2019届江苏专用高考数学一轮复习第三章三角函数3.2三角函数的图象和性质讲义.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),3.2三角函数的图象和性质,1.,(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数,y,=sin 2,x,的图象与,y,=cos,x,的图象的交点个数是,.,A,组 自主命题,江苏卷题组,五年高考,答案,7,解析,解法一:在同一平面直角坐标系中作出,y,=sin 2,x,与,y,=cos,x,在区间0,3上的图象(如图).由,图象可知,共有7个交点.,解法二:由sin 2,x,=cos,x,cos,x,=0或sin,x,=,因为,x,0,3,所以,x,=,故两,函数图象的交点个数是7.,2.,(2017江苏,16,14分)已知向量,a,=(cos,x,sin,x,),b,=(3,-,),x,0,.,(1)若,a,b,求,x,的值;,(2)记,f,(,x,)=,a,b,求,f,(,x,)的最大值和最小值以及对应的,x,的值.,解析,(1)因为,a,=(cos,x,sin,x,),b,=(3,-,),a,b,所以-,cos,x,=3sin,x,.,若cos,x,=0,则sin,x,=0,与sin,2,x,+cos,2,x,=1矛盾,故cos,x,0.,于是tan,x,=-,.,又,x,0,所以,x,=,.,(2),f,(,x,)=,a,b,=(cos,x,sin,x,)(3,-,)=3cos,x,-,sin,x,=2,cos,.,因为,x,0,所以,x,+,从而-1,cos,.,于是,当,x,+,=,即,x,=0时,f,(,x,)取到最大值3;,当,x,+,=,即,x,=,时,f,(,x,)取到最小值-2,.,考点一三角函数的图象及其变换,1.,(2017课标全国理改编,9,5分)已知曲线,C,1,:,y,=cos,x,C,2,:,y,=sin,则下面结论正确的是,.,把,C,1,上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移,个单位长度,得到曲线,C,2,;,把,C,1,上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移,个单位长度,得到曲线,C,2,;,把,C,1,上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移,个单位长度,得,到曲线,C,2,;,把,C,1,上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移,个单位长度,得到曲线,C,2,.,B组,统一命题,省(区、市)卷题组,答案,解析,本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.,首先利用诱导公式化异名为同名.,y,=sin,=cos,=cos,=cos,由,y,=cos,x,的图象得到,y,=cos 2,x,的图象,需将曲线,C,1,上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变;,由,y,=cos 2,x,的图象得到,y,=cos,的图象,需将,y,=cos 2,x,的图象上的各点向左平移,个单位,长度,故填.,方法总结,(1)三角函数图象变换:,伸缩变换:将,y,=sin,x,图象上的各点的横坐标变为原来的,倍,纵坐标不变,可得到,y,=sin,的,图象;将,y,=sin,x,图象上各点的纵坐标变为原来的,A,倍,横坐标不变,可得到,y,=,A,sin,x,的图象.,平移变换:函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量,x,的,变化量.,(2)解决三角函数图象变换题时,若两函数异名,则通常利用公式sin,x,=cos,和cos,x,=,s,in,将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.,2.,(2016课标全国改编,6,5分)将函数,y,=2sin,的图象向右平移,个周期后,所得图象对应,的函数为,.,答案,y,=2sin,解析,该函数的周期为,将其图象向右平移,个单位后,得到的图象对应的函数为,y,=2sin,2,+,=2sin,.,易错警示,三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对,x,而言的,将,x,变为,x,-,而不是将2,x,变,为2,x,-,.,评析,本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对,x,.,3.,(2016四川改编,4,5分)为了得到函数,y,=sin,的图象,只需把函数,y,=sin,x,的图象上所有的点,向,平移,个单位长度.,答案,左;,解析,根据“左加右减”的原则可知,把函数,y,=sin,x,的图象上所有的点向左平行移动,个单位,长度可得,y,=sin,的图象.,评析,本题考查三角函数图象的平移变换.,4.,(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数,y,=sin,的图象,只需把函数,y,=sin 