数值分析龙格库塔方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章,常微分方程数值解,2,龙格,-库塔法,/*,Runge-Kutta,Method*/,一、再看Taylor方法,二、Runge-Kutta 方法,复习,一元函数的Taylor展开,二元函数的Taylor展开,注：应用泰勒展开式构造公式时，希望近似值的泰勒展开式与精确值的泰勒展式有尽可能多的项相同，即：两者关于h的展式中的系数尽可能多的项相同，这样局部截断误差与h的更高次同阶，从而获得高精度的近似公式。,二、Runge-Kutta 方法,Step 3:将 yi+1 与 y(xi+1)在 xi 点的泰勒展开作比较,第九章 常微分方程数值解,这里有 个未知数，个方程。,所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,问题:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,注意到，就是改进的欧拉法。,一、再看Taylor方法,二、Runge-Kutta 方法,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,Step 2:将 K2 代入第1式，得到,Step 3:将 yi+1 与 y(xi+1)在 xi 点的泰勒展开作比较,一、再看Taylor方法,一、再看Taylor方法,要求 ，则必须有：,所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*Classical Runge-Kutta Method*/：,一元函数的Taylor展开,Step 1:将 K2 在(xi,yi)点作 Taylor 展开(用二元函数泰勒展开),Step 3:将 yi+1 与 y(xi+1)在 xi 点的泰勒展开作比较,建立高精度的单步递推格式。,Step 2:将 K2 代入第1式，得到,注：应用泰勒展开式构造公式时，希望近似值的泰勒展开式与精确值的泰勒展式有尽可能多的项相同，即：两者关于h的展式中的系数尽可能多的项相同，这样局部截断误差与h的更高次同阶，从而获得高精度的近似公式。,二元函数的Taylor展开,步长一定是一个h 吗？,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。,Step 1:将 K2 在(xi,yi)点作 Taylor 展开(用二元函数泰勒展开),考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,二元函数的Taylor展开,二、Runge-Kutta 方法,一、再看Taylor方法,一般可取公式为如下形式,注：,应用泰勒展开式构造公式时，希望,近似值的泰勒展开式与精确值的泰勒展式有尽可能多的项相同,，即：两者关于h的展式中的系数,尽可能多的项相同,，这样局部截断误差与h的更高次同阶，从而获得高精度的近似公式。,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的,基本思想,是从(,x,i,y,i,)点出发，以,某一斜率,沿直线达到(,x,i,+1,y,i,+1,)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶,。,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率,一定取,K,1,K,2,的,平均值,吗？,步长一定是一个,h,吗？,二、Runge-Kutta 方法,首先希望能确定系数,1,、,2,、,p,，使得到的算法格式有,2,阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1,:,将,K,2,在,(,x,i,y,i,),点作 Taylor 展开,(用二元函数泰勒展开),将改进欧拉法推广为：,),(,),(,1,2,1,2,2,1,1,1,p,hK,y,p,h,x,f,K,y,x,f,K,K,K,h,y,y,i,i,i,i,i,i,+,+,=,=,+,+,=,+,l,l,Step 2,:,将,K,2,代入第1式，得到,Step 3,:,将,y,i,+1,与,y,(,x,i,+1,)在,x,i,点的,泰勒,展开作比较,要求 ，则必须有：,这里有 个未知数，个方程。,3,2,存在,无穷多个解,。所有满足上式的格式统称为,2阶龙格,-,库塔格式,。,注意到，就是改进的欧拉法。,问题:,为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中,i,(,i,=1,m,)，,i,(,i,=2,m,),和,ij,(,i,=2,m,;,j,=1,i,1,),均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,),.,(,.,.,),(,),(,),(,.,1,1,2,2,1,1,2,32,1,31,3,3,1,21,2,2,1,2,2,1,1,1,-,-,+,+,+,+,+,+,=,+,+,+,=,+,+,=,=,+,+,+,+,=,m,m m,m,m,m,i,m,i,i,i,i,i,i,m,m,i,i,hK,hK,hK,y,h,x,f,K,hK,hK,y,h,x,f,K,hK,y,h,x,f,K,y,x,f,K,K,K,K,h,y,y,b,b,b,a,b,b,a,b,a,l,l,l,最常用为四级4阶,经典龙格-,库塔法,/*,Classical Runge-Kutta Method,*/,：,注：,龙格-,库塔法,的运算在于计算,K,i,的值，即计算,f,的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,7,5,3,可达到的最高精度,6,4,2,每步须算,K,i,的个数,由于龙格-,库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用,低阶算法,而将步长,h,取小,。,