高考数学专题复习全集-导数的应用1理.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数的应用,一、复习目的,理解可导函数的单调性与其导数的关系.理解可导函数在某点获得极值的必要条件和充足条件(导数在极值点两侧异号),会求某些实际问题(普通指单峰函数)的最大值和最小值.,二、重点解析,对于可导函数 f(x),先求出 f(x),运用 f(x)0(或0,则 y=f(x)为增函数,如果 f(x)0(,x,0,).显然,f,(,x,)=,x,3,在,(,-,1,1),上仍旧是增函数.,极大值与极小值统称为,极值,.,是函数 f(x)的一种极小值,记作:y极小值=f(x0),如果对 x0附近的全部点,都有 f(x)f(x0),就说 f(x0),2.,函数极值的定义,设函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的全部点,都有 f(x)0,右侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,),是,极大值,;,(2)如果在,x,0,附近的左侧,f,(,x,)0,那么,f,(,x,0,),是,极小值,.,普通地,当函数 f(x)在点 x0 处持续时,4.求可导函数 f(x)的极值的环节:,(1)拟定函数的定义域;,(3)求方程,f,(,x,)=0,的根;,5.函数的,最大值与最小值,在闭区间 a,b 上持续的函数 f(x)在 a,b 上必有最大值与最小值.,但在开区间(a,b)内持续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值,例如 f(x)=x,x(-1,1).,6.设函数 f(x)在 a,b 上持续,在(a,b)内可导,求 f(x)在 a,b上的最大值与最小值的环节以下:,(1),求,f,(,x,),在,(,a,b,),内的极值;,(2)将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一种是最大,值,最小的一种是最小值.,(2)求导数,f,(,x,);,(4)检查 f(x)在方程 f(x)=0 的根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处获得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处获得极小值.,典型例题,1,已知,a,R,求函数,f,(,x,)=,x,2,e,ax,的单调区间.,解,:,函数,f,(,x,),的,导数,f,(,x,)=2,xe,ax,+,ax,2,e,ax,=(2,x,+,ax,2,),e,ax,.,(1)当,a,=0,时,由,f,(,x,)0,得,x,0,得,x,0,.,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,0),单调递增区间为,(0,+,),(2)当,a,0,时,由,f,(,x,)0,得,-,x,0,得,x,0,.,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,0);,2,a,f,(,x,),的单调递增区间为,(,-,-,),和,(0,+,).,2,a,(3)当,a,0,时,由,f,(,x,)0,得,x,-,;,2,a,由,f,(,x,)0,得,0,x,-,.,2,a,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,0),和,(,-,+,);,2,a,f,(,x,),的单调递增区间为,(0,-,).,2,a,典型例题,2,已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数 f(x);(2)若 f(-1)=0,求 f(x)在-2,2 上的最大值和最小值;(3)若 f(x)在(-,-2和 2,+)上都是递增的,求 a 的取值范畴.,解,:,(1)由已知,f,(,x,)=,x,3,-,ax,2,-,4,x,+4,a,f,(,x,)=3,x,2,-,2,ax,-,4.,(2)由,f,(,-,1,)=0,得,a,=,.,1,2,f,(,x,)=3,x,2,-,x,-,4.,由,f,(,x,)=0,得,x,=,-,1,或,.,4,3,f,(,-,2,)=0,f,(,-,1,)=,f,(,)=,-,f,(,2,)=0,9,2,4,3,27,50,f,(,x,),在,-,2,2,上的最大值为 ,最小值为,-,.,9,2,27,50,(3),f,(,x,),的图象为开口向上的抛物线且过点,(0,-,4),由题设得,f,(,-,2,),0,且,f,(,2,),0,.,8+4,a,0,且,8,-,4,a,0.,-,2,a,2,.,故 a 的取值范畴是-2,2.,典型例题,3,解,:,(1),函数,f,(,x,),的定义域为,(,-,1,+,).,f,(,x,)=,-,1,1+,x,1,令,f,(,x,)=0,得,x,=0,.,当,-,1,x0,;,当,x,0,时,f,(,x,)0,.,又,f,(0)=0,故当且仅当 x=0 时,f(x)获得最大值,最大值为 0.,(2)由题设,g,(,x,)=ln,x,+1,.,设,F,(,x,)=,g,(,a,)+,g,(,x,),-,2,g,(,),a,+,x,2,已知函数,f,(,x,)=ln(1+,x,),-,x,g,(,x,)=,x,ln,x,.