数学史-第三章-数与数系的发展.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 数与数系的发展,主要内容,原始人类的数感（,Number,Sence,）,数的抽象概念与数的符号,数域扩张（简称“扩域”）形成五大数系,公理化的方法创造超复数 四元数,一一对应的计数方法 超限数的连续假设,3.1,数的起源,“数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。”,对数的起源的进程归结为：依赖于本能感觉，形成一一对应的计数方法，建立集合的等价关系并给出其一个标准（或代表集合）规定符号。,3.1.1,数感,数感，即感知事物多少的心理能力。,原始人类较早的“有”与“无”、“多”与“少”的认识,某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦的数感,3.1.2,一一对应计数法与进位制,一一对应的计数方法,例如，是用手指计数物体的个数,荷马（约公元前,98,世纪）的诗史中，独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只,澳洲土著人用身体的各部分来对应自然数,一一对应的计数方法很容易形成自然数的概念,它是数概念发展的重要途径。,进位制,当计数较多的实物时，人类学会了一次用更大的单位计数的方法。,如，五进制：一五，一十，十五，二十，,十进制，这时从,1,到,10,的十个数都有自己的特殊名称，而从,11,开始，就用,10,的进位表示了。在英语中，,eleven,意指“剩下”或“比,10,多,1”,，,twelve,意指“比,10,多,2”,，,thirteen,即“,3,和,10”,，,；,twenty,意指“两个,10”,，而,hundred,则指“,10,个,10”,。,古代巴比伦人的六十进位制,玛雅数系中的二十进位制,计算机技术中的二进位制,进位制的转化,例如，四进制数（,3021,）,4,转化为十进制数的方法为：,（,3021,）,4=343+042+14+2=198,3.1.3,度量的数,使用具有确定标准的容器、长度（称为单位）等去度量，度量出的次数之大小就产生量的概念。人类的度量活动是产生数概念的途径之一。,度量数可以发展非整数性的小数和分数的概念,如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度中抽象出数的理念，,在古代中国的“黄钟起度”的传说,图,3.1,是西汉末年王莽律嘉量斛的结构示意图；中间大的圆柱为斛量，中间底部圆柱形为斗，左右两边各有一耳，都呈圆柱形，左耳为升量，右耳上为合量、下为龠量。,3.1.4,抽象的数,数与被计算的东西分离开来了，出现了,1,，,2,，,3,，,这些无名数，无名数的出现标志着抽象的数概念的产生，,怀特海（,18611947,）：“首先注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟使思想史前进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人”。,教育的启示 学会,1,、,2,、,3,，,的概念，并不意味着就可以脱离具体事物进行抽象的数的思维。相反，当人们接触到数的符号或名称时，仍然与那些需要计算对象的某些具体表象联系在一起。,3.1.5,神秘的数,神秘数广泛存在于古代人类社会，数字在这里不表示什么同类的序列，也不用于最简单的数学运算，而是利用数本身的神秘性来预卜事物的未来。数被想象成具有神秘属性的代表物，它便通过宗教、神话来影响人类的生活。,原始人类对自然的认识是有限的，往往借助数,这个思维的抽象物，来解释世界上无法理解或控制的各种现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为治国的工具。,如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，筹有,九畴,”,的治国方针。夏王朝将天分为“九天”；地为“九州”，并将州的官员称为“牧”。九州牧贡铜，铸造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己为九州之主。,春秋时期，用于筹算的“九九”表在中国也普遍使用。这或许可以看出，神秘数与运算中的数在历史发展中的先后顺序。