导数的概念优质示范.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Fermat 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,1,导数的概念,在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的,变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反映速度及生物繁殖率等，全部这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。,导数和微分是继持续性之后，函数研究的进一步深化。,导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减状况;,微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大致上变化多少。,2,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与持续性的关系,五、单侧导数,2-1 导数的概念,3,一、引例,1.自由落体运动的,瞬时速度,问题,如图,取极限得,注：上述求瞬时速度的办法对普通变速直线运动也合用。,4,如果,割线,MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的,切线,.,极限位置即,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,切线演示实验,5,两个问题的,共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题尚有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比的极限,是,转角增量,与,时间增量,之比的极限,是,质量增量,与,长度增量,之比的极限,是,电量增量,与,时间增量,之比的极限,变化率问题,6,二、导数的定义,1、定义.,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,在点,处,可导,在点,的,导数,.,7,注：,若上述极限不存在,就说函数,在点 不可导.,若,也称,在,的导数为,无穷大,.,极限不存在的状况：,1）摆动 2）趋于无穷,3）左右极限不等单侧导数,8,在点,的某个,右,邻域内,2、单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的,右 导数,记作,(左),(左),定义,.,设函数,有定义,存在,对比：左极限=右极限,极限存在,单侧导数演示实验,9,例,解,10,3、导函数,11,注：,即：函数在一点的导数值=导函数在该点的函数值,12,三、可导与持续的关系,定理 凡可导函数都是持续函数.,证,13,注：该定理的逆定理不成立，即持续不一定可导.,持续函数不存在导数举例,0,例如,14,例如,0,1,15,例如,0,1,1/,1/,16,17,例,解,18,四、导数的几何意义和物理意义,曲线,在点,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与,x,轴平行,称为,驻点,;,若,切线与,x,轴垂直.,曲线在点,处的,切线方程:,法线方程:,1.几何意义,19,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:,路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:,电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:,质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,20,五、由定义求导数（三步法）,环节:,例1,解,即,21,例2,解,即,类似可得,22,例3,解,更普通地,例如,即,23,例4,解,特别地,即,24,例5,解,特别地,即,25,例6.,问曲线,哪一点有垂直切线?哪一点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1),(1,1)处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点(0,0)有垂直切线,26,小结,1.导数的实质:增量比的极限;,3.导数的几何意义:切线的斜率;,4.函数可导一定持续，但持续不一定可导;,5.求导数最基本的办法:由定义求导数.,6.判断可导性,不持续,一定不可导.,持续,直接用定义;,看左右导数与否存在且相等.,27,P130,1(2),2(3),3,4(3,6),作 业,28,补例.,设,问,a,取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x=0 持续.,29,牛顿,(1642 1727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,奉献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,第二年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完毕流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,30,莱布尼兹,(1646 1716),德国数学家,哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.,他还设计了作乘法的计算机,系统地叙述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来.,31,