全国版2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何87双曲线课件理.ppt

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上,的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是,.,【解析】,根据双曲线方程可知c=5.,所以焦点为F,2,(5,0),F,1,(-5,0).,设P(x,y),由两点间距离公式:,|PF,2,|=6,所以点P在双曲线右支上,|PF,1,|=,因为|PF,1,|-|PF,2,|=2a=8,所以 =2a+6=14,所以(x+5),2,+y,2,=196,联立得x=8.,代入原式可得y=3 .,所以点P坐标为(8,3 ).,答案:,(8,3 ),2.(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆 的焦点为,顶点,顶点为焦点的双曲线方程为,.,【解析】,设要求的双曲线方程为 (a0,b0),由椭圆 ,得焦点为(1,0),顶点为(2,0).,所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0).,所以a=1,c=2,所以b,2,=c,2,-a,2,=3,所以双曲线标准方程为x,2,-=1.,答案:,x,2,-=1,感悟考题试一试,3.(2015安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是(),【解析】,选A.由双曲线的渐近线方程的公式可知选项,A,的渐近线方程为,y=,2x.,4.(2015四川高考)过双曲线x,2,-=1的右焦点且与x,轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则,|AB|=(),【解析】,选D.由双曲线方程知,右焦点为,(2,0),直线,x=2,与渐近线,y=,x,的交点,A(2,2 ),B(2,-2 ),所以,=4 .,5.(2016阜阳模拟)双曲线 =1的焦距为(),【解析】,选C.由双曲线 =1,易知c,2,=3+2=5,所以,c=,所以双曲线 =1的焦距为2 .,考向一,双曲线的定义及其应用,【典例1】,(1)(2015福建高考)若双曲线E:=1,的左、右焦点分别为F,1,F,2,点P在双曲线E上,且|PF,1,|=3,则|PF,2,|等于(),A.11B.9C.5D.3,(2)(2015全国卷)已知F是双曲线C:x,2,-=1的右,焦点,P是C左支上一点,当APF周长最小时,该三角形的面积为,.,【解题导引】,(1)由已知条件以及双曲线的定义,即可得出|PF,2,|的值.,(2)利用双曲线的定义以及两点之间线段最短即可求出APF周长的最小值,进而求出三角形的面积.,【规范解答】,(1)选B.因为|PF,1,|-|PF,2,|=2a,所以|PF,1,|-|PF,2,|=6,所以|PF,2,|=9或-3(舍去).,(2)由已知a=1,b=2 ,c=3,所以F(3,0),F(-3,0),又,所以|AF|=15,APF周长,l,=|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF|=2,所以|PF|=|PF|+2,所以,l,=|PA|+|PF|+2+15|AF|+17=32,当且仅当A,P,F三点共线时,APF周长最小,如图所示.,设P(x,y),直线AF的方程为 =1,联立得,消去x得 y,2,+36y-96 =0,解得y=-8 (舍)或y=2 ,则P(x,2 ).,因为S,APF,=S,AFF,-S,PFF,=66 -62 =12 .,答案:,12,【规律方法】,“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧,(1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.,(2)技巧:经常结合|PF,1,|-|PF,2,|=2a,运用平方的方法,建立它与|PF,1,|PF,2,|的联系.,提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点:,(1)距离之差的绝对值.(2)2a0,a0,b0),由题设知,c=3,a=2,b,2,=9-4=5,所以点,P,的轨迹方程为,=1(x0).,【加固训练】,1.(2016阳泉模拟)已知点F,1,F,2,分别为双曲线C:x,2,-y,2,=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且F,1,PF,2,=60,则|PF,1,|PF,2,|等于(),A.2B.4C.6D.8,【解析】,选B.由题意知a=1,b=1,c=,所以|F,1,F,2,|=2 ,在PF,1,F,2,中,由余弦定理得,|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-2|PF,1,|PF,2,|cos 60,=|F,1,F,2,|,2,=8,即|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-|PF,1,|PF,2,|=8,由双曲线定义得|PF,1,|-|PF,2,|=2a=2,两边平方得|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-2|PF,1,|PF,2,|=4,-得|PF,1,|PF,2,|=4.,2.