(1)求,函数,f,(,x,),的最大值;(2)设,0,a,b,证明:0,g,(,a,)+,g,(,b,),-,2,g,(,),(,b,-,a,)ln2.,a,+,b,2,则,F,(,x,)=ln,x,-,ln,a,+,x,2,当,0,xa,时,F,(,x,)a,时,F,(,x,)0,F,(,x,),在(,a,+,),上为增函数.,从而当,x=a,时,F,(,x,),取极小值,F,(,a,)=0.,ba,F,(,b,)0.,0,0,时,G,(,x,)a,G,(,a,)=0,G,(,b,)0.,F,(,b,)(,b,-,a,)ln2.,即,g,(,a,)+,g,(,b,),-,2,g,(,),(,b,-,a,)ln2.,a,+,b,2,a,+,b,2,0,g,(,a,)+,g,(,b,),-,2,g,(,),(,b,-,a,)ln2.,典型例题,4,设 t0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一种公共点,两函数的图象在点 P 处有相似的切线.(1)用 t 表达 a,b,c;(2)若函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范畴.,解,:,(1),函数,f,(,x,),的图象过点,P(,t,0),f,(,t,)=0,t,3,+,at,=0.,t,0,a,=,-,t,2,.,又,函数,g,(,x,),的图象也过点,P(,t,0),g,(,t,)=0,bt,2,+,c,=0.,c,=,ab,.,两函数的图象在点 P 处有相似的切线,f,(,t,)=,g,(,t,).,而,f,(,x,)=3,x,2,+,a,g,(,x,)=2,bx,3,t,2,+,a,=2,bt,.,将,a,=,-,t,2,代入上式得,b,=,t,.,c,=,ab,=,-,t,3,.,总而言之,a=-t2,b=t,c=-t3.,(2)办法一,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,)=,x,3,-,tx,2,-,t,2,x,+,t,3,.,y,=3,x,2,-,2,tx,-,t,2,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,).,当,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,)0,时,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,)为减函数.,由,y,0,则,-,x,t,;若,t,0,则,t,x,-,.,3,t,3,t,函数,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,),在(,-,1,3),上单调递减,(,-,1,3)(,-,t,),或,(,-,1,3)(,t,-,).,3,t,3,t,t,3,或,-,3.,3,t,t,3,或,t,-,9.,t 的取值范畴是(-,-93,+).,(2)办法二,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,)=,x,3,-,tx,2,-,t,2,x,+,t,3,.,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,).,函数,y,=,f,(,x,),-,g,(,x,),在,(,-,1,3),上单调递减,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,)的图象是开口向上的抛物线,y,=(3,x,+,t,)(,x,-,t,),0,对于,x,(,-,1,3),恒成立.,则,y,|,x,=,-,1,0,且,y,|,x,=3,0.,即,(,-,3+,t,)(,-,1,-,t,),0,且,(9+,t,)(3,-,t,),0.,解得,t,3,或,t,-,9.,t 的取值范畴是(-,-93,+).,典型例题,5,已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a0)是 R 上的奇函数,当 x=1 时,f(x)获得极值-2.