非线性方程的求根方法.pptx
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1、非线性方程的求根方法非线性方程的求根方法Newton迭代格式迭代格式Newton迭代法的收敛性迭代法的收敛性Newton迭代法的变形迭代法的变形数值实验练习题数值实验练习题牛顿法是方程求根问题的一个极其基本的、十分牛顿法是方程求根问题的一个极其基本的、十分重要的算法。重要的算法。基本思想基本思想:是将非线性方程:是将非线性方程f(x)=0逐步线性化而逐步线性化而形成迭代公式。形成迭代公式。具体作法:具体作法:已知方程已知方程 f(x)=0的根的根 xk,将将 f(x)在在xk处作一阶泰勒展开处作一阶泰勒展开 所以所以f(x)=0可近似表示为可近似表示为 线性方程线性方程记其根为记其根为xk+1
2、,则,则xk+1是方程是方程f(x)=0的一个新的近似根的一个新的近似根 这就是著名的这就是著名的牛顿迭代公式牛顿迭代公式,相应的,相应的迭代函数迭代函数是是几何意义:几何意义:牛顿法是在牛顿法是在x*的附近以的附近以xk做为第做为第k次迭代次迭代值,以值,以y=f(x)在点在点(xk,f(xk)的切线与的切线与x轴的交点轴的交点xk+1作作为为f(x)=0方程的根方程的根x*的第的第k+1次迭代近似值,如此反复次迭代近似值,如此反复下去,逐步逼近方程下去,逐步逼近方程f(x)=0的根的根x*。所以牛顿法又称切线法所以牛顿法又称切线法(k=0,1,2,)y=0 xk+1比比xk更接近于更接近于
3、x*xkxk+1x*y=f(x)yxo几何意义几何意义:以切线代替曲线以切线代替曲线,求根求根 x*的近似值的近似值牛顿迭代法的一个应用牛顿迭代法的一个应用求正数平方根求正数平方根设设C 0,x2 C=0令令 f(x)=x2 C,则则牛顿迭代法求解牛顿迭代法求解 x2 C=0 的计算格式的计算格式化简化简,得得例例1 平方根迭代平方根迭代 (k=0,1,)的收敛性证明及收敛阶估计的收敛性证明及收敛阶估计.解解 对对k0,当当 xk 0时时(k=0,1,)(k 0)数列数列 xk 单减有下界单减有下界,故必有极限故必有极限.设为设为x*,对递推式对递推式取极限取极限,有有由此可知由此可知,平方根
4、迭代平方根迭代 是是 平方收敛平方收敛.Newton迭代法的局部收敛性迭代法的局部收敛性牛顿法可以看成关于方程牛顿法可以看成关于方程的迭代公式的迭代公式如果如果x*为方程为方程f(x)=0 的一个单根,则有的一个单根,则有f(x*)=0,f(x*)0而而由定理由定理2.5知牛顿迭代公式具有局部收敛性。知牛顿迭代公式具有局部收敛性。由定理由定理2.6知知 Newton迭代法迭代法至少平方收敛至少平方收敛。因此用。因此用Newton法求单根的收敛速度是较快的。法求单根的收敛速度是较快的。则则所以只要所以只要 就有就有由定理由定理2.6知知 Newton迭代法平方收敛。迭代法平方收敛。由于牛顿迭代法
5、是局部收敛的,故初值由于牛顿迭代法是局部收敛的,故初值x0应充分靠近应充分靠近根根x*才能保证收敛,这在一般情况下不容易做到。才能保证收敛,这在一般情况下不容易做到。实用中可先用二分法做求根预处理,二分若干次后实用中可先用二分法做求根预处理,二分若干次后得到较靠近根得到较靠近根x*的近似根的近似根x0,再用此根作为牛顿迭代,再用此根作为牛顿迭代法的初值来求根,可以达到取长补短的作用。法的初值来求根,可以达到取长补短的作用。缺陷缺陷1.被零除错误被零除错误2.程序死循环程序死循环y=arctan x方程方程:f(x)=x3 3x+2=0在重根在重根x*=1附近附近,f(x)近近似为零似为零对对
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