课件-数学物理方法总复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学物理方法(梁昆淼)总复习,二 解析函数,函数 在D内解析的充要条件：,b:及 在D内处处满足C-R条件,a:及 在D内处处可微,处处连续,极,坐,标,直角坐标,三 复变函数的积分 柯西 定理,公式,定理,单通,复通,解析函数,公式,第一类情形,：,沿非闭合曲线的积分,a:若 不解析,b:若 在闭单通区域上解析，求原函数来计算积分,求路径积分,第二类情形：沿闭合围道的积分,（,在闭单通区域上解析）,（,在闭单通区域上解析且 为该区域上的内点）,留数定理，单极点,留数定理，n阶极点,柯西公式和留数定理是可以统一起来的！,四 留数定理,次方项的系数,留数,1.有限远点的留数,2.留数定理,.,b1,.,b2,.,bn,.,.,全平面的留数定理：,函数 在全平面上所有各点的留数之和为零,3 留数的计算（注意判断奇点的类型）,（1）可去奇点,奇点邻域内的洛朗展开无负幂项，有限远点,（2）极点,单极点,m阶极点,如何判断极点的阶：,非零有限值,（3）本性奇点：将 在 的去心邻域上作洛朗展开，求1次方的系数，或用全平面留数定理,五.洛朗展开,常用初等函数的Tayler展开式,六.孤立奇点的分类：（根据孤立奇点的去心领域内洛朗级数的性质）,可去奇点,：,内的洛朗级数不含有 的负幂项,极点,：,内的洛朗级数仅含有有限个 的负幂项,M阶极点,本性奇点,内的洛朗级数含有无限个 的负幂项,不存在,如何判断极点的阶,七 利用留数定理计算实变定积分,第一类：,第二类：,特点,：被积函数的积分区间（，），在实轴上,无,奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当 在,上半平面 和实轴上 时，一致地,第三类：,被积函数的积分区间 ，,偶函数 和奇函数,在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 在上半平面或实轴上 时，和,一致地趋于零,八 奇函数和偶函数的傅立叶级数,奇函数,只有正弦项,偶函数,只有余弦项,九 函数,1挑选性,傅立叶积分,2 函数的,十,.,数学物理定解问题,A.几个重要的泛定方程,1.,弦的横振动方程和杆的纵振动方程(自由振动),弦的横振动方程和杆的纵振动方程(受迫振动),每单位长度的弦所受的横向力,每单位长度单位横截面积的杆所受的纵向外力,2.一维的无源扩散方程和热传导方程（输运方程）,一维的有源热传导方程,单位时间在单位长度上产生的热量,3 静电场方程,有源：,泊松方程,无源：,拉普拉斯方程,B 定解条件,1.初始条件:热传导方程 1个初始条件,波动方程2个初始条件,2.边界条件,第一类边界条件,第三类边界条件,第二类边界条件,第二类边界条件:,若为,自由振动,例1 作纵振动的杆,例2 细杆导热问题,流出,流入,达朗贝尔公式适用的问题,1,无界区间内的自由振动问题,齐次的泛定方程,半无界区间内的自由振动问题,一齐,2,奇延拓,二齐,3,偶延拓,半无界区间内的自由振动问题,十一 分离变数法,有界区间,I,第一类问题,:齐次的泛定方程,II,第二类问题,:非齐次的泛定方程,1.边界条件为“一齐”,2.边界条件为“二齐”,3.边界条件为“混齐”,4,极坐标系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件,II,第三类问题,:非齐次的边界条件,I,第一类问题,:齐次的泛定方程,1.边界条件为“一齐”,本征值,本征函数,a.波动问题,通解,系数,b.输运问题,通解,系数,2.边界条件为“二齐”,本征值,本征函数,a.波动问题,通解,系数,b.输运问题,通解,系数,3.边界条件为“混齐”,本征值,本征函数,1,2,2,1,a.波动问题,12,或,21,12,21,12,21,12,21,b.输运问题,12,或,21,12,21,通解,系数,12,21,4 极坐标系中,拉普拉斯方程带有周期性边界条件,本征值,本征函数,通解,I,第二类问题,:非齐次的泛定方程,方法一：傅立叶级数法,方法二：冲量定理法,冲量定理法适用的定解问题,初始条件必须为0,齐次边界条件,非齐次的输运方程也适用（齐次边界条件和初始条件为0）,波动方程,解题模式,1转化,2求 的解,3 原问题的解,阶勒让德多项式,A,：表达式,查表,不超过 的最大整数,记忆：,十二.球函数,B,：,勒让德多项式的微分表示和积分表示,微分表示,积分表示,C,：,勒让德多项式的正交关系,D,：,勒让德多项式的模,E:以勒让德多项式为基，将 上的函数 展 开为广义傅立叶级数,系数,勒让德多项式的应用,拉普拉斯方程的轴对称定解问题,边界条件与 无关,通解,例：在均匀电场中放入导体球或介质球（作业题和例题）,F:勒让德多项式的母函数,例：在点电荷的电场中放入导体球或介质球（例题）,阶连带勒让德函数,A,：表达式,记忆：,B：连带勒让德函数的微分表示和积分表示,微分表示,积分表示,C：连带勒让德函数的模,（1）,4 一般的球函数,A,：表达式,：,两个线性独立的解，可以取其中任何一个,（1）,（2）,复数形式的球函数,可以取负值,(个）,B：球函数的模,（1）,（2）复数形式球函数的模,连带勒让德函数的应用,拉普拉斯方程的非轴对称定解问题,边界条件与 有关,通解,