2,x,的图象上所有,的点向,平移,个单位长度.,答案,右;,解析,将,y,=sin 2,x,的图象向右平行移动,个单位长度得到,y,=sin,=sin,的图象.,解后反思,将,y,=sin,化为,y,=sin,是解题的关键.,5.,(2015湖南改编,9,5分)将函数,f,(,x,)=sin 2,x,的图象向右平移,个单位后得到函数,g,(,x,)的,图象.若对满足|,f,(,x,1,)-,g,(,x,2,)|=2的,x,1,x,2,有|,x,1,-,x,2,|,min,=,则,=,.,答案,解析,g,(,x,)=sin2(,x,-,)=sin(2,x,-2,).,|,f,(,x,)|,1,|,g,(,x,)|,1,|,f,(,x,1,)-,g,(,x,2,)|,2,当且仅当,f,(,x,1,)=1,g,(,x,2,)=-1或,f,(,x,1,)=-1,g,(,x,2,)=1时,满足|,f,(,x,1,)-,g,(,x,2,)|=2.,不妨设,A,(,x,1,-1)是函数,f,(,x,)图象的一个最低点,B,(,x,2,1)是函数,g,(,x,)图象的一个最高点,于是,x,1,=,k,1,+,(,k,1,Z),x,2,=,k,2,+,+,(,k,2,Z),|,x,1,-,x,2,|,=,.,|,x,1,-,x,2,|,-,.,又|,x,1,-,x,2,|,min,=,-,=,即,=,.,评析,本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高,要求考生能,准确地画图并理解题意.属中等难度题.,6.,(2014辽宁改编,9,5分)将函数,y,=3sin,的图象向右平移,个单位长度,所得图象对应的函,数在区间,上单调递增.,答案,(,k,Z),评析,本题主要考查三角函数图象变换及正弦函数性质,难度不大.,解析,函数,y,=3sin,的图象向右平移,个单位长度所得图象对应的函数为,y,=3sin,=3sin,.由2,k,-,2,x,-,2,k,+,k,Z,得该函数的递增区间为,k,+,k,+,(,k,Z).,7.,(2013湖北理改编,4,5分)将函数,y,=,cos,x,+sin,x,(,x,R)的图象向左平移,m,(,m,0)个单位长度后,所得到的图象关于,y,轴对称,则,m,的最小值是,.,答案,x,+,0,2,x,A,sin(,x,+,),0,5,-5,0,8.,(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,),在某一个周期内,的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:,(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数,f,(,x,)的解析式;,(2)将,y,=,f,(,x,)图象上所有点向左平行移动,(,0)个单位长度,得到,y,=,g,(,x,)的图象.若,y,=,g,(,x,)图象的一,个对称中心为,求,的最小值.,解析,y,=,f,(,x,)=,cos,x,+sin,x,=2sin,向左平移,m,(,m,0)个单位长度后得,f,(,x,+,m,)=2sin,图象关于,y,轴对称,令,x,=0,得,=2,从而,m,+,=2,k,k,Z,故,m,=2,k,+,或,m,=2,k,-,k,Z,又m0,所以,m,min,=,.,解析,(1)根据表中已知数据,解得,A,=5,=2,=-,.,数据补全如下表:,x,+,0,2,x,A,sin(,x,+,),0,5,0,-5,0,且函数表达式为,f,(,x,)=5sin,.,(2)由(1)知,f,(,x,)=5sin,得,g,(,x,)=5sin,.,因为,y,=sin,x,的对称中心为(,k,0),k,Z.,令2,x,+2,-,=,k,k,Z,解得,x,=,+,-,k,Z.,由于函数,y,=,g,(,x,)的图象关于点,中心对称,令,+,-,=,k,Z,解得,=,-,k,Z.,由,0可知,当,k,=1时,取得最小值,.,1.,(2017课标全国文改编,6,5分)函数,f,(,x,)=,sin,+cos,的最大值为,.,考点二三角函数的性质及其应用,答案,解析,f,(,x,)=,sin,+cos,=,+,cos,x,+,sin,x,=,sin,x,+,cos,x,=,2sin,=,sin,f,(,x,)的最大值为,.,一题多解,cos,=cos,=sin,=sin,f,(,x,)=,sin,f,(,x,),max,=,.,2.,(