如果双曲线 =1上一点P到它的右焦点的距离,是8,那么点P到它的左焦点的距离是(),A.4B.12,C.4或12 D.不确定,【解析】,选C.由双曲线方程,得a=2,c=4.根据双曲线的定义|PF,1,|-|PF,2,|=2a,则|PF,1,|=|PF,2,|2a=84,所以|PF,1,|=4或12,经检验二者都符合题意.,3.点P是双曲线 =1(a0,b0)右支上一点,点F,1,F,2,分别为左、右焦点,且焦距为2c,则PF,1,F,2,的内切圆,圆心M的横坐标是(),A.a B.b,C.c,D.a+b-c,【解析】,选A.如图,内切圆圆心M到各边的距离分别为MA,MB,MC,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF,1,|=|AF,1,|,|AF,2,|=|BF,2,|,|PC|=|PB|,所以|PF,1,|-|PF,2,|=|CF,1,|-|BF,2,|=|AF,1,|-|AF,2,|=2a,又|AF,1,|+|AF,2,|=2c,所以|AF,1,|=a+c,则|OA|=|AF,1,|-|OF,1,|=a.,因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以PF,1,F,2,的内切圆圆心M的横坐标为a.,考向二,双曲线的标准方程及性质,【考情快递】,命题方向,命题视角,与双曲线有关的范围问题,考查利用双曲线方程或性质解决参数长度等的范围,与双曲线的离心率、渐近线相关的问题,考查运用条件求离心率或渐近线的问题及范围,【考题例析】,命题方向1:与双曲线有关的范围问题,【典例2】,(2015全国卷)已知M(x,0,y,0,),是双曲线C:-y,2,=1上的一点,F,1,F,2,是C的,两个焦点,若 0,则y,0,的取值范围是(),【解题导引】,直接利用向量的数量积列出并解不等式,即可求出y,0,的取值范围.,【规范解答】,选A.因为F,1,(-,0),F,2,(,0),=1,所以,0,即3y,0,2,-10,解得-y,0,.,【母题变式】,1.若本例中的条件“0”改为“,=0”,试求MF,1,F,2,的面积.,【解析】,由题意知:F,1,(-,0),F,2,(,0),=1,所以,=3y,0,2,-1=0,解得:y,0,=,又因为|F,1,F,2,|=2 ,所以MF,1,F,2,的面积=1,即MF,1,F,2,的面积为1.,2.若本例中的条件“0,b0),的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2),2,+,y,2,=3相切,则双曲线的方程为(),【解题导引】,(1)依据已知条件,想办法得出关于a,c的等式,解方程即可得出离心率的值.,(2)可由已知条件,得出关于a,b的两个方程,解方程组即可得出a,b的值,进而得出双曲线方程.,【规范解答】,(1)选D.设双曲线方程为 =1(a0,b0),如图所示,|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,在,RtBMN中,|BN|=a,|MN|=a,故点M的坐标为M(2a,a),代入双曲线方程得a,2,=b,2,=c,2,-a,2,即c,2,=2a,2,所以,e=.,(2)选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2),2,+y,2,=3相,切可知 又因为c=2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x,2,-=1.,【技法感悟】,1.与双曲线有关的范围问题的解题思路,(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.,(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.,2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略,(1)双曲线的离心率e=是一个比值,故只需根据条件,得到关于a,b,c的一个关系式,利用b,2,=c,2,-a,2,消去b,然后,变形成关于e的关系式,并且需注意e1.,(2)求双曲线 =1(a0,b0)的渐近线的方法是令,=0,即得两渐近线方程 =0.,(3)与双曲线 =1共渐近线的方程可设为,=(0).,(4)若渐近线的方程为y=x,则可设双曲线方程为,=(0).,【题组通关】,1.(2014全国卷)已知双曲线 =1(a0)的离,心率为2,则a=(),【解析】,选,D.,由双曲线的离心率可得,=2,解得,a=1.,2.(2016成都模拟)设双曲线C的中心为点O,若有且只,有一对相交于点O,所成的角为60的直线A,1,B,1,和A,2,B,2,使|A,1,B,1,|=|A,2,B,2,|,其中A,1,B,1,和A,2,B,2,分别是这对直线与,双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是,(),【解析】,选A.