江苏专用高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第三课时导数与函数的综合问题讲义文苏.ppt

,3.2,导数的应用,第,3,课时导数与函数的综合问题,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,题型分类深度剖析,题型一导数与不等式有关的问题,命题点,1,解不等式,例,1,设,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，,f,(2),0,，当,x,0,时，有,0,的解集是,_.,答案,解析,(,，,2),(0,，,2),又,(2),0,，,当且仅当,0,x,0,，,此时,x,2,f,(,x,)0.,又,f,(,x,),为奇函数，,h,(,x,),x,2,f,(,x,),也为奇函数,.,故,x,2,f,(,x,)0,的解集为,(,，,2),(0,，,2).,命题点,2,证明不等式,例,2,(2016,全国丙卷,),设函数,f,(,x,),ln,x,x,1.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性；,解答,由题设，,f,(,x,),的定义域为,(0,，,),，,f,(,x,),1,，令,f,(,x,),0,，解得,x,1.,当,0,x,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,1,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递减,.,(2),证明：当,x,(1,，,),时，,1 ,x,.,证明,由,(1),知，,f,(,x,),在,x,1,处取得最大值，最大值为,f,(1),0.,所以当,x,1,时，,ln,x,x,1.,故当,x,(1,，,),时，,ln,x,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,(1,，,),时，,f,(,x,)0,，,所以,g,(,x,),为单调增函数，所以,g,(,x,),g,(1),2,，,故,k,2.,所以实数,k,的取值范围是,(,，,2.,引申探究,本题,(2),中，若改为存在,x,0,1,，,e,，使不等式,f,(,x,),成立，求实数,k,的取值范围,.,解答,(1),利用导数解不等式的思路,已知一个含,f,(,x,),的不等式，可得到和,f,(,x,),有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式,.,(2),利用导数证明不等式的方法,证明,f,(,x,),g,(,x,),，,x,(,a,，,b,),，可以构造函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，如果,F,(,x,)0,，则,F,(,x,),在,(,a,，,b,),上是减函数，同时若,F,(,a,),0,，由减函数的定义可知，,x,(,a,，,b,),时，有,F,(,x,)0,，即证明了,f,(,x,),g,(,x,).,(3),利用导数解决不等式的恒成立问题的策略,首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围,.,也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题,.,思维升华,跟踪训练,1,已知函数,f,(,x,),x,2,ln,x,a,(,x,2,1),，,a,R,.,(1),当,a,1,时，求曲线,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处的切线方程；,解答,当,a,1,时，,f,(,x,),x,2,ln,x,x,2,1,，,f,(,x,),2,x,ln,x,3,x,.,则曲线,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处的切线的斜率为,f,(1),3.,又,f,(1),0,，所以切线方程为,3,x,y,3,0.,(2),若当,x,1,时，,f,(,x,),0,恒成立，求,a,的取值范围,.,解答,f,(,x,),2,x,ln,x,(1,2,a,),x,x,(2ln,x,1,2,a,),，其中,x,1.,所以函数,f,(,x,),在,1,，,),上单调递增,.,故,f,(,x,),f,(1),0.,若,x,1,，,，则,f,(,x,)0,，,所以函数,f,(,x,),在,1,，,),上单调递减，,所以当,x,1,，,),时，,f,(,x,),f,(1),0,，不符合题意,.,题型二利用导数研究函数零点问题,例,4,(2016,扬州模拟,),设函数,f,(,x,),x,e,x,a,sin,x,cos,x,(,a,R,，其中,e,是自然对数的底数,).,(1),当,a,0,时，求,f,(,x,),的极值；,解答,几何画板展示,当,a,0,时，,f,(,x,),x,e,x,，,f,(,x,),e,x,(,x,1),，,令,f,(,x,),0,，得,x,1.,列表如下：,x,(,，,1),1,(,1,，,),f,(,x,),0,f,(,x,),极小值,(2),若对于任意的,x,0,，,，,f,(,x,),0,恒成立，求,a,的取值范围；,解答,当,a,0,时，由于对于任意,x,0,，,，有,sin,x,cos,x,0,，,所以,f,(,x,),0,恒成立，即当,a,0,时，符合题意；,当,0,a,1,时，因为,f,(,x,),e,x,(,x,1),a,cos,2,x,e,0,(0,1),a,cos,0,1,a,0,，,所以函数,f,(,x,),在,0,，,上为增函数,.,所以,f,(,x,),f,(0),0,，即当,01,时，,f,(0),1,a,0,，,设,f,(,),0,，其中,是,f,(,x,),0,中最接近,x,0,的零点,.,所以,f,(,x,),在,(0,，,),上为减函数，此时,f,(,x,)1,时，不符合题意,.,综上所述，,a,的取值范围是,(,，,1.,(3),是否存在实数,a,，使得函数,f,(,x,),在区间,(0,，,),上有两个零点？