数学物理方程的变分原理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,数学物理方程的变分原理,数学物理方程的变分原理数学物理方程的变分原理,第一节 变分问题介绍,1,、古典变分问题,2,分析：,3,4,空间中的封闭曲线,C,。最小曲面问题就是求,设曲面方程为,u,u,（,x,，,y,）,例：最小曲面问题,设,x,y,平面上有开区域,，其边界记为 ，在 上给定条件,从而给出,是 上的已知函数,张紧在曲线,C,上的曲面中，其面积最小的曲面。,对应及,u,的曲面面积为,5,故,s,是,u,的一个泛函，其中,u,所属的函数集合,这样，最小曲面问题就可以写成如下的泛函极小问题,6,变分问题：求泛函极值的问题,7,1.2,二次函数的极值（,R,n,中的变分问题）,其中,设二次泛函,J,在 达到极小，则对于一切,8,有,.,点达到极小，则,在 达,到极小。,9,反之,若 显然有,即 点达到极小。,10,一定条件下二次函数的 极值问题及线性方程组问题等价,11,第二节、一维数学物理问题的变分问题,u,x,x,l,A,B,0,12,13,14,15,引理,2.1,（变分法基本引理）,16,2.1,两点边值问题的变分形式,17,18,虚功原理,19,20,特别地，取 ，则,21,根据引理,2.1,，则,22,进一步，,则：,自然边界条件，隐含在问题之中,约束边界条件（本质边界条件）,23,最小势能原理,24,最小势能原理：,25,26,27,28,一、第一类非齐次边界条件的定解：,令 ，则,满足：,2.2,、,非齐次边界条件的处理,29,Galerkin,形式的变分问题：,形式的变分问题为：,其中,30,其中,将 代入，得到,Galerkin,变分形式：,非齐次边界条件问题的,31,二、第二第三类边界条件问题：,其中,完全类似地，,及方程作内积有,32,对第一项分部积分，注意到,v(a),0,，,得,33,Galerkin,变分形式：,其中,34,35,谢谢,