,3.2,数的表示方法,3.2.1,结绳与书契,结绳记数成为人类早期表示记数的方法,图,3.2,台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）,中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。,结绳记数成为人类早期表示记数的方法,图,3.3,日本琉球群岛的结绳,“书契”，就是刻划。“书”是划痕，“契”是刻痕,如，在青海，,1974,年至,1978,年出土一批带刻口的骨片，是新,石器时代末期用于记事、记数的实物。,3.2.2,文字记数,新石器时代中晚期的遗址（西安半坡、山东城子崖等都出现了数字符号。,如，在西安半坡人的遗址（距今约,50006000,年）中，发现陶器上刻的符号中有数字符号：,“”（五）、“”（六）、“,+”,（七）、“”（八）、“”（十）、“”（二十）,商代的甲骨文 “金文”（“钟鼎文”或“彝铭”）的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名称。,表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过程，一直到,1522,年所谓阿拉伯数码（叫印度数码更确切些）才被世界各国所接受。中国到,1892,年才开始采用阿拉伯数码，但数的写法还是竖写，直到,20,世纪才采用现代写法。,3.2.3,位值制记数法,十进制的位值记数法，它不仅采用十进制，而且在不同位置上的数码，表示这个数码与,10,的某个幂次的乘积。即用位置来表示数。,中国古代的筹算中的位值制记数法。,筹式的数码有纵、横两种形式：,1 2 3 4 5 6 7 8 9,纵式,横式,筹式数字摆放的方法规定：个位、百位、万位以上的数用纵式，十位、千位、十万位上的数用横式，纵横相间，以免发生误会；又规定用空位来表示零。,例如,197,和,1907,的筹式分别表示为,和,不完全的定位制,“,累加制”，它是同一单位用同一符号累加，达到较高单位时才换一个新符号。,如罗马数字采用五进累加制，它用大写拉丁字母表示数的单位：,I,（,1,）,V,（,5,）,X,（,10,）,L,（,50,）,C,（,100,）,D,（,500,）,M,（,1000,）。在表示其它数时，大单位在左，小单位在右，表示累加，如,V(7);,若大单位在右、小单位在左，表示减法，如,IV(4),。,巴比伦人发展了应用定位不完全的,60,进位制的数系,一方面，,60,以上的数目依定位原则写出；另一方面，,60,以内的数则按照以十进制的简单分群数系写出，如,524,551=2603+25602+4260+31=,其中分别代表,1,和,10,。,埃及象形文字数系是以,10,进位制为基础的。用来表示,1,和,10,的头几次方的称号是：,任何数现在都可以用这些符号相加的方法给以表示了，其中每一个符号重复必要的次数。于是，,13015=1104+3103+110+5=,另外，埃及人比较习惯于从右往左写，而我们写这个数，还是从左往右。,古代玛雅人的数系是,16,世纪在墨西哥发现的。研究认为，法定的玛雅年是,360,天，因此其数系本质上是二十进制。但从第二次数群的幂次不是,202,，而是,1820,，对于更高次的数群亦采用,1820,n,的形式。如：,43,，,480=618202+01820+1420,。,当然，古代玛雅人没有计算符号，其数字是由表示,6,、,0,、,14,的符号自上而下排列的。,3.2.4,干支记数法,干支记数法是一种特有的,60,进制的记数方法,十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥,六十甲子,干支,干支,干支,干支,干支,干支,干支,干支,干支,干支,甲子,乙丑,丙寅,丁卯,戊辰,己巳,庚午,辛未,壬申,癸酉,甲戌,乙亥,丙子,丁丑,戊寅,己卯,庚辰,辛巳,壬午,癸未,甲申,乙酉,丙戌,丁亥,戊子,己丑,庚寅,辛卯,壬辰,癸巳,甲午,乙未,丙申,丁酉,戊戌,己亥,庚子,辛丑,壬寅,癸卯,甲辰,乙巳,丙午,丁未,戊申,己酉,庚戌,辛亥,壬子,癸丑,甲寅,乙卯,丙辰,丁巳,戊午,己未,庚申,辛酉,壬戌,癸亥,图,3.4,甲骨文中的干支表拓片,如图,3.4,。这些干支表尽管都有些残损，但从排列上看，全是由上到下竖行排列，而且都是甲起头，,10,对一行，排列整齐，说明商代人已有了序数的概念。,甲骨文中的干支表,中国早在商代就使用干支纪日法。干支纪年，始于东汉初年,如，殷商的帝王们也大多用其出生的那一天的干支名来命名。,据考证，中国古代自春秋时期鲁隐公三年（公元前,720,年）二月己巳日（这天发生一次全日食）起，就开始连续使用干支纪日，直至清末，,2600,年从未间断，这是世界上使用时间最长的纪日法。