全国中学生物理竞赛课件10：曲线运动动力学解.ppt

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的圆周运动的规律,W =0,非,水平直径以上各点的临界速度,在水平直径以上各点弹力方向是指向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车,线绳,v,mg,F,T,当,F,T,=0,时，,v,临界,=,v,轨道,mg,F,N,在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆运动的条件是：,在水平直径以上各点弹力方向是背离圆心的情况，例如车过拱形桥,轨道,v,mg,F,N,当,F,N,=0,时，,v,临界,=,在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是：,2020/12/18,10,机械能守恒,最高点与最低点的弹力差,能到达最高点的最低点速度,恰能到达最高点，最低点加速度,v,上,mg,F,N,上,v,下,mg,F,N,下,2020/12/18,11,竖直面内的匀速圆周运动,mg,F,N,F,f,v,mg,F,N,v,F,f,2020/12/18,12,如图所示，,一长为,a,的细线系着一小球悬挂在,O,点静止不动若使小球获得一个水平初速度 ，略去空气阻力，证明：小球的运动轨迹经过悬点,O,专题,10-,例,2,解,:,小球运动轨迹会通过悬点,O,，是因为线绳在水平直径上方与水平成某一角度,时，绳恰不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动,O,v,v,0,y,x,0,绳上张力为零时小球达临界速度,该过程机械能守恒,:,图示,h,小球做斜上抛运动设当,y,方向位移为,-h,时历时,t,有,续解,2020/12/18,13,这段时间内小球完成的水平位移为,查阅,O,y,x,0,说明小球做斜抛运动过程中，通过了坐标为,的悬点,O,!,2020/12/18,14,图,中，,A,是一带有竖直立柱的木块，总质量为,M,，位于水平地面上,B,是一质量为,m,的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端现拉动小球，使绳伸直并处于水平位置,.,然后让小球从静止状态下摆如在小球与立柱发生碰撞前，木块,A,始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？,专题,10-,例,3,解,:,B,A,mg,v,分析小球,B,下摆时受力：,L,小球,动力学方程,小球,机械能守恒,分析木块,A,受力：,A,Mg,F,N,木块,静止须满足,由基本不等式性质：,F,T,2020/12/18,15,如图所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，计算球壳不再接触到桌子的瞬间，球壳中心的速率,专题,10-,例,4,解,:,mg,F,N,C,O,球壳静止时，与桌边接触的一点,O,为其支点，球壳二力平衡,!,轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心,C,将以支点,O,为轴，以球半径,R,为半径在竖直面内从初速度为零开始做圆周运动，其间重力势能减少，动能增加；当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，球与桌支持点间无挤压，即开始脱离桌子,设球壳,“,不再接触桌子的瞬时,”,球心速度为,v,mg,v,球壳动力学方程,球壳机械能守恒,E,C,质心对,O,的转动动能,球壳对质心,C,的转动动能,例,5,2020/12/18,16,x,y,用微元法计算球壳对质心的转动动能,E,C,C,将球壳面分割成宽,的一条条极细的环带,第,i,条环带的质量,第,i,条环带的速率,整个球壳对过,C,而垂直于竖直面的轴的转动动能为,返回,2020/12/18,17,筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下如索道形状为 