第4节极限的运算法则资料教程.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,*,9/23/2026 1:07 AM,2.4,极限的运算法则,函数极限的四则运算法则,9/23/2026 1:07 AM,【,定理,】,在某一变化过程中，,则,证,总有那么一个时刻，,刻以后，,也总有那么一个时刻，,第,2,章 极限与连续,在那个时,恒有,在那个时刻以后，恒有,中较晚的那个时刻以后，,在两时刻,两式同时成立，即,若,9/23/2026 1:07 AM,所以,证毕。,推论,两个无穷小量的代数和仍为无穷,第,2,章 极限与连续,小量。,广到有限个,，,说明,定理和推论中的“两个”都,可以推,但,不能推广到无穷个,。,9/23/2026 1:07 AM,推论,1,两个无穷小量的乘积仍为无穷,推论,2,（为常数）,推论,3,若是正整数，则,说明,定理和推论中的“两个”都,可以推,第,2,章 极限与连续,小量。,广到有限个,，,但,不能推广到无穷个,。,9/23/2026 1:07 AM,【,定理,】,在某一变化过程中，,则,（证明略）,说明,在应用极限运算法则时，,第,2,章 极限与连续,若,个变量的极限必须存在,。,要求每一,9/23/2026 1:07 AM,设为多项式，则,多项式的极限,例,1,计算,解,第,2,章 极限与连续,9/23/2026 1:07 AM,例,2,计算,解,因为,所以,有理分式的极限,设，且，则,第,2,章 极限与连续,9/23/2026 1:07 AM,例,3,计算,解,因为，,利用无穷小量与无穷大量之间的关系,先求,则,设，且,则,第,2,章 极限与连续,的运算法则。,不能直接用极限,9/23/2026 1:07 AM,解,由于分子和分母的极限不存在，,将分子和分母同除以未知数的最高次幂,例,4,计算,第,2,章 极限与连续,直接应用极限的运算法则。,不能,9/23/2026 1:07 AM,例,5,计算,解,方法同例,4,。,例,6,计算,解,方法同例,4,。,第,2,章 极限与连续,9/23/2026 1:07 AM,当时，有理分式的极限,说明,以后计算极限时可直接应用。,第,2,章 极限与连续,9/23/2026 1:07 AM,例,7,计算,解,因为分子和分母的极限都为,0,，,由极限的定义，,约去极限为,0,的公因子,第,2,章 极限与连续,直接应用极限的运算法则。,不能,消去的因子。,时，,分解因式,9/23/2026 1:07 AM,例,8,计算,解,因为分子和分母的极限都为，,将分子有理化,将分子或分母有理化，再约去公因子,第,2,章 极限与连续,直接应用极限的运算法则。,不能,9/23/2026 1:07 AM,例,9,计算,解,因为两个分式的极限都不存在，,先通分,先通分，再约去公因子,第,2,章 极限与连续,不能直接应用极限的运算法则。,9/23/2026 1:07 AM,例,10,已知,计算,解,即,第,2,章 极限与连续,分段函数分点处的极限利用,充要条件,计算,9/23/2026 1:07 AM,内容小结,1.,极限的运算法则,2.,利用运算法则求极限,-,几种特殊形式函数的极限,第,2,章 极限与连续,9/23/2026 1:07 AM,备用题,1.,若存在，不存在，,是否存在，为什么？,解,不存在。,若存在，,由极限的运算法则知，,思考,本题条件改成和都不存,在，,第,2,章 极限与连续,问,存在，矛盾。,结论又如何？,9/23/2026 1:07 AM,2.,计算,解,所以,思考,下列做法是否正确，为什么？,第,2,章 极限与连续,9/23/2026 1:07 AM,3.,若求的值。,解,由于分式的极限存在，,即,将其代入已知极限中,得,第,2,章 极限与连续,为,0,，,而分母的极限,则分子的极限必为,0,。,9/23/2026 1:07 AM,4.,计算,解,这是无穷个无穷小量的和，,第,2,章 极限与连续,运算法则。,不能用,9/23/2026 1:07 AM,5.,设，,（,1979,）,解,第,2,章 极限与连续,求,9/23/2026 1:07 AM,6.,设函数，,（,1999,）,解,第,2,章 极限与连续,计算,9/23/2026 1:07 AM,7.,设是多项式，,求,解,利用第一个极限，,代人第二个极限，,分析得到,故,第,2,章 极限与连续,且,令,得,