2017课标全国文,13,5分)函数,f,(,x,)=2cos,x,+sin,x,的最大值为,.,答案,解析,本题主要考查三角函数的最值.,由题意可知,f,(,x,)=2cos,x,+sin,x,=,sin(,x,+,)(tan,=2),f,(,x,)的最大值为,.,3.,(2017课标全国理,14,5分)函数,f,(,x,)=sin,2,x,+,cos,x,-,的最大值是,.,答案,1,解析,本题主要考查三角函数的最值.,由题意可得,f,(,x,)=-cos,2,x,+,cos,x,+,=-,+1.,x,cos,x,0,1.,当cos,x,=,时,f,(,x,),max,=1.,4.,(2016课标全国理改编,7,5分)若将函数,y,=2sin 2,x,的图象向左平移,个单位长度,则平移后图,象的对称轴为,.,答案,x,=,+,(,k,Z),解析,将函数,y,=2sin 2,x,的图象向左平移,个单位长度得到函数,y,=2sin 2,=2sin,的图象,由2,x,+,=,k,+,(,k,Z),可得,x,=,+,(,k,Z).则平移后图象的对称轴为,x,=,+,(,k,Z).,易错警示,本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数,y,=2sin,的图象.,5.,(2017浙江,18,14分)已知函数,f,(,x,)=sin,2,x,-cos,2,x,-2,sin,x,cos,x,(,x,R).,(1)求,f,的值;,(2)求,f,(,x,)的最小正周期及单调递增区间.,解析,本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.,(1)由sin,=,cos,=-,f,=,-,-2,得,f,=2.,(2)由cos 2,x,=cos,2,x,-sin,2,x,与sin 2,x,=2sin,x,cos,x,得,f,(,x,)=-cos 2,x,-,sin 2,x,=-2sin,.,所以,f,(,x,)的最小正周期是.,由正弦函数的性质得,+2,k,2,x,+,+2,k,k,Z,解得,+,k,x,+,k,k,Z.,所以,f,(,x,)的单调递增区间是,(,k,Z).,6.,(2015山东,16,12分)设,f,(,x,)=sin,x,cos,x,-cos,2,.,(1)求,f,(,x,)的单调区间;,(2)在锐角,ABC,中,角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,.若,f,=0,a,=1,求,ABC,面积的最大值.,解析,(1)由题意知,f,(,x,)=,-,=,-,=sin 2,x,-,.,由-,+2,k,2,x,+2,k,k,Z,可得-,+,k,x,+,k,k,Z;,由,+2,k,2,x,+2,k,k,Z,可得,+,k,x,+,k,k,Z.,所以,f,(,x,)的单调递增区间是,(,k,Z);,单调递减区间是,(,k,Z).,(2)由,f,=sin,A,-,=0,得sin,A,=,由题意知,A,为锐角,所以cos,A,=,.,由余弦定理,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,可得1+,bc,=,b,2,+,c,2,2,bc,即,bc,2+,且当,b,=,c,时等号成立.,因此,bc,sin,A,.,所以,ABC,面积的最大值为,.,评析,本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质以及解三角形等基础知识和基本方法,对,运算能力有较高要求.属中等难度题.,1.,(2016课标全国,14,5分)函数,y,=sin,x,-,cos,x,的图象可由函数,y,=2sin,x,的图象至少向右平移,个单位长度得到.,C,组 教师专用题组,答案,解析,函数,y,=sin,x,-,cos,x,=2sin,的图象可由函数,y,=2sin,x,的图象至少向右平移,个单位,长度得到.,方法总结,本题首先要将函数化为,y,=,A,sin(,x,+,)(其中,A,0,0)的形式再求解,另外要注意图象,平移的方向.,评析,本题考查了三角函数的图象平移及两角差的正弦公式的逆用,属于中档题.,2.,(2015福建,19,13分)已知函数,f,(,x,)的图象是由函数,g,(,x,)=cos,x,的图象经如下变换得到:先将,g,(,x,)图,象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移,个单位长度.,(1)求函数,f,(,x,)的解析式,并求其图象的对称轴方程;,(2)已知关于,x,的方程,f,(,x,)+,g,(,x,)=,m,在0,2)内有两个不同的解,.,(i)求实数,m,的取值范围;,(ii)证明:cos(,-,)=,-1.,解析,解法一:(1)将,g,(,x,)=cos,x,的