因为有且只有一对相交于点O,所成的角,为60的直线,A,1,B,1,和,A,2,B,2,所以直线,A,1,B,1,和,A,2,B,2,关于,x,轴,对称,并且直线,A,1,B,1,和,A,2,B,2,与,x,轴的夹角为,30,双曲线,的渐近线与,x,轴的夹角大于,30,且小于等于,60,否则,不满足题意,.,可得,tan 30,即,所以,e,同样的,当 tan 60,即 3时,所以e2.,所以双曲线的离心率的范围是 .,3.(2016烟台模拟)已知双曲线x,2,-=1的左顶点为,A,1,右焦点为F,2,P为双曲线右支上一点,则 的最,小值为,.,【解析】,由题可知A,1,(-1,0),F,2,(2,0).,设P(x,y)(x1),则 =(-1-x,-y),=(2-x,-y),=(-1-x)(2-,x)+y,2,=x,2,-x-2+y,2,=x,2,-x-2+3(x,2,-1)=4x,2,-x-5.,因为x1,函数f(x)=4x,2,-x-5的图象的对称轴为x=,所以当x=1时,取得最小值-2.,答案:,-2,考向三,双曲线的综合问题,【典例4】,(1)(2016宁德模拟)已知椭圆 =1,(a0)与双曲线 =1有相同的焦点,则a的值为,(),(2)(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x,2,-y,2,=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为,.,【解题导引】,(1)依据椭圆、双曲线的焦点坐标相同,即可确定a的值;(2)利用点到直线的距离公式直接求解即可.,【规范解答】,(1)选C.因为椭圆 =1(a0)与双曲,线 =1有相同的焦点(,0),则有a,2,-9=7,所以a=4.,(2)设P(x,y)(x1),因为直线x-y+1=0平行于渐近线x-,y=0,所以c的最大值为直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间,的距离,由两平行线间的距离公式知,该距离为,答案:,【母题变式】,1.若将本例(1)中的条件“有相同的焦点”,改为“有相同的焦距”,试求a的值.,【解析】,因为双曲线 =1中a,2,=4,b,2,=3,所以c,2,=7,因此,双曲线的焦距为2 .对于椭圆 =1,当a,2,9时,c,2,=a,2,-9=7,a,2,=16,又因为a0,所以a=4;当a,2,0,所以a=.,综上可知:a=4或 .,2.若将本例(1)中的条件“有相同的焦点”,改为“有相同的顶点”,试求a的值.,【解析】,因为双曲线 =1的顶点坐标为,(2,0),(-2,0),所以椭圆,=1(a0),的顶点坐标有,(2,0),(-2,0),所以,a,2,=4,又因为,a0,所以,a=2.,【规律方法】,解决与双曲线有关综合问题的方法,(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质求解.,(2)解决直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程,消元求解一元二次方程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取舍.,【变式训练】,(2016秦皇岛模拟)已知双曲线,=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦,点在抛物线y,2,=24x的准线上,则双曲线的方程为(),【解析】,选C.抛物线y,2,=24x的准线方程为x=-6,与x的,交点即为双曲线的左焦点F,1,(-6,0),故c=6.,由双曲线的一条渐近线方程为y=x可知,由 所以双曲线的方程为 =1.,【加固训练】,1.(2016张掖模拟)已知双曲线 =1(a0,b0),的左、右焦点分别为F,1,F,2,以|F,1,F,2,|为直径的圆与双曲,线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为,(),【解析】,选C.由题意知,圆的半径为5,又点(3,4)在经,过第一、三象限的渐近线y=x上,因此有,解得 所以此双曲线的方程为 =1.,2.已知双曲线 =1(a0,b0)的一个焦点与圆,x,2,+y,2,-10 x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于 ,则该双曲线的标准方程为(),【解析】,选A.由题意知圆心坐标为(5,0),即c=5,又e=所以a,2,=5,b,2,=20,所以双曲线的标准方程为 =1.,3.(2016开封模拟)从双曲线 =1(a0,b0)的,左焦点F引圆x,2,+y,2,=a,2,的切线,切点为T,延长FT交双曲线,右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-,|MT|与b-a的关系为(),A.|MO|-|MT|b-a,B.|MO|-|MT|b-a,C.|MO|-|MT|=b-a,D.|MO|-|MT|与b-a无关,【解析】,选C.设F,1,是双曲线的右焦点,连接PF,1,由双曲线的定义知|PF|-|PF,1,|=2a,因为OM是FF,1,P的中位线,所以|PF,1,|=2|OM|.,又M是FP的中点,所以|PF|=2|MF|.,代入得2|MF|-2|OM|=2a,|MF|-|OM|=a.,因为|MF|=|MT|+|TF|,|FT|,2,=|OF|,2,-|OT|,2,=c,2,-a,2,所以|FT|=b.所以|MF|=|MT|+b.,把代入得|MT|+b-|OM|=a,所以|OM|-|MT|=b-a.,谢谢！,