(1)求 f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立.,(1),解,:,函数,f,(,x,),是,R,上的奇函数,f,(,-,x,)=,-,f,(,x,),即,-,ax,3,-,cx,+,d,=,-,ax,3,-,cx,-,d,对,x,R,恒成立.,d,=0.,f,(,x,)=,ax,3,+,cx,f,(,x,)=3,ax,2,+,c,.,当 x=1 时,f(x)获得极值-2,f,(1)=,-,2,且,f,(1)=0.,a,+,c,=,-,2,且,3,a,+,c,=0.,a,=1,c,=,-,3.,f,(,x,)=3,x,2,-,3.,由,f,(,x,)0,得,-,1,x,0,得,x,1.,f,(,x,),在,(,-,-,1),上是增函数,在,(,-,1,1),上是减函数,在,(1,+,),上是增函数.,当 x=-1 时,f(x)获得极大值 f(-1)=2.,故,函数,f,(,x,),的单调递减区间是,(,-,1,1),单调递增区间是,(,-,-,1),和,(1,+,);,f,(,x,),的极大值为,2.,典型例题,5,已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a0)是 R 上的奇函数,当 x=1 时,f(x)获得极值-2.(1)求 f(x)的单调区间和极大值;(2)证明:对任意x1,x2(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立.,(2),证,:,由,(1),知,f,(,x,)=,x,3,-,3,x,在,-,1,1,上是减函数,且,f,(,x,),在,-,1,1,上的最大值,M,=,f,(,-,1)=2,f,(,x,),在,-,1,1,上的最小值,m,=,f,(1)=,-,2,对任意,x,1,x,2,(,-,1,1),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|0,u,(,x,),是,0,1,上的增函数.,0,u,e,.,f,(,u,)=(,u,-,1,),2,-,4,g,(,x,),在,0,1,上的值域是,-,4,e,2,-,2,e,-,3,.,(3),设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),为,曲线,y,=,f,(,e,x,),上任两点,不妨,x,1,x,2,.,解得,a,0.,x,1,-,x,2,a,+,.,y,1,-,y,2,x,1,-,x,2,y,1,-,y,2,(,x,1,-,x,2,)(,a,+,),即,1,a,f,(,e,x,1,),-,f,(,e,x,2,),(,x,1,-,x,2,)(,a,+,),亦即,1,a,f,(,e,x,1,),-,x,1,(,a,+,),f,(,e,x,2,),-,x,2,(,a,+,),恒成立.,1,a,1,a,函数,h,(,x,)=,f,(,e,x,),-,x,(,a,+,),是增函数.,1,a,h,(,x,)=,f,(,e,x,),-,(,a,+,),0,恒成立.,1,a,a,+,(,2,e,x,-,2,),e,x,=2(,e,x,-,),2,-,恒成立.,1,a,1,2,1,2,而,2(,e,x,-,),2,-,当,x,=ln,时取最小值,-,1,2,1,2,1,2,1,2,1,a,a,+,-,.,1,2,2,a,2,+,a,+2,a,即,0.,故 a 的取值范畴是(-,0).,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=3,ax,2,+,2,bx,-,3,依题意得,f,(,-,1)=,f,(1)=0.,解得,a,=1,b,=0.,3,a,-,2,b,-,3=0,且,3,a,+2,b,-,3=0.,f,(,x,)=3,x,2,-,3,.,由,f,(,x,)0,得,-,1,x,0,得,x,1.,f,(,x,),在,(,-,-,1),上是增函数,在,(,-,1,1),上是减函数,在,(1,+,),上是增函数.,f,(,-,1)=2,是极大值,f,(1)=,-,2,是极小值.,点,A(0,16,),不在曲线上,.,设切,点为,M(,x,0,y,0,),则,y,0,=,x,0,3,-,3,x,0,.,f,(,x,0,)=3,x,0,2,-,3,.,切线方程为,y,-,(,x,0,3,-,3,x,0,)=(3,x,0,2,-,3)(,x,-,x,0,),.,点,A(0,16,),在切线上,16,-,(,x,0,3,-,3,x,0,)=(3,x,0,2,-,3)(,-,x,0,),.,化简得,x,0,3,=,-,8,.,x,0,=,-,2,.,切线方程为,y,-,(,-,8+6)=9(,x,+2),即,9,x,-,y,+16=0,.,课后练习,2,已知向量,a,=(,x,2,x,+1),b,=(1,-,x,t,).