流体运动微分方程.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,流体运动微分方程,1,控制体分析,最大优点,在于对定常流动，当已知控制面上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详细情况，给一些工程问题的求解带来方便。,缺点,是不能得到控制体内各处流动的细节，而这对深入研究流体运动是非常重要的。,这一章中我们将推导微分形式的守恒方程,。,2,流体流动微分方程包括,:,连续性方程,运动方程,连续性方程,是流动流体,质量守恒,的数学描,述。,运动方程,则是流动流体,动量守恒,的数学,描述。二者都是基于流场中的点建立的微分,方程。,3,在直角坐标系中可表示为,对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴方向的运动微分方程为,不可压缩粘性流体的运动微分方程，也叫Navier-Stokes方程，简称N-S方程。,各项意义为：非定常项；,根据这些初始条件和边界条件，我们可对,他首次建立了可以于工程实际的弹性理论的数学表达式。,显然，对于定常流动，不需要初始条件。,纳维尔通常被认为是现代结构分析的奠基人。,将式(3)代入式(1)得,(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。,微元体内质量变化率为：,例题：不可压缩流体的速度分布为,6.1,连续性方程,z,y,x,v,z,v,y,v,x,连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。现取微元体如图。,4,输出微元体的质量流量为,：,可得输入微元体的质量流量,：,5,则输出与输入之差为,：,微元体内质量变化率为,：,6,根据质量守恒原理有,：,或,该式即为直角坐标系下的,连续性方程,。由于未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、牛顿和非牛顿流体。,7,对,不可压缩流体,，,=,常数，有,/,t=,0,，则连续性方程为,不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而且应用广泛，,很多可压缩流体的流动也可按常密度流动处理,。,8,在直角坐标系中可表示为,对平面流动,(,柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。,),9,例题,：不可压缩流体的二维平面流动，,y,方向的速度分量为,试求,x,方向的速度分量，假定,x,=0,时，,v,x,=0,。,10,解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程,由已知条件得,积分得,v,y,=y,2,-y-x,11,根据边界条件,x,=0,时,v,x,=0,代入上式得,故有,所以,12,例题,：不可压缩流体的速度分布为,u=,A,x+,B,y,v=,C,x+,D,y,w=,0,若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求,A,，,B,，,C,，,D,所满足的条件。不计重力影响。,13,解：由连续方程可知,则有,又由于流动无旋，则有,则有,u=,A,x+,B,y,v=,C,x+,D,y,w=,0,14,练习：,有一个三维不可压流场，已知其,x,向和,y,向的分速度为,求其,z,向的分速度的表达式。当,x,=0,，,z,=0,时，,v,z,=2,y,。,15,不可压缩粘性流体运动微分方程,在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平,行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法,向应力和切向应力如图所示。,16,z,y,x,xx,xy,xz,yy,yx,yz,zy,zz,zx,f,x,f,z,f,y,xy,xy,+,x,dx,xz,xz,+,x,dx,xx,xx,+,x,dx,zy,zy,+,z,dz,zx,zx,+,z,dz,zz,zz,+,z,dz,dz,dy,dx,yx,yx,+,y,dy,yz,yz,+,y,dy,yy,yy,+,y,dy,17,对流体微团应用牛顿第二定律，则沿,x,轴方向的运动微分方程为,18,化简后得,同理得,以应力表示的运动方程,19,将切应力和法向应力的关系式,代入上式的第一式并整理得：,20,同理得,不可压缩粘性流体的运动微分方程，也叫,Navier-Stokes,方程，简称,N-S,方程。,21,法国工程师和物理学家。特别对力学,理论有很大贡献。流体力学中的,纳维尔,.,斯,托克斯（,Navier-Stokes,）方程,就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程实际的,弹性理论的数学表达式,。,1819,年，纳维尔定义了,应力零线,，并修正了伽利略的错误结果。,1826,年，他提出,弹性模量,概念。纳维尔通常被认为是,现代结构分析的奠基人,。纳维尔的最大贡献当然还是,N-S,方程，流体力学的基本方程。