的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量为,m,的质点，求箩筐自,x,=2,a,处自由滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力,.,专题,10-,例,5,解,:,在以竖直向上方向为,y,轴正方向建立的坐标系中，钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线,0,y,x,a,2,a,v,v,g,由质点机械能守恒,质点在抛物线顶点的动力学方程,F,N,mg,其中抛物线顶点的曲率半径由,2020/12/18,18,如图所示，一轻绳跨越一固定水平光滑细杆，其两端各系一小球，球,a,置于地面，球,b,从水平位置由静止向下摆动，设两球质量相同求,a,球恰要离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角,小试身手题,5,解,:,b,a,l,L,设,a,球恰要离地时两绳夹角为,，此时,a,球与地面无挤压,绳上张力恰与,a,球重力相等,mg,mg,F,T,F,T,b,球机械能守恒,b,球动力学方程,2020/12/18,19,如图所示，长为,l,的轻杆上端有一个质量为,m,的小重物，杆用铰链固接在,A,点，并处于竖直位置，同时与质量为,M,的物体互相接触由于微小扰动使系统发生运动试问质量之比,M,/,m,为多少情况下，杆在脱离物体时刻与水平面成角,/6,，这时物体的速度,u,为多少？,小试身手题,6,解,:,M,m,l,A,小重物与物体恰要脱离时两者接触而无挤压,故物体的加速度为零,!,小重物只受重力，小重物与物体水平速度相同,mg,v,u,过程中系统机械能守恒,小重物,动力学方程,2020/12/18,20,如图所示，质量均为,m,的两个小球固定在长度为,l,的轻杆两端，直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界处突然发生微小的扰动使杆无初速倒下，求当杆与竖直方向成角,时，,A,球对墙的作用力,小试身手题,7,解,:,B,A,模型回放,当,A,球对墙恰无作用力时，杆与竖直所成临界角为,当杆与墙夹角,时,A,球对墙无作用力,当杆与墙夹角,时,mg,v,F,N,过程中,B,球,机械能守恒,此时,B,球,动力学方程,A,球对墙的作用力,题,14,2020/12/18,21,R,一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为,H,的任意点,P,，在重力作用下由静止开始往下滑，从,Q,点离开球面，求,PQ,两点的高度差,h,.,设球半径为,R,P,Q,H,mg,v,由机械能守恒,:,Q,点动力学方程为,:,由几何关系,:,若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下,R/,3,的高度，释放高度,H,越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型,返回,2020/12/18,22,x,O,m,y,R,质量为,M,、半径为,R,的光滑匀质半球，静止在光滑水平面上，在球顶有一质量为,m,的质点，由静止沿球面下滑，求,m,离开,M,以前的轨迹方程和,m,绕球心,O,的角速度,小试身手题,14,解,:,先确定,m,沿球面下滑的轨迹：,x,M,M,在图示坐标系中,，,沿,x,方向系统动量守恒,则,m,的坐标,x,y,消去参数,即得,m,在,M,上运动时的轨迹方程,设对应于,角,m,绕球心,O,的角速度为,M,速度为,V,M,则,m,的速度,由,x,方向系统动量守恒,续解,2020/12/18,23,由系统机械能守恒,查阅,2020/12/18,24,m,l,转动参考系中的惯性力,惯性离心力,相对做匀角速度转动的非惯性参考系静止的物体,小球受绳拉力而匀速转动,小球受绳拉力而静止,?,在相对于惯性参考系具有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力,!,牛顿运动定律仍可适用,科里奥利力,相对做匀角速度转动的非惯性参考系运动的物体,A,O,u,r,F,f,F,N,F,k,科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将受到一个与运动方向垂直的科里奥利力,:,2020/12/18,25,如图所示，在以角速度,绕中心轴,O,匀速转动的太空实验室里，一长为,l,的细线，一端固定在中心轴,O,，另一端系一质量为,m,的小球，小球相对实验室以速度,v,匀速转动，转动方向与,相反，求细线上的拉力,F,T,的大小,专题,10-,例,6,解,:,O,l,取太空实验室为参考系,小球受线绳拉力,F,T,和惯性离心力,F,i,和科里奥利力,F,k,小球对太空实验室的转动速度为,v,F,T,F,i,F,k,由牛顿第二定律,其中,2020/12/18,26,如图所示，一对绕固定水平轴,O,和,O,同步转动的凸轮，使传送装置的水平平板发生运动问凸轮以多大角速度转动时，放在平板上的零件开始移动？当凸轮按顺时针方向转动情况下，零件将往什么方向移动？零件与平板之间的动摩擦因数为,凸轮半径为,r,小试身手题,9,解,:,O,以具有加速度的板为参考系，零件处于平衡,!,分析零件受力：,重力,mg,板约束力（摩擦力与支持力合力）及惯性力,mr,2,当静摩擦力达最大时，板约束力方向与竖直成摩擦角,=,tan,-1,，三力应构成闭合三角形如示！