若存在，求出,a,的取值范围；若不存在，请说明理由,.,解答,当,a,1,时，,f,(,x,),e,x,(,x,1),a,cos,2,x,.,令,g,(,x,),e,x,(,x,1),a,cos,2,x,，,则,g,(,x,),e,x,(,x,2),2,a,sin 2,x,，,且当,x,(0,，,x,0,),时，,f,(,x,)0,；,即函数,f,(,x,),在,(0,，,x,0,),上单调递减，,当,x,(0,，,x,0,),时，,f,(,x,)0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(0,，,),上递增,.,当,x,0,时，,f,(,x,)1,时，曲线,y,f,(,x,),与直线,y,b,有且仅有两个不同交点,.,综上可知，,b,的取值范围是,(1,，,).,题型三利用导数研究生活中的优化问题,例,5,某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量,y,(,单位：千克,),与销售价格,x,(,单位：元,/,千克,),满足关系式,y,10(,x,6),2,，其中,3,x,6,，,a,为常数,.,已知销售价格为,5,元,/,千克时，每日可售出该商品,11,千克,.,(1),求,a,的值；,解答,(2),若该商品的成本为,3,元,/,千克，试确定销售价格,x,的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大,.,解答,由,(1),可知，该商品每日的销售量为,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,2,10(,x,3)(,x,6),2,，,3,x,6.,从而，,f,(,x,),10,(,x,6),2,2(,x,3)(,x,6),30(,x,4)(,x,6).,于是，当,x,变化时，,f,(,x,),，,f,(,x,),的变化情况如下表：,x,(3,，,4),4,(4,，,6),f,(,x,),0,f,(,x,),单调递增,极大值,42,单调递减,由上表可得，当,x,4,时，函数,f,(,x,),取得极大值，也是最大值,.,所以，当,x,4,时，函数,f,(,x,),取得最大值且最大值等于,42.,答,当销售价格为,4,元,/,千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大,.,利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤,(1),分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式,y,f,(,x,).,(2),求函数的导数,f,(,x,),，解方程,f,(,x,),0.,(3),比较函数在区间端点和使,f,(,x,),0,的点的函数值的大小，最大,(,小,),者为最大,(,小,),值；若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点,.,(4),回归实际问题作答,.,思维升华,解答,解得,40,x,6.,因为,1,x,14,，所以,1,x,0,，得,x,0,，所以,f,(,x,),在区间,(1,，,14),上是增函数，,若该商品的均衡价格不低于,6,百元，则函数,f,(,x,),在区间,6,，,14),上有零点，,答,若该商品的均衡价格不低于每吨,6,百元，实数,a,的取值范围是,(0,，,.,典例,(16,分,),设,f,(,x,),x,ln,x,，,g,(,x,),x,3,x,2,3.,(1),如果存在,x,1,，,x,2,0,，,2,使得,g,(,x,1,),g,(,x,2,),M,成立，求满足上述条件的最大整数,M,；,(2),如果对于任意的,s,，,t,，,2,，都有,f,(,s,),g,(,t,),成立，求实数,a,的取值,范围,.,一审条件挖隐含,审题路线图系列,规范解答,审题路线图,(1),存在,x,1,，,x,2,0,，,2,使得,g,(,x,1,),g,(,x,2,),M,(,正确理解,“,存在,”,的含义,),g,(,x,1,),g,(,x,2,),max,M,挖掘,g,(,x,1,),g,(,x,2,),max,的隐含实质,g,(,x,),max,g,(,x,),min,M,求得,M,的最大整数值,(2),对任意,s,，,t,，,2,都有,f,(,s,),g,(,t,),(,理解,“,任意,”,的含义,),f,(,x,),min,g,(,x,),max,求得,g,(,x,),max,1,x,ln,x,1,恒成立,分离参数,a,a,x,x,2,ln,x,恒成立,求,h,(,x,),x,x,2,ln,x,的最大值,a,h,(,x,),max,h,(1),1,a,1,返回,解,(1),存在,x,1,，,x,2,0,，,2,使得,g,(,x,1,),g,(,x,2,),M,成立，等价于,g,(,x,1,),g,(,x,2,),max,M,.,2,分,g,(,x,),max,g,(2),1.,则满足条件的最大整数,M,4.,7,分,所以,a,1,，即实数,a,的取值范围是,1,，,).16,分,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.,函数,f,(,x,),(,x,1),2,(,x,2),2,的极大值是,_.,答案,解析,12,13,f,(,x,),(,x,1),2,(,x,2),2,，,令,f,(,x,),0,，得可能的极值点,x,1,1,，,x,2,，,x,3,2.,当,x,变化时，,f,(,x,),，,f,(,x,),的变化情况如下表：,f,(,x,),2(,x,1)(2,x,3)(,x,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.,已知曲线,y,x,2,a,ln,x,(,a,0),上任意一点处的切线的斜率为,