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生（或发生过）的错误，原因何在，该记住哪些经验教训等。还要让学生掌握更多的思维机制，只有这样，才能对数学思想方法有所认识，由此更好地促进学生的思维发展。,综上所述，一定的操作训练是必要的，但过度的操作训练会影响学生的创造力。只有在科学、合理训练的基础上，让学生掌握更多的数学思维方法，才能真正发展学生的数学思维能力。,案例：一张,A4,纸对折，是图形的缩小吗？,