,干支纪年，我们今天仍用在农历纪年上，近代史上许多重大事件，也常以该事件发生的干支年号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。,3.3,数系在计算中发展,3.3.1,负数,在中国传统数学中，较早形成负数和相关运算法则。,九章算术,方程章中提出了负数的概念以及它们的运算法则：“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。在古代演算使用算筹进行的。为了区分正负数，刘徽在注文中说“正算赤，负算黑，否则以斜正为异。”如 表示,+6,，表示,6,。,西方数学家更多地是研究负数存在的合理性,如，,16,、,17,世纪的帕斯卡认为从,0,减去,4,是纯粹的胡说,帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数，他说如果,(,1),：,1=1,：,(,1),，那么较小数与较大数的比怎么等于较大数与较小数的比呢？,英国数学家瓦里士认为负数小于零而大于无穷大（,1655,）。他对此解释道：因为 时，。而负数 故 。,英国著名代数学家德,摩根在,1831,年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲,56,岁，其子,29,岁。问何时父亲的年龄将是儿子的,2,倍？”他列方程,56+,x,=2,（,29+,x,），开解得,x,=,2,。他称此解是荒唐的。,当然，欧洲在,18,世纪排斥负数的人已经不多了。随着,19,世纪整数的理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正确立。,3.3.2,无理数,公元前,5,世纪，图,3.5,黄金比的几何作图法,(,一,),毕德哥拉斯学派发现了一些直角三角形,的三边不能用整数或整数之比来表示的事实,图,3.6,黄金比的几何作图法,(,二,),在古希腊几何学家试图作正五,边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了作正五边形，只要能作出,360,的角即可，因为这个角的二倍（即,720,的角）是圆内接正五边形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角为,360,的等腰三角形。为此，如图,3.5,中，设,AC,平分底角,OAB,。这时，,OC=AC=AB,，且,BAC,与,AOB,相似。,取,OA,=1,，设,AB=x,，于是有,AB,/,BC,=,OA,/,AB,，,x,/,（,1,x,）,=1/,x,，,即,x,2+,x,1=0,。,由此得到,x,=,（,1,）,/2,。运用古希腊尺规作图的方法，不难作出这样的,x,：,如图,3.6,所示，其中,OA=,1,，,MO=,1/2,，因而,AM=,/2,，以及,AB=AN=AM,MN=,（,1,）,/2=,x,。,这里的无理数,x,被称为“黄金比”（有的资料上把它的倒数（,+1,）,/21.618,称为“黄金比”），它在自然界中，以及在科学和艺术中，处处都会出现。它是早期被发现的无理数之一。,第一次数学危机与古希腊数学家欧道克索斯的“量”理论,无理数最早出现在中国,九章算术,中时，丝毫没有引起人们的异议。,九章算术,的开方术中说：“若开不尽者，为不可开，当以面命之。”,有理数和无理数的小数表达式,任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表示一个无理数。,重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都存在一个有理数。事实上，如果,a,和,b,（,o,a,b,）表示两个无理数，且它们的小数表达式为,a=a,0.,a,1,a,2,和,b,=,b,0,。,b,1,b,2,，,设,i,是使得,an,bn,（,n,=0,，,1,，,2,，,）的第一个,n,值。于是，,c=b,0,。,b,1,b,2,bi,就是,a,和,b,之间的一个有理数。,3.3.3,复数,虚数是负数开平方的产物,，,它是在代数方程求解过程中逐步为人们所发现的,公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其它根，当方程两个负根或虚根时，他就称它是不可解的。,十二世纪印度的婆什伽罗指出：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数”,卡当（,1545,）解方程得到 根和 。