k,，若,k,的最小值为,4,，则此时切点的坐标为,_.,答案,解析,(1,，,1),函数,y,x,2,a,ln,x,(,a,0),的定义域为,x,|,x,0,，,当且仅当,x,1,时，,“,”,成立，,将,x,1,代入曲线方程得,y,1,，,故所求的切点坐标是,(1,，,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,(0,，,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.,若商品的年利润,y,(,万元,),与年产量,x,(,百万件,),的函数关系式：,y,x,3,27,x,123(,x,0),，则获得最大利润时的年产量为,_,百万件,.,答案,解析,3,y,3,x,2,27,3(,x,3)(,x,3),，,当,0,x,0,；,当,x,3,时，,y,0,，,即,AB,的最小值是,4,2ln 2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a,c,0,时，,h,(,x,),f,(,x,),x,f,(,x,)0,，,此时函数,h,(,x,),单调递增,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.,若函数,f,(,x,),ax,2,4,x,3,在,0,，,2,上有最大值,f,(2),，则,a,的取值范围是,_.,答案,解析,1,，,),f,(,x,),2,ax,4,，由,f,(,x,),在,0,，,2,上有最大值,f,(2),，,则要求,f,(,x,),在,0,，,2,上单调递增，,则,2,ax,4,0,在,0,，,2,上恒成立,.,当,a,0,时，,2,ax,4,0,恒成立；,当,a,1,，,f,(0),4,，则不等式,e,x,f,(,x,)e,x,3(,其中,e,为自然对数的底数,),的解集为,_.,答案,解析,设,g,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,(,x,R,),，,则,g,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,e,x,f,(,x,),f,(,x,),1,，,f,(,x,),f,(,x,)1,，,f,(,x,),f,(,x,),10,，,g,(,x,)0,，,y,g,(,x,),在定义域上单调递增，,e,x,f,(,x,)e,x,3,，,g,(,x,)3,，,g,(,x,),g,(0),，,x,0.,(0,，,),又,g,(0),e,0,f,(0),e,0,4,1,3,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.,已知函数,f,(,x,),ax,3,3,x,2,1,，若,f,(,x,),存在唯一的零点,x,0,且,x,0,0,，则,a,的取值范围是,_.,答案,解析,(,，,2),当,a,0,时，,f,(,x,),3,x,2,1,有两个零点，不合题意，,故,a,0,，,f,(,x,),3,ax,2,6,x,3,x,(,ax,2),，,若,a,0,，由三次函数图象知,f,(,x,),有负数零点，不合题意，故,a,0.,又,a,0,，所以,a,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,(0,，,),时，,f,(,x,)0,时，,f,(,x,)0,，,g,(,x,)01.,当,1,x,0,时，,g,(,x,),x,.,设,h,(,x,),f,(,x,),x,，则,h,(,x,),x,e,x,1.,当,x,(,1,，,0),时，,0,x,1,，,0e,x,1,，,从而当,x,(,1,，,0),时，,h,(,x,)0,，,当,1,x,h,(0),0,，即,g,(,x,),1,且,x,0,时总有,g,(,x,)1.,则,0,x,e,x,0.,当,a,0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),是增函数，,当,x,1,时，,f,(,x,),e,x,a,(,x,1)0.,所以函数,f,(,x,),存在零点，不满足题意,.,当,a,0,时，,f,(,x,),e,x,a,，,令,f,(,x,),0,，得,x,ln,(,a,).,在,(,，,ln,(,a,),上，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增，,所以当,x,ln,(,a,),时，,f,(,x,),取最小值,.,函数,f,(,x,),不存在零点，等价于,f,(,ln,(,a,),e,ln,(,a,),a,ln,(,a,),a,2,a,a,ln,(,a,)0,，解得,e,2,a,0,时，,f,(,x,),0,恒成立，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,x,1,不是,f,(,x,),的极值点,.,故不存在实数,a,，使得,f,(,x,),在,x,1,处取得极值,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),设,g,(,x,),(,a,2),x,，若,x,0,，,e,，使得,f,(,x,0,),g,(,x,0,),成立，求实数,a,的取值范围,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当,0,x,1,时，,F,(,x,)1,时，,F,(,x,)0,，,F,(,x,),单调递增,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,x,2ln,x,20,，,x,(1,，,e),时，,G,(,x,)0,，,G,(,x,),单调递增，,G,(,x,),min,G,(1),1.,a,G,(,x,),min,1.,故实数,a,的取值范围为,1,，,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,