,mg,mr,2,r,tan,-1,零件开始滑动,的临界值,续解,2020/12/18,27,a,b,c,d,读题,tan,-1,mr,2,r,若凸轮顺时针转动、角速度大于,mg,tan,-1,矢量端点从,a,到,b,时，重力,约束力与惯性力不可能构成闭合三角形,且约束力水平分量向右,!,以大虚线圆矢径表示大于,的惯性力，所受惯性力方向变化如示,:,零件向右滑,矢量端点从,c,到,d,时，重力,约束力与惯性力也不可能构成闭合三角形,且约束力水平分量向左,!,零件向左滑,2020/12/18,28,轮船以等速率,v,沿赤道向东航行，试计算由此使船上物体重量产生的相对误差，地球自转角速度为,小试身手题,15,解,:,设地球半径为,R,，自转角速度为,，赤道上重力加速度为,g,对地球参考系，船静止在赤道上时货物重即支持面支持力,科里奥利力,当船以速率,v,沿赤道向东航行时，货物受：,地心引力,F,引,地面支持力,F,支,惯性离心力,F,i,=mR,2,对地球参考系，船以,v,沿赤道圆做匀速圆运动，有,相对误差为,2020/12/18,29,半径为,R,0.5 m,的空心球绕本身的竖直直径旋转，如图所示，角速度为,5 rad/s,在空心球内高度为,R,/2,处有一小木块同球一起旋转，,g,取,10 m/s,2,实现这一情况所需的最小摩擦系数为多少？求,8 rad/s,时实现这一情况的条件,小试身手题,16,解,:,以球为参考系，小木块静止,mg,F,i,F,分析小木块受力情况,重力,mg,导轨约束力,F,惯性离心力,F,i,其中,R,代入数据解得,若角速度增大，,F,i,增大,F,i,0,当,F,i,=,F,i,时,摩擦力为零,F,N,此时角速度,F,i,F,将,=8rad/s,代入,2020/12/18,30,O,如图所示，橡皮圈挂在钉子上，这时它的长度为,2,h,然后使橡皮圈在水平面上旋转起来，到转动角速度达到,时，它的长度也为,2,h,求橡皮圈转动的角速度,小试身手题,3,解,:,R,h,橡皮圈竖直悬挂时，橡皮圈的张力从上到下线性变化,!,T,A,最上端的张力,最下端的张力,平均张力,水平面上,橡皮圈水平旋转时，在圈上取一微元,B,B,两种情况下橡皮圈形变量相同,2020/12/18,31,如图所示，一个半径为,r,10 cm,的小环，从高度,h,20 cm,处掉到桌上，此小圆环在空气中绕其中心轴旋转，轴在竖直方向，角速度,0,21 rad/s,圆环与桌面的碰撞为非弹性的，且碰撞时间很短小环与桌面间摩擦系数为,0.3,，求小环停止时所转的圈数,小试身手题,11,解,:,0,小环刚着地时竖直速度为,绕轴转动线速度为,落在桌面后，由于桌面弹力及摩擦力作用,先在极短时间,t,内使竖直速度变为零,同时绕轴转动速度减为,而后变为,mg,的摩擦力,使转动速度亦减为零,!,在碰撞短瞬由动量定理,设此后小环转,n,圈停止，由动能定理,2020/12/18,32,如图所示，半径为,R,的水平圆台，可绕通过圆心,O,的竖直光滑细轴,CC,转动，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为,m,A,的物体,A,放在一个槽内，,A,与槽底间的静摩擦因数为,0,，质量为,m,B,的物体,B,放在另一槽内，此槽是光滑的,AB,间用一长为,l,（,l,R,）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连试求当圆台做匀角速转动且,A,、,B,两物体对圆台不动时，转动角速度,和,A,到圆心的距离,x,所应满足的条件（设此时,A,与槽的侧面之间没有作用力）,小试身手题,13,解,:,C,C,A,B,O,A,B,O,x,F,当两物体相对于转盘静止且,A,恰无摩擦时,F,AB,的动力学方程,当两物体相对于转盘静止且,A,恰未做远离轴心移动时,AB,的动力学方程,2020/12/18,33,当两物体相对于转盘静止且,A,恰未做移近轴心运动时,AB,的动力学方程,结论,取任意值,2020/12/18,34,如图所示，一根不可伸长的轻绳，穿上一粒质量为,m,的小珠子，绳的一端固定在,A,点，另一端系在轻环上，环可以沿水平杆自由滑动开始珠子被维持在环旁边此时绳是直的，但未被拉紧，绳子长度为,L,0,，,A,点到杆的距离为,h,，绳能承受最大张力为,T,0,试求珠子被释放后沿绳滑动到绳子被拉断时的速度（摩擦不计）,小试身手题,17,解,:,m,A,L,0,h,v,Y,X,0,在图示坐标中珠子运动轨方程为,这是开口向上、顶点为,的抛物线,设当珠子坐标为,(,x,y,),时绳上张力达到,T,0,此时珠子速度,分析珠子受力,mg,T,0,珠子下落过程只有重力功,机械能守恒,珠子的动力学方程,计算曲率半径,2020/12/18,35,运动学方法求珠子轨迹抛物线该点曲率半径,将珠子的运动等效为从高,处水平抛出、,、初速度为,射程为,的平抛运动,y,v,对轨迹上的,P,点,:,查阅,则珠子速度,2020/12/18,36,