若,函数,f,(,x,)=,a,b,在区间(,-,1,1)是增函数,求,t,的取值范围.,解:,由题设,f,(,x,)=,x,2,(1,-,x,)+,t,(,x,+1),=,-,x,3,+,x,2,+,tx,+,t,.,f,(,x,)=,-,3,x,2,+2,x,+,t,.,函数,f,(,x,),在区间,(,-,1,1),是增函数,f,(,x,),0,即-,3,x,2,+2,x,+,t,0,亦即,t,3,x,2,-,2,x,对,x,(,-,1,1),恒成立.,考虑函数,g,(,x,)=3,x,2,-,2,x,x,(,-,1,1).,g,(,x,),的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线,x,=,1,3,故,t,3,x,2,-,2,x,对,x,(,-,1,1),恒成立等价于,t,g,(,-,1),即,t,5,.,而当,t,5,时,f,(,x,),在,(,-,1,1),上满足,f,(,x,)0,故 t 的取值范畴是 5,+).,即,f,(,x,),在,(,-,1,1),是增函数,课后练习,3,已知函数,f,(,x,)=,x,3,+,bx,2,+,cx,+,d,的图象过点,P(0,2),且在点,M(,-,1,f,(,-,1),处的切线方程为,6,x,-,y,+7=0,(1)求函数,y,=,f,(,x,),的解析式;(2)求函数,y,=,f,(,x,),的单调区间.,解,:,(1),函数,f,(,x,),的图象过点,P(0,2),f,(0)=2,d,=2.,f,(,x,)=,x,3,+,bx,2,+,cx,+2,f,(,x,)=3,x,2,+2,bx,+,c,.,f,(,x,),图象在点,M(,-,1,f,(,-,1),处的切线方程为,6,x,-,y,+7=0,-,6,-,f,(,-,1)+7=0,即,f,(,-,1)=1,且,f,(,-,1)=6.,3,-,2,b,+,c,=6,且,-,1+,b,-,c,+2=1.,即,2,b,-,c,=,-,3,且,b,-,c,=0.,b,=,c,=,-,3.,f,(,x,)=,x,3,-,3,x,2,-,3,x,+2.,(2)由,(1),知,f,(,x,)=3,x,2,-,6,x,-,3.,令,f,(,x,)0,得,x,1+2,.,令,f,(,x,)0,得,1,-,2,x,1+2,;,f,(,x,),的单调递增区间为,(,-,1,-,2,),和,(1+2,+,).,f,(,x,),的单调递减区间为,(1,-,2,1+2,);,课后练习,4,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=3,ax,2,+,2,bx,-,2,函数 f(x)在 x=-2,x=1 处获得极值,12,a,-,4,b,-,2=0,且,3,a,+2,b,-,2=0.,由,f,(,x,)0,得,-,2,x,0,得,x,1.,y,=,f,(,x,),的单调递减区间是,(,-,2,1);,单调递增区间是,(,-,-,2,),和,(1,+,).,f,(,-,2)=,f,(1)=0.,(2)由(1)知,f,(,x,)=,x,2,+,x,-,2,.,解得,a,=,b,=,.,1,2,1,3,f,(,x,)=,x,3,+,x,2,-,2,x,.,1,2,1,3,课后练习,5,设函数 f(x)=xsinx(xR).(1)证明:f(x+2k)-f(x)=2ksinx,其中 k 为整数;(2)设 x0 为 f(x)的一种极值点,证明:,1+,x,0,2,x,0,4,f,(,x,0,),2,=,.,证:,(1),f,(,x,)=,x,sin,x,k,为整数,f,(,x,+2,k,),-,f,(,x,)=(,x,+2,k,)sin(,x,+2,k,),-,x,sin,x,=(,x,+2,k,)sin,x,-,x,sin,x,=,2,k,sin,x,.,f,(,x,+2,k,),-,f,(,x,)=,2,k,sin,x,.,(2),f,(,x,)=,x,sin,x,(,x,R),f,(,x,)=,sin,x,+,x,cos,x,.,令,f,(,x,)=0,得,sin,x,+,x,cos,x,=0.,显然,cos,x,0.,x,=,-,ta,n,x,.,x0 为 f(x)的一种极值点,x,0,=,-,ta,n,x,0,.,sin,2,x,=,=,sin,2,x,sin,2,x,+cos,2,x,tan,2,x,1+tan,2,x,tan,2,x,0,1+tan,2,x,0,sin,2,x,0,=.,f,(,x,0,),2,=,x,0,2,sin,2,x,0,=,x,0,2,tan,2,x,0,1+tan,2,x,0,=,x,0,2,1+,x,0,2,x,0,2,1+,x,0,2,x,0,4,=,.,1+,x,0,2,x,0,4,f,(,x,0,),2,=,.,已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若 a=1,函数 f(x)的图象能否总在直线 y=b 的下方?