4-4向量空间的基和维数.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/10,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/10,*,向量空间、基和维数,2021/10/10,1,一、向量空间概念,则称,V,是,向量空间,定义,设,V,是非空的,n,维向量的,集合,，如果,（,1,）,V,对,加法,运算具有,封闭性,，,即 ，有,（,2,）,V,对,数乘,运算具有,封闭性,，,即,2021/10/10,2,特例：,1,、只有一个零向量所构成的向量空间 称为,零空间,。,2,、,所有的,n,维向量全体构成一个最大的向量空间,2021/10/10,3,例：,对于向量的加法和数乘是否是,R,上的向量空间？,2021/10/10,4,二、向量空间的基与维数,定义,且满足：,(1),1,2,r,线性无关；,(2),V,中任一向量都可以由,1,2,r,线性表示；,则称,1,2,r,为,V,的一组,基底,，简称,基,，,r,为,V,的,维数,，并称,V,为,r,维向量空间,。,设,V,为向量空间，若存在,1,2,r,V,.,2021/10/10,5,注,1,：,若将向量空间,V,看成无穷个向量组成的向量组，其基就是其极大线性无关组，其维数就是其秩。,注,2,：,零空间 没有基，规定其维数为,0,。,2021/10/10,6,例如：,对于,R,n,(1),基本单位向量组,是一组基，称为,标准基,。,(2),1,=(1,0,0,0),2,=(1,1,0,0),，,n,=(1,1,1),也是基。,原因是什么？,2021/10/10,7,三、向量在给定基下的坐标,定义,4.2,设,1,2,n,是向量空间,V,的一组基，任取,V,都有,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,且组合系数,x,1,x,2,x,n,唯一，称为向量,在基,1,2,n,下的,坐标,，记为,(,x,1,x,2,x,n,),为什么唯一,2021/10/10,8,例如：,在,R,3,中，,=(2,3,1),T,=,2,1,3,2,+,1,3,注：,1,、基并不是唯一的,2,、向量在不同基坐标也不同,2021/10/10,9,