高考理科数学数列求和复习资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,第三章 数列,数列求和,第 讲,（第一课时）,1,考,点,搜,索,常用求和公式,错位相减法,倒序相加法,并项求和法,裂项求和法,2,高,考,猜,想,数列求和是对数列知识的精彩演绎，它几乎涵盖了数列中所有的思想、策略、方法、技巧，对学生的知识和思维都有很高的训练价值,.,考试时把求和作为大题的一个小问单列，或与极限相结合，考查数列的求和,.,3,一、等差数列与等比数列的求和方法,等差数列的前,n,项和公式是采用,.,推导的，等比数列的前,n,项和公式是采用,推导的,.,倒序相加法,错位相减法,4,二、常用求和公式,(,等差数列,),5,三、错位相减法,这是在推导等比数列的前,n,项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列,a,n,b,n,的前,n,项和,其中,a,n,、,b,n,分别是等差数列和等比数列,.,四、倒序相加法,将一个数列倒过来排列,(,倒序,),，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和,.,等差数列的求和公式 就是用倒序相加法推导出来的,.,6,五、分组求和法,有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列,.,若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并,.,六、裂项法,这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用,.,裂项法的实质是将数列中的项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的,.,7,令,a,n,=1+2+2,2,+2,n,-1,=2,n,-1.,则数列,a,n,的前,n,项和即为,S,n,故,S,n,=2,n,+1,-2-,n,，,则,2,n,+1,-2-,n,1020,，,解得,n,10.,D,10,2.,二次函数,y=n,(,n,+1),x,2,-(2,n,+1),x,+1,，当,n,依次取,1,，,2,，,3,，,4,，,，,k,，,时，图象在,x,轴上截得的线段的长度的总和为,(),A.1 B.2,C.3 D.4,11,令,y,=0,，,则,n,(,n,+1),x,2,-(2,n,+1),x,+1=0,，,得 或,则当,n,取,k,时,图象在,x,轴上截得的线段的长度,所以所求线段的长度的总和为,故选,A,.,12,3.,设,S,n,=1-2+3-4+(-1),n,-1,n,则,S,17,+,S,33,+,S,50,=(),A.-1 B.0,C.1 D.2,依题意，,S,17,=1-2+3-4+17=9,S,33,=1-2+3-4+31-32+33=17,S,50,=1-2+3-4+49-50=-25,则,S,17,+,S,33,+,S,50,=1,，故选,C.,C,13,题型,1,：分组求和法,14,15,16,【,点评,】,：,点评：求数列的前,n,项和，首先要研究数列的通项公式的特点，再确定相应的求和方法如本题中的,(1),小题运用分组求和法；,(2),小题中，由于,an,的项是正负相间，故采用并项求和法，但解题中要注意分奇数、偶数讨论,17,求数列,1,a,+,a,2,，,a,2,+,a,3,+,a,4,a,3,+,a,4,+,a,5,+,a,6,(,a,0),的前,n,项和,S,n,.,据题设条件分析可知：,a,n,=,a,n,-1,+,a,n,+,a,n,+1,+,a,2,n,-2,，,当,a,=1,时，,a,n,=,n,，,所以,当,a,1,时，,18,当,a,1,时，,当,a,=-1,时，,19,题型,2,：错位相减法求和,2.,求值：,分,a,=1,和,a,1,两种情况,.,当,a,=1,时，,当,a,1,时，,将上式两边同乘以 ，得,两式相减，得,20,即,综上所述，得,21,【,点评,】,：,若和式的项是一个等差数列与一个等比数列的积的形式，就用错位相减法求和,.,其步骤主要有：先在和式两边乘,(,或除,),以等比数列的公比，然后两式中有,n,-1,项参与错位相减，相减后这,n,-1,项构成一个新的等比数列，然后可求得其和,.,如果是含参数的等比数列，注意按公比是否为,1,进行讨论,.,22,已知等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,=,a,2,n,+b,，且,a,1,=3.,(1),求,a,、,b,的值及数列,a,n,的通项公式；,(2),设,数列,b,n,的前,n,项和为,T,n,证明：,T,n,23,(1),当,n,2,时，,a,n,=,S,n,-,S,n-1,=2,n-,1,a,.,而,a,n,为等比数列，得,a,1,=2,1-1,a,=,a,.,又,a,1,=3,，得,a,=3.,从而,a,n,=32,n-,1,(,n,N,*).,又因为,a,1,=,2,a+b=,3,，所以,b,=-3.,24,(2),证明：,因为,所以,两式相减得,则,25,3.,求下列各数列的前,n,项和,S,n,.,(1),(2),(1),因为,所以,题型,3:,裂项法求和,26,(2),因为,所以,27,【,点评,】,：,“裂项法”一般适用于分式型求和，和式中的项的结构特点一般是：或,(,其中,a,n,是公差为,d(d,0),的等差数列,),，利用 变形后,一些项相抵消，注意前后各有哪些项保留,.,28,29,30,1.,从分析数列的通项公式入手，挖掘数列通项公式的结构特征，并进行联想对比，来选择求和的不同方法,.,2.,对于分子为某一常数，分母是由等差数列的项之积形成的分数数列的求和一般选用裂项相消法,.,31,第三章 数列,数列求和,第 讲,（第二课时）,32,题型,4,：倒序相加法求和,1.,求值：,33,+得,所以,34,【,点评,】,：,运用倒序相加法的主要依据是和式中两项为一组的和相等,.,本题用倒序相加法的背景是组合数所具备的两个重要性质：,和 从而倒序相加后和得以求出,.,35,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=(,n,-1)2,n,+1，是否存在等差数列,b,n,，,使,对一切正整数,n,均成立？,36,当,n,=1时，,a,1,=,S,1,=1；,当,n,2时，,a,n,=,S,n,-,S,n-1,=(,n,-1)2,n,+1-(,n,-2)2,n,-1,-1=2,n,-1,(2,n,-2-,n,+2)=,n,2,n,-1,.,因,a,1,=1满足,n,2时,a,n,的表达式，,所以,a,n,=,n,2,n,-1,(,n,N,*).,假设存在等差数列,b,n,满足条件，,设,b,0,=0,且,b,n,(,n,N,*)仍为等差数列，,则,37,倒序，得,相加得,所以,a,n,=b,n,2,n,-1,，与,a,n,=,n,2,n,-1,，,比较得,b,n,=,n,.,故存在等差数列,b,n,，,其通项公式为,b,n,=n,，使,题中结论成立,.,38,2.,已知数列,a,n,的通项公式,a,n,=(-1),n,(2,n,-1),求前,n,项和,S,n,.,(1),当,n,为偶数时，,S,n,=(-1+3)+(-5+7)+-(2,n,-3)+(2,n,-1),=2+2+2=,n,.,题型,5,：并项求和法,39,(2),当,n,为奇数时，,n,-1,为偶数，,S,n,=,S,n-,1,+,a,n,=,n,-1-(2,n,-1)=-,n,，,所以,S,n,=(-1),n,n,.,【,点评,】,：,如果和式的项的符号与项数有关,则需根据所求项数是奇数,还是偶数进行分类讨论,.,40,数列,a,n,的通项,a,n,=,前,n,项和为,S,n,.,求：,(1),a,3,k,-2,+,a,3,k,-1,+,a,3k,(,k,N,*);,由于,故,a,3k-2,+,a,3k-1,+,a,3k,41,(2),求,S,n,;,42,故,43,(3),b,n,=,，求数列,b,n,的前,n,项和,T,n,.,由,(2),知，,则,两式相减得,故,44,数列,a,n,中，,a,1,=1,，且,a,n,a,n+,1,=4,n,，求其前,n,项和,S,n,.,依题意得,，,由于,a,1,0,，故由,得,a,n,+2,a,n,=4,，,所以,a,1,，,a,3,，,a,5,，,，,a,2,n-1,，,；,a,2,，,a,4,，,a,6,，,，,a,2,n,，,都是公比为,4,的等比数列,.,因为,a,1,=1,，所以,a,2,=4,，,q,=4.,参考题,45,(1),当,n,为奇数时，,(2),当,n,为偶数时，,46,1.,对于组合数型的数列求和常用倒序相加法，注意应用恒等式：,2.,在求,S,n,的过程中，先从,n,为偶数入手，探求,S,n,.,当,n,为奇数时，则,n,-1,为偶数，利用,S,n,=,S,n-1,+,a,n,求出,n,为奇数时,S,n,的表达式,.,47,