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到,y,=2,cos,x,的图象,再将,y,=2cos,x,的图象向右平移,个单位长度后得到,y,=2cos,的图象,故,f,(,x,)=2sin,x,.,从而函数,f,(,x,)=2sin,x,图象的对称轴方程为,x,=,k,+,(,k,Z).,(2)(i),f,(,x,)+,g,(,x,)=2sin,x,+cos,x,=,=,sin(,x,+,),.,依题意知,sin(,x,+,)=,在0,2)内有两个不同的解,当且仅当,1,故,m,的取值范围是(-,).,(ii)证明:因为,是方程,sin(,x,+,)=,m,在0,2)内的两个不同的解,所以sin(,+,)=,sin(,+,)=,.,当1,m,时,+,=2,即,-,=-2(,+,);,当-,m,1时,+,=2,即,-,=3-2(,+,),所以cos(,-,)=-cos2(,+,)=2sin,2,(,+,)-1=2,-1=,-1.,解法二:(1)同解法一.,(2)(i)同解法一.,(ii)证明:因为,是方程,sin(,x,+,)=,m,在0,2)内的两个不同的解,所以sin(,+,)=,sin(,+,)=,.,当1,m,时,+,=2,即,+,=-(,+,);,当-,m,0,0,0,得,=,=2.,又曲线,y,=,f,(,x,)的一个对称中心为,(0,),故,f,=sin,=0,得,=,所以,f,(,x,)=cos 2,x,.,将函数,f,(,x,)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得到,y,=cos,x,的图象,再将,y,=cos,x,的图象向右平移,个单位长度后得到函数,g,(,x,)=cos,的图象,所以,g,(,x,)=sin,x,.,(2)当,x,时,sin,x,0cos 2,x,cos 2,x,sin,x,cos 2,x,.,问题转化为方程2cos 2,x,=sin,x,+sin,x,cos 2,x,在,内是否有解.,设,G,(,x,)=sin,x,+sin,x,cos 2,x,-2cos 2,x,x,则,G,(,x,)=cos,x,+cos,x,cos 2,x,+2sin 2,x,(2-sin,x,).,因为,x,所以,G,(,x,)0,G,(,x,)在,内单调递增.,又,G,=-,0,且函数,G,(,x,)的图象连续不断,故可知函数,G,(,x,)在,内存在唯一零点,x,0,即存在唯一的,x,0,满足题意.,(3)依题意得,F,(,x,)=,a,sin,x,+cos 2,x,令,F,(,x,)=,a,sin,x,+cos 2,x,=0.,当sin,x,=0,即,x,=,k,(,k,Z)时,cos 2,x,=1,从而,x,=,k,(,k,Z)不是方程,F,(,x,)=0的解,所以方程,F,(,x,)=0等价于,关于,x,的方程,a,=-,x,k,(,k,Z).,现研究,x,(0,),(,2)时方程,a,=-,的解的情况.,令,h,(,x,)=-,x,(0,),(,2),则问题转化为研究直线,y,=,a,与曲线,y,=,h,(,x,),x,(0,),(,2)的交点情况.,h,(,x,)=,令,h,(,x,)=0,得,x,=,或,x,=,.,x,h,(,x,),+,0,-,-,0,+,h,(,x,),1,-1,当,x,变化时,h,(,x,),h,(,x,)的变化情况如下表:,当,x,0且,x,趋近于0时,h,(,x,)趋向于-,当,x,且,x,趋近于时,h,(,x,)趋向于+,当,x,1时,直线,y,=,a,与曲线,y,=,h,(,x,)在(0,)内无交点,在(,2)内有2个交点;,当,a,-1时,直线,y,=,a,与曲线,y,=,h,(,x,)在(0,)内有2个交点,在(,2)内无交点;,当-1,a,1时,直线,y,=,a,与曲线,y,=,h,(,x,)在(0,)内有2个交点,在(,2)内有2个交点.由函数,h,(,x,)的周期性,可知当,a,1时,直线,y,=,a,与曲线,y,=,h,(,x,)在(0,n,)内总有偶数个交点,从而不存在正整数,n,使得直线,y,=,a,与曲线,y,=,h,(,x,)在(0,n,)内恰有2 013个交点;,又当,a,=1或,a,=-1时,直线,y,=,a,与曲线,y,=,h,(,x,)在(0,),(,2)内有3个交点,由周期性,2 013=3,671,所,以依题意得,n,=671,2=1 342.,综上,当,a,=1,n,=1 342或,a,=-1,n,=1 342时,函数,F,(,x,)=,f,(,x,)+,ag,(,x,)在(0,n,)内恰有2 013个零点.,填空题(每题5分,共25分),1.,(2017江苏如东高级中学第二次学情调研,8)函数,y,=tan,的单调增区间为,.,三年模拟,A组 2015,2017年高考模拟,基础题组,(时间：25分钟 