阐明理由;(2)若函数 f(x)在 0,2 上是增函数,x=2 是方程 f(x)=0 的一种根,求证:f(1)-2;(3)若曲线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率不大于 1,求 a 的取值范畴.,课后练习,6,(1),解,:,当,a,=1,时,令,x,=,-,1,得,f,(,-,1,)=1+1+,b,=2+,b,b,点,(,-,1,2+,b,)在函数图象上,且在,直线,y,=,b,的上方.,函数,f,(,x,),的图象不能总在直线,y,=,b,的下方.,另,解,:,当,a,=1,时,f,(,x,)=,-,x,3,+,x,2,+,b,f,(,x,)=,-,3,x,2,+2,x,.,令,f,(,x,)=0,得,x,1,=0,x,2,=.,2,3,而,f,(,)=,-,+,b,=,+,b,b,2,3,4,9,27,4,27,8,函数,f,(,x,),的图象不能总在直线,y,=,b,的下方.,点,(,+,b,),在函数图象上,且在,直线,y,=,b,的上方.,2,3,27,4,已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若 a=1,函数 f(x)的图象能否总在直线 y=b 的下方?阐明理由;(2)若函数 f(x)在 0,2 上是增函数,x=2 是方程 f(x)=0 的一种根,求证:f(1)-2;(3)若曲线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率不大于 1,求 a 的取值范畴.,课后练习,6,(2)证:x=2 是方程 f(x)=0 的一种根,f,(2)=0,即,-,8,+4,a,+,b,=0,b,=8,-,4,a,.,又,f,(,x,)=,-,3,x,2,+2,ax,令,f,(,x,)=0,得,x,1,=0,x,2,=,a,.,2,3,函数,f,(,x,),在,0,2,上是增函数,a,2.,2,3,a,3.,f,(1)=,-,1,+,a,+,b,=7,-,3,a,-,2,即,f,(1,),-,2.,已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率不大于 1,求 a 的取值范畴.,课后练习,6,(3),解,:,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),为,曲线,y,=,f,(,x,),上任两点,x,1,x,2,.,曲线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率不大于 1,x,1,x,2,亦即,1,恒成立.,-,(,x,1,-,x,2,)(,x,1,2,+,x,1,x,2,+,x,2,2,),+,a,(,x,1,-,x,2,)(,x,1,+,x,2,),x,1,-,x,2,1,y,1,-,y,2,x,1,-,x,2,-,x,1,3,+,ax,1,2,+,b,-,(,-,x,2,3,+,ax,2,2,+,b,),x,1,-,x,2,即,1,x,1,x,2,1+(,x,1,+,x,2,),2,-,a,(,x,1,+,x,2,),恒成立.,而,x,1,x,2,(,x,1,+,x,2,),2,恒成立,1,4,1+(,x,1,+,x,2,),2,-,a,(,x,1,+,x,2,),(,x,1,+,x,2,),2,恒成立.,1,4,(,x,1,+,x,2,),2,-,a,(,x,1,+,x,2,)+1,0,恒成立.,3,4,a,2,-,3,0.,-,3,a,3,.,已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率不大于 1,求 a 的取值范畴.,课后练习,6,另,解,:,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),为,曲线,y,=,f,(,x,),上任两点,不妨,x,1,x,2,.,曲线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率不大于 1,x,1,x,2,1,y,1,-,y,2,x,1,-,x,2,x,1,-,x,2,x,1,-,x,2,.,即,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,),x,1,-,x,2,.,f,(,x,1,),-,x,1,f,(,x,2,),-,x,2,.,记,g,(,x,)=,f,(,x,),-,x,则,g,(,x,1,),g,(,x,2,),.,g,(,x,),为,R,上的减函数,.,g,(,x,),0,即,-,3,x,2,+2,ax,-,1,0,对,x,R,恒成立,.,a,2,-,3,0.,-,3,a,3,.,