这使卡当迷惑不解，并称负数的平方根是“虚构的”、“超诡辩的力量”。,17,世纪，尽管用公式法解方程时经常产生虚数，但是对它的性质，当时仍没有认识。莱布尼兹说：“那个我们称之为虚的,1,的平方根，是圣灵在分析奇观中的超凡显示，是介于存在与不存在之间的两栖物，是理想世界的瑞兆。”,用几何的直观来认识复数,英国数学家瓦里士（,1685,）用几何直观表示实数系二次方程复根的方法：画一条数轴，将根的实部在数轴上表示为一点，在此点处做一线段垂直于数轴，其长度等于 的系数，即表示根的虚部。,丹麦数学家韦塞尔（,1788,年）做了改进：在已有数轴上，做与之垂直的虚轴，并以 为单位，这样就建立了复平面，对于每个复数,a+bi,，都对应着一个由坐标原点出发的向量。韦塞尔用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算，这些定义在现今的教材中也仍保留着。,高斯在（,1811,年）提出,a+bi,可用点（,a,b,）表示，并于,1831,年阐述了复数的几何加法与乘法。同时他指出，在这个几何表示中人们可以看到复数的直观意义已完全建立起来。复数的几何表示促使人们改变了对虚数的神秘印象，成为直观上可以接受的数学对象。,复数的公理化定义,1837,年英国数学家哈密顿指出，复数,a+bi,实数的有序偶（,a,b,），,i,在复平面上可表示为（,0,，,1,），用有序偶给出四则运算的定义，在这种定义下，通常的结合律、交换律及分配律，都能用实数的有序偶推导出来,3.3.4,四元数,利用“域扩张”的方法，寻找新的数域,超复数域。,哈密顿的尝试,从三元数到四元数,“模法则”：两个数,(,a,+,bi,+,cj,),、（,x,+,yi,+,zj,）相乘得到一个新数，它所对应的（三维空间）向量的长，恰好是原先两数所对应的向量的长的积。即对于,(,a,2+,b,2+,c,2),与,(,x,2+,y,2+,z,2),，是否可以找到,(,u,v,w,),使得,(,a,2+,b,2+,c,2)(,x,2+,y,2+,z,2)=,u,2+,v,2+,w,2,。,此前，勒让德就举例说明模法则在三元数域中不可能成立：,3=1+1+1,及,21=16+4+1,都可以表示为三个平方数的和，可是,321=63,却不能表示为三个平方数的和。理由是：凡是形如,8,n,+7,的整数都不能表示为三个平方数的和。,布尔罕桥上的顿悟,i2=j2=k2=,ijk,=,1,。,哈密顿经历了十五年锲而不舍的努力，终于使一个新的超复数域诞生了。这种四元数也像实数和复数那样可以施行加、减、乘、除的运算，但是却不能满足乘法交换律。正如我们已经看到的，,ij,ji,。,超复数域的发展,“八元数”，这是一种包含四元数的新数，不能满足乘法结合律。,利用公理化方法构造数系“,2,n,元数”，并且证明了：,n,=4,且满足“模法则”的数是不存在的（,1848,年）,能保持普通代数所有基本性质不变，而比复数域更大的数系是不具备这些基本性质的。（维尔斯特拉斯，,1861,年）,能满足除乘法交换律之外的一切代数基本性质的超复数域，只有四元数一种（弗罗宾纽斯，,1878,年）,能施行加、减、乘、除的数系只有四种，他们分别是一维的实数域、二维的复数域、四维的四元数域及八维的八元数域（,1958,年）,3.4,数系的公理化,复数、微积分、几何学的理论的逻辑基础都建立在实数系上。,人们用公理化方法建立实数的逻辑基础，即实数系自身的严密化,“,分析的算术化”过程。在三个方面取得了进展：（,1,）运用公理化的方法，使实数建立在自然数系的基础之上；（,2,）康托的基数序数理论，将自然数建立在集合论的基础之上；（,3,）逻辑学家力图从逻辑命题演算的基础上导出集合论，将数学建立在纯逻辑的基础之上。这种方法尚未取得完美的结果。,3.4.1,戴德金分割,无理数的逻辑定义（戴德金,1872,年）：将有理数集合划分成两个非空集合,A,和,，,使得,A,中的任意的数都小于中的任一数。,A,和 的分割记为 。这样的分割可能产生三种情况，（,1,）在,A,中没有最大的数，而中有最小的数,r,；（,2,）在,A,中有最大的数,r,，而在 中没有最小的数；（,3,）在,A,中没有最大的数，在 中也没有最小的数。在前面两种情况中，分割产生有理数，或者说分割界定了有理数。在第三种情况中，界数不存在，分割不能界定任何有理数。这时规定：任何属于第三种情况的分割就界定了一个无理数。,3.4.2,自然数公理,“皮亚诺公理”：,（,1,）,1,是一个自然数。