随机变量的独立性条件分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、随机变量的相互独立性,二、离散型随机变量的条件分布,三、连续型随机变量的条件分布,随机变量的独立性,条件分布,四、小结,第2.6节,一、随机变量的相互独立性,随机变量的独立性是概率论中的一,个重要概念.两随机变量独立的定义是：,两事件,A,B,独立的定义是：,若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则称事件,A,B,独立.,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,Y,相互独立.,用分布函数表示,即,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,Y,相互独立.,它表明，两个,r.v,相互独立时，它们的联合,分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,由于,其中,是,X,Y,的联合密度，,成立，则,X,Y,相互独立,.,若对任意的,x,y,有,定理 若(,X,Y,)是连续型,r.v,则上述独立性的,定义等价于：,分别是,X,和,Y,的边缘密度,.,证:,因为,X,与,Y,独立,故,X,与,Y,独立,证毕,定理 若(,X,Y,)是离散型,r.v,，则上述独立性的定义等价于：,则,X,和,Y,相互独立.,对(,X,Y,),的所有可能取值(,x,i,y,j,),有,证明略,解,例,1,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2)因为,X,与,Y,相互独立,所以有,例2 设(,X,Y,)的概率密度为,问,X,和,Y,是否独立？,对一切,x,y,均有：,故,X,Y,独立,解：,例3,证明,X,与,Y,相互独立,的充要条件是:,证,由上节知,显然有,故,X,与,Y,相互独立.,二、离散型随机变量的条件分布,定义,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办,联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下,则称X,Y相互独立.,随机变量的独立性,条件分布,求 Y=1 时 X 的条件分布.,说明:二维正态分布的条件分布是一维正态分布.,两事件A,B独立的定义是：,求随机变量(X,Y)的分布律.,时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时,求随机变量(X,Y)的分布律.,例2 设（X,Y）在椭圆 上服从均匀,公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.,一、随机变量的相互独立性,则称X,Y相互独立.,v相互独立时，它们的联合,解,由分布律的表格可得,定义,三、连续型随机变量的条件分布,其中 为,X=x,的条件下,Y,的条件分布密度.,说明,联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下,联合分布,边缘分布,条件分布,联合分布,例2,设（,X,Y）在椭圆 上服从均匀,分布，求条件分布密度函数,.,解 由题设知,其它,其它,上式说明在,X,=,x,的条件下,Y,服从,上的均匀分布.(其中|,x,|,a,),例3,解:,由前面的例子得,同理,说明:二维正态分布的条件分布是一维正态分布.,解,例,4,当,x,0时,当0,x,1时,当,x,1时,X,服从(0,1)区间上的均匀分布,四、小结,1.若离散型随机变量(,X,Y,)的联合分布律为,独立性,条件分布,解,例,1,备份题,于是(,X,Y,)关于,X,的边缘概率密度为,解,求,Y,=1 时,X,的条件分布.,例,2,已知分布律,因此,在,Y,=1 的条件下,X,的分布律为,解,不存在.,例,3,正确解法为,于是,例,4,一负责人到达办公室的时间均匀分布在812,时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办,公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.,解,成立，则X,Y相互独立.,说明:二维正态分布的条件分布是一维正态分布.,求随机变量(X,Y)的分布律.,一、随机变量的相互独立性,例2 设（X,Y）在椭圆 上服从均匀,v相互独立时，它们的联合,三、连续型随机变量的条件分布,设 X,Y是两个r.,设 X,Y是两个r.,解,由于,X,与,Y,相互独立,例,3,因为,X,与,Y,相互独立,解,所以,于是,求随机变量(,X,Y,)的分布律.,例,4,设两个独立的随机变量,X,与,Y,的分布律为,于是,解,例,2,又知边缘概率密度为,