,克劳德,.,路易,.,纳维尔,Claude Louis Navier,17851836,22,N-S,方程,理想流体,=0,理想流体欧拉运动微分方程,定常流动,欧拉,平衡微分方程,23,莱昂哈德,欧拉,（,Leonhard Euler,）,1707,1783,瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的两位数学家之一,（另一位是卡尔,弗里德里克,高斯）,。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：,y=F(x)(,函数的定义由莱布尼兹在,1694,年给出,),。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。,欧拉在微积分、微分方程、几何、数论、变分学等领域均做出了巨大贡献。,24,各项意义为：,非定常项；对流项；,单位质量流体的体积力；,单位质量流体的压力差；,扩散项或粘性力项,N-S,方程的矢量形式为,25,由于引入了广义牛顿剪切定律，故,N-S,方,程只适用于牛顿流体,，,处理非牛顿流体问题,时可用以应力表示的运动方程。,Navier-Stokes,方程是不可压流体理论中最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流体力学的主干方程,。,26,基本微分方程组的定解条件,N-S,方程有四个未知数，,v,x,、,v,y,、,v,z,和,p,，将,N-S,方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流动问题的特解。,27,1.,初始条件,对非定常流动，要求给定变量初始时刻,t=t,0,的空间分布,显然，对于定常流动，不需要初始条件。,28,2.,边界条件,所谓边界条件，是包围流场每一条边界上的流场数值。不同种类的流动，边界条件也不相同。流体流动分析中最常遇到的三类边界条件如下：,（,1,）固体壁面,粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接触，在贴壁处，流体速度,若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温度连续,29,（,2,）进口与出口,流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布通常也是需要知道的，如管流。,（,3,）液体,-,气体交界面,液体,-,气体交界面的边界条件主要有两个：,运动学条件,，即通过交界面的法向速度应相等。,压强平衡条件,，即液体的压强必须与大气压和表面张力相平衡。,30,1819年，纳维尔定义了应力零线，并修正了伽利略的错误结果。,粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接触，在贴壁处，流体速度,所以N-S方程可简化为,下面根据两种情况下的不同边界条件来确定常数C1，C2。,缺点是不能得到控制体内各处流动的细节，而这对深入研究流体运动是非常重要的。,解，通常采用数值解法。,这时的边界条件为,二者都是基于流场中的点建立的微分,纳维尔Claude Louis Navier,将式(3)代入式(1)得,(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。,缺点是不能得到控制体内各处流动的细节，而这对深入研究流体运动是非常重要的。,欧拉在微积分、微分方程、几何、数论、变分学等领域均做出了巨大贡献。,各项意义为：非定常项；,欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y=F(x)(函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。,不同种类的流动，边界条件也不相同。,显然，对于定常流动，不需要初始条件。,根据这些初始条件和边界条件，我们可对,基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到,符合实际流动的求解结果。,但实际上，只有极少数的问题可求出理论,解，,通常采用数值解法,。,31,例题,：不可压缩粘性流体在距离为,b,的两个大水平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向的压强降已知，求,:,（,1,）,两板固定不动,;,（,2,）,下板固定上板以等速,U,沿流动方向运动；,两板间流体运动的速度分布。,流向,y,x,b,32,解：由于流体水平运动，则有,由于流动是一维的，有,v,y,=v,z,=0,；,由于流动是定常的，有,33,34,所以,N-S,方程可简化为,由连续方程可得,35,将式,(3),代入式,(1),得,思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？,对上式进行两次积分可得,36,下面根据两种情况下的不同边界条件来确定常数,C,1,，,C,2,。,（,1,）两板固定不动,这时的边界条件为,代入式,(5),可得,37,于是得速度分布,(2),上板以匀速,U,沿,x,方向运动,这时的边界条件为,38,代入式,(5),可得,于是得速度分布,39,谢谢观看,谢谢观看,