,（,2,）每一个确定的自然数,a,，都有一个确定的后继数 ，而 也是一个自然数。,（,3,）,1,不是任何自然数的后继数，即,1,。,（,4,）一个数只能是某一个数的后继数，或者根本不是后继数，即由,=,，一定能推得,a=b,。,（,5,）任何一个自然数的集合，如果包含,1,，并且假设包含,a,，,也一定包含,a,的后继数 ，那么这个集合就包含所有的自然数。,上帝创造自然数；其余一切都是人为的。（克罗内克）,3.5,超限基数,无限是整个数学的基础。,无限是许多怪事和悖论栖身之处,如，芝诺悖论，表述第五公设的表述，无穷小量（第二次数学危机）,希尔伯特说：“自古以来，没有别的问题象无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法象它这样富有成效地焕发过人的精神。同时，没有别的概念象它这样迫切需要澄清。”,3.5.1,一一对应方法与可列集,定义：如果能根据某一法则使集合,M,与集合,N,中的元素建立一一对应，那么,M,与,N,等价（按现代数学家的语言：称,M,与,N,“,等势”或具有“相同基数”）。,例如，偶数集,E,与自然数集,N,、整数集,Z,与自然数集,N,的一一对应可以定义为：当,n,N,，有,E,中元,2,n,与之对应；当,n,N,，有,Z,中与之对应。,定义：能与自然数集,N,构成一一对应关系的集合，就称为可列集或可数集。记为 。如，。,证明有理数集,Q,也是可列集（采用对角线的对应方法）,定理：如果有可数个可列集,A,1,A,2,A3,，则它们的并集 仍旧是可列集。,事实上，不妨假定对于任何,i,、,j,，,Ai,和,Aj,没有共同元素。我们现在对,A,1,A,2,A3,的元素编号如下：,A1,：,a,11,，,a,12,，,a,13,，,a,14,，,A2,：,a,21,，,a,22,，,a,23,A3,：,a,31,，,a,32,A4,：,a,41,，,对于固定,k,Ak,的元素形如：,a,k1,a,k2,a,k3,。我们定义一一对应,F,：,1,，,2,，,3,，,其中,F,(1)=,a,11,F,(2)=,a,12,F,(3)=,a21,F,(4),=,a,13,F,(5)=,a,22,F,(6)=,a,31,F,(7)=,a,14,从上图可以直观看出这个映射是一一对应。因此，仍旧是可数集。,由以上的性质可以知道,Q,一定是可数集。,定义：有限集合不能通过一一对应映射到自己的真子集合上，而无穷集合却可以通过一一对应映射到自己的真子集合上。例如上面讲到的，整数集合可以映入偶数集合。而偶数集合显然是整数集合的真子集合。,3.5.2,实数集,R,是不可列的,证明（,0,，,1,）是不可列的。,将（,0,，,1,）上的实数用小数表示，若它们是可列的，,a,1=0.,a,11,a,12,a,13,，,a2,=0.,a,21,a,22,a,23,，,a,k,=0.,a,k1,a,k2,。,选实数,Z,=0.,b,1,b,2,，定义,bk,=,由于至少对于第,k,位，,bk,akk,，则,Z,ak,(,k,N,),。所以,(0,1),是不可列的。,于是，康托把（,0,，,1,）区间作为一个新的、更大超限基数的标准，其基数用,C,（英文“连续统”一词第一个字母）表示。,R,与（,0,，,1,）的一一对应关系可表示为,y,x,(0,1),所以,R,与（,0,，,1,）的基数均为,C,，,证明，无理数集合也是不可列集。,事实上，,R,是由实数集与无理数集的并集构成的。如果无理数集是可列集，那么由上节康托定理可得，,R,是可列的。这显然矛盾。,3.5.3,超限基数比大小,定义 若集合,A,与,B,的某一子集间存在一一对应关系，则,。设 ，若,A,与,B,间无一一对应关系，则定理：若 且 则 。,奇异的命题,如，二维平面上点的个数与一维直线上点的个数一样多,平面上全部点，以及三维立方体中的点，都只有基数,C,3.6,发展数感,“发展数感”的课程目标。在,标准,中对数感的学习的目标规定为：“理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体情景中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算结果；并对结果的合理性做出解释。”,印度近代数学家拉马努金（,18871920,）具有对数字敏锐的洞察能力,1729,是能用两种方法表示成两个整数立方和的最小整数。它等于,13+123,和,93+103,。,把数感与数量关系的理解与运用结合起来，培养符号感和初步的数学建模的能力，逐步使学生形成抽象的数及数量关系的认识。,