线性代数6讲解材料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.6 矩阵分块法,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵,A,为了简化运算,经常采用,分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是:用若干条纵线和横线将矩阵,A,分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为矩阵,A,的,子块,以子块为元素的,形式上,的矩阵称为,分块矩阵,.,常用分块方法：,（1）分成两行两列：得到22分块矩阵；,（2）按行分块：得到分块列矩阵；,（3）按列分块：得到分块行矩阵；,（4）若矩阵为方阵，且非零元集中在主对角线附近，,可分块为对角块矩阵.,例如:,其中,其中,其中,其中,二、分块矩阵的运算规则,(1),分块矩阵的加法,:设矩阵,A,与,B,是同型的,按相同的分块法,有,其中子块,A,ij,与,B,ij,是同型的(,i,=1,2,s,;,j,=1,2,r,),则,(2),分块矩阵的数乘,:设,为数,矩阵,则,(3),分块矩阵的乘法,:设,A,为,m,l,矩阵,B,为,l,n,矩阵,分块为,其中,A,i,1,A,i,2,A,it,的列数分别等于,B,1,j,B,2,j,B,tj,的行数,则,其中,(,i,=1,2,s,;,j,=1,2,r,).,做乘法时，,B,的行的分法和,A,的列的分法保持一致.,例1:,设,求,AB,.,解:,把,A,B,分块成,则,而,于是,(4),设,则,(5),设,A,为,n,阶方阵,若,A,的分块矩阵除对角线上的子块为方阵外,其余子块均为零矩阵,即,则称,A,为,分块对角矩阵,或,准对角矩阵,.,1.,|,A,|,=,|,A,1,|,|,A,2,|,|,A,s,|.,2.,设分块对角矩阵,A,若|,A,i,|,0(,i,=1,2,s,),则,|,A,|,0,且,分块对角矩阵具有下述性质:,3.,4.,若,其中,A,i,均为方阵，当,|A,i,|,0时，A可逆，且,例2:,设,求,A,+,B,ABA,.,解,:,将,A,B,分块,其中,其中,所以,而,所以,其中,则,所以,解:,将,A,分块,例2:,设,求,A,-1,.,形成分块对角矩阵.,例3：,证明若,n,阶上三角矩阵,A,可逆，则其逆矩阵也是,上三角矩阵.,思路：用数学归纳法，并利用分块矩阵的技巧.,证明：,当,n,=1 时,A,=(,a,11,),结论成立.,假设命题对,n,1 阶可逆上三角矩阵成立,考虑,n,阶的情形：,将矩阵,A,分块为,其中 A,1,是,n,1 阶可逆上三角矩阵.,设A的逆矩阵为,那么,于是,由归纳假设知,A,1,的逆矩阵是,n,1 阶上三角矩阵，所以,也是上三角矩阵.,结论得证.,说明：,从证明过程中还可以得到,A的逆矩阵,的主对角,元是A的相应的主对角元的倒数.(习题91),例4:,设,A,B,都是,n,阶可逆方阵,证明,D,=,为可逆方阵,并求,D,1,.,必,证:,由于,A,B,都是,n,阶可逆方阵,即|,A,|,0,|,B,|,0,则|,D,|=,|,A,|,|,B,|,0,所以,D,为可逆方阵.,设,其中,X,ij,均为,n,阶方阵(,i,j,=,1,2).,其中,E,为,n,阶单位矩阵.,由矩阵相等的定义有:,从而得,X,11,=,A,-1,X,12,=,O,X,21,=,B,-1,C,A,-1,X,22,=,B,-1,.,故,同理可得:,设,A,B,都是,n,阶可逆矩阵,(1)若,则,(2)若,则,例5：,设,A,是,n,n,矩阵，,B,是,n,s,非零矩阵，,若,AB,O,，证明|,A,|=0.,证明：将矩阵,B,和,O,按列分块为：,于是,由矩阵相等可知：,又因为,B,为非0矩阵，所以至少有一个,于是，齐次线性方程组,有非零解,故|A|=0,即每一个,都是线性方程组,的解。,三、分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵,.,对于分块矩阵可以与普通矩阵类似地定义初等变换,和初等矩阵。,只讨论22分块矩阵,分块对换阵,分块倍乘阵,或,其中,和,均为可逆阵,分块倍加阵,或,（1）分块初等矩阵都是方阵；,（2）在运算可行的前提下，分块初等矩阵在分块矩阵,的乘法中的作用与普通初等矩阵在矩阵乘法中的作用,相同.,例6:,设,A,B,都是,n,阶可逆方阵,证明,D,=,为可逆方阵,并求,D,1,.,必,解：用“初等变换”的方法做：,例7：,设,且A可逆，求|,Q,|.,问|Q|=|AD|-|BC|是否正确？