分值：25分),答案,k,Z,解析,由题意得,k,-,x,-,k,+,k,Z,得,k,-,x,k,+,k,Z,故答案为,k,Z.,2.,(2017江苏南通中学高三上学期期中,7)函数,y,=2sin,的图象与,y,轴最近的对称轴方程是,.,答案,x,=-,解析,由题意得2,x,-,=,+,k,(,k,Z),x,=,+,(,k,Z),因此与,y,轴最近的对称轴方程是,x,=-,.,3.,(2016江苏扬州中学月考,7)关于,x,的方程cos,2,x,+4sin,x,-,a,=0有解,则实数,a,的取值范围是,.,答案,-4,4,解析,由cos,2,x,+4sin,x,-,a,=0得,a,=cos,2,x,+4sin,x,=-sin,2,x,+4sin,x,+1=-(sin,x,-2),2,+5,因为-1,sin,x,1,所以-4,a,4,即实数,a,的取值范围是-4,4.,4.,(2016江苏常州武进期中,9)已知函数,f,(,x,)=2sin,x,的图象与直线,y,=,m,的三个交点,的横坐标分别为,x,1,x,2,x,3,其中,x,1,x,2,x,3,那么,x,1,+2,x,2,+,x,3,的值为,.,答案,解析,0,x,x,+,.-1,sin,1.,要满足直线,y,=,m,与,f,(,x,)的图象有三个交点,需1,m,2,不妨令,m,=1,则sin,=,.,x,1,=0,x,2,=,x,3,=2,x,1,+2,x,2,+,x,3,=,.,5.,(2015江苏无锡一模,10)设函数,f,(,x,)=sin(,x,+,)+,cos(,x,+,),的最小正周期为,且,满足,f,(-,x,)=,f,(,x,),则函数,f,(,x,)的单调增区间为,.,答案,(,k,Z),解析,f,(,x,)=sin(,x,+,)+,cos(,x,+,)=2sin,由题意得,=,=2.,f,(-,x,)=,f,(,x,),且|,|,+,=,=,f,(,x,)=2cos 2,x,由2,k,-,2,x,2,k,(,k,Z),得函数,f,(,x,)的单调增区间为,(,k,Z).,一、填空题(每题5分,共15分),1.,(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)函数,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,),的部分图象,如图所示,现将函数,y,=,f,(,x,)的图象向右平移,个单位后,得到函数,y,=,g,(,x,)的图象,则函数,g,(,x,)的解析,式为,.,B,组 2015,2017年高考模拟,综合题组,(时间：30分钟 分值：35分),答案,g,(,x,)=sin,解析,由题图得,A,=1,T,=,-,=,所以,T,=,故,=2,所以sin,=1,结合|,|,得,=,所以,f,(,x,)=sin,将,f,(,x,)的图象向右平移,个单位后得,g,(,x,)=sin,=sin,的图象,故,g,(,x,)=sin,.,思路分析,由图可知,A,=1,T,=,-,=,从而得,由,f,=1,结合|,|,可求得,从而得出,f,(,x,),的解析式,再利用图象变换可得函数,g,(,x,)的解析式.,2.,(2017江苏泰州中学第一学期期中,10)已知函数,f,(,x,)=,sin 2,x,-cos 2,x,(其中,(0,1),若,f,(,x,)的,图象经过点,则,f,(,x,)在区间0,上的单调递增区间为,.,答案,解析,由,f,(,x,)=,sin 2,x,-cos 2,x,可得,f,(,x,)=2sin,f,(,x,)的图象经过点,2sin,=0,-,=,k,(,k,Z),解得,=3,k,+,(,k,Z),(0,1),=,f,(,x,)=2sin,f,(,x,)的增区间为,k,Z,f,(,x,)在区间0,上的单调递增区间为,.,3.,(2016江苏盐城期中,7)已知直线,x,=,过函数,f,(,x,)=sin(2,x,+,),图象上的一个最高,点,则,f,的值为,.,答案,-1,解析,解法一:由题设可得,+,=2,k,+,k,Z,故,=2,k,-,k,Z,又-,0,所以,T,=2=,得,=1.,所以,f,(,x,)=2sin(,x,+,),将,代入,得,+,=,+2,k,(,k,Z),即,=,+2,k,(,k,Z),又-,所以,=,.,所以,f,(,x,)=2sin,.,(2)当,x,时,x,+,所以sin,故,f,(,x,)-,2.,易错警示,求,时,利用特征点只能求出,的一个表达式,要根据已知,的范围确定,的值.,5.,(2015江苏无锡调研,15)已知向量,a,=,b,=(cos,x,-1).,(1)当,a,b,时,求tan,的值;,(2)设函数,f,(,x,)=2(,a,+,b,),b,当,x,时,求,f,(,x,)的值域.,解析,(1),a,b,cos,x,+sin,x,=0,tan,x,=-,.,tan,=,=,=-7.,(2),f,(,x,)=2(,a,+,b,),b,=,sin,+,x,2,x,+,-,sin,1,f,(,x,),+,即函数,f,(,x,)的值域为,.,