,思路：将矩阵化为三角分块矩阵，利用,分块行列式,的结果.,不一定！,解：,第99页练习63,注：题目条件有AC=CA,例8：,设,A,，,B,均为,n,阶矩阵，证明,证：,三、小结,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.,(1)加法:,(3)乘法:,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似:,分块矩阵之间的运算,(2)数乘:,同型矩阵,采用相同的分块法.,数,k,乘矩阵,A,需,k,乘,A,的每个子块.,矩阵,A,B,相乘,A,的列的分块与,B,的行分块相一致.,(4)转置,(5)分块对角阵的行列式与逆阵,1.|,A,|,=,|,A,1,|,|,A,2,|,|,A,s,|.,2.,A,可逆,A,i,可逆,(,i,=1,2,s,),且,A,-1,=diag(,A,1,-1,A,2,-1,A,s,-1,).,矩阵,习 题 课,正交矩阵,幂等（零）矩阵,对合矩阵,方阵的幂和多项式,设,A,为,n,阶方阵:,(1)如果,A,T,=,A,称,A,为,对称矩阵,;,(2)如果,A,T,=,A,称,A,为,反对称矩阵,;,(3)如果,A,2,=,A,称,A,为,幂等矩阵,;,(4)如果 称A为,幂零矩阵；,(4)如果,A,2,=,E,称,A,为,对合矩阵,;,(5)如果,AA,T,=,A,T,A,=,E,称,A,为,正交矩阵,;,一些特殊矩阵：,本章主要题型：,（1）计算矩阵,直接计算，找规律；,利用二项式展开公式,；,转化为对角阵；,先将A写成列矩阵与行矩阵的积，再计算。,例1:,设,解:,由于,计算,A,2,.,=,A,.,所以,即,A,2,=,A,所以,A,为,幂等矩阵,.,教材21，22，23，72（1），80（1），84，89,（2）证明矩阵可逆，求逆矩阵.,证明矩阵可逆：定义，推论，充要条件，初等矩阵的可逆性.,求逆矩阵：待定系数法，公式法（二阶矩阵的逆矩阵两换一除），初等变换法，,分块矩阵法,。,对一些特殊矩阵的逆矩阵，应加强记忆.,熟记矩阵的运算性质，逆矩阵的定义、性质，伴随矩阵的定义及有关结论.,例2,：设 A,B,A+B均可逆，证明,可逆，,且,思路：,直接验证,教材80（2）,如果上题改为,“求,的逆矩阵”,因为,所以,若条件为关于抽象矩阵的等式，可从已知的等式,变形得到：,教材67页例3，练习45，46，,72（2）（3），88,对于一般具体矩阵，用初等变换法求逆矩阵.,练习,51，52,，89,用分块矩阵的方法求逆矩阵,练习,62,灵活运用初等矩阵,例3,：设,A,是,n,阶可逆矩阵，互换,A,的,i,，,j,两行得,到矩阵,B,，证明,B,可逆，并求,解：因为A可逆，所以,从而,故B可逆.,因为,所以,（3）求方阵的多项式,有关结论：,其中,n,为方阵,A,的阶数.,练习67，68，69，77，,74,，,75,，,82,例4:,设,n,阶矩阵,A,的伴随矩阵为,A,*,证明:,(1)若|,A,|=0,则|,A*,|=0;(2)|,A*,|=|,A,|,n,1,.,证明(1):,当,A,=,O,时,|,A,|的所有代数余子式均为0,从而,A*,=0,故|,A*,|=0.,当,A,O,且|,A,|,=,0时,用反证法证明.,假设|,A*,|,0,则有,A*,(,A*,),1,=,E,由此得,A,=,AE,=,A,A*,(,A*,),1,=,AA*,(,A*,),1,=,|,A,|,E,(,A*,),1,=,O,这与,A,O,矛盾,故当|,A,|,=,0时,|,A*,|,=,0.,证明(2):,当|,A,|,=,0时,则由(1)得|,A*,|,=,0,从而|,A*,|,=,|,A,|,n,1,成立.,当|,A,|,0,时,由,AA*,=,|,A,|,E,得,|,A,|,|,A*,|,=,|,AA*,|,=,|,A,|,E,|,=,|,A,|,n,由|,A,|,0,得,|,A*,|,=,|,A,|,n,1,.,例5:,设矩阵,矩阵,B,满足,求|,B,|.,解：由,可得,而,所以有：,即,从而,因为|3,A,-6,E,|=27,|,A,|=3,所以,填空题,(-1),n,3,4,A,2,|,B,|=4,t,16.,5,3,=125,