成人高考数学平面解析几何.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,成人高考数学平面解析几何,一、知识要求及变化,1整体定位,“标准”中对“平面解析几何初步”这部分内容的整体定位如下：,解析几何用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。,怎样正确理解本部分内容的整体定位呢？,第一，本部分内容是在初中学习直线基础上，利用平面直角坐标系，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；运用代数方法研究直线的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几何问题。,第二，用代数方法研究几何图形是解析几何的核,心。学生在初中曾经学过建立直角坐标系且初步,研究过一次函数、二次函数及反比例函数的图像，这是借助几何图形来直观认识一次函数、二次函数及反比例函数的性质，即从数到形。直线和圆是最基本的几何图形，也是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度刻画它们的性质。“解析几何初步”则主要是用代数方法刻画直线和圆，研究它们的性质，即从形到数；再利用直线与圆的方程来研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，即用数来研究形。这部分内容也是学习圆锥曲线的基础，学生应熟知直线与圆的方程中参数的几何意义。,用代数方法研究直线与圆时，首先应强调确,定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数,方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。对,于直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，也要突出几何要素。例如，对于两圆的位置关系，首先，把确定圆的几何要素（圆心、半径）与确定圆的位置关系的几何要素（圆心距）用代数表示出来，再用代数关系的几何意义（两圆的圆心距与两圆半径的数量关系表示的几何意义）来判断圆与圆的位置关系。也就是说，我们强调用“几何”来引导代数的恒等变换的计算。其次是在学习中，我们提倡画图，不希望把解析几何变成纯粹的形式推导，例如：通过解两圆的方程构成的方程组来判断两圆的位置关系。,第三，坐标系是数形结合的载体之一。在坐标系中，平面上的点与数对可以建立一一对应关系，从而可以用方程来表示几何图形，通过方程来研究几何图形的性质。在本部分内容中，还介绍了空间直角坐标系。对于空间直角坐标系，只要求学生会用空间直角坐标系来刻画点的位置，并通过表示特殊长方体的顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。这里不要求讨论空间图形的方程。,本部分内容的知识结构是：,2课程标准的要求,（1）直线与方程,在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定,直线位置的几何要素；,理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；,能根据斜率判定两条直线平行或垂直；,根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；,能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；,探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。,（2）圆与方程,回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；,能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；,能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。,（3）在平面解析几何初步的学习过程中，,体会用代数方法处理几何问题的思想。,（4）空间直角坐标系,通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。,通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。,“标准”中对“解析几何初步”的要求只是阶段性要求，在选修1、2中，还将进一步学习圆锥曲线与方程的内容。因此，对本部分内容的教学要把握好“度”，特别是对于解析几何思想的理解不能一步到位。,3课程标准要求的具体化和深广度分析,（1）如何认识“在平面直角坐标系中，结合,具体图形，探索确定直线位置的几何要素”,首先，让学生通过观察具体的直线，了解一点一方向或两个点可以完全确定一条直线，即确定直线位置的几何要素是一点和一方向或两个点。其次，让学生了解，可以用倾斜角来刻画直线的方向（在学习了平面向量之后，还可以用向量来刻画直线的方向），对不垂直于x轴的直线，也可以用斜率来刻画直线的方向。,（2）如何认识“理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式”,从静态的观点看，直线的倾斜角是直线与,x,轴的正方向所夹的角；,在直角坐标系中，直线的方向可以用直线相对于,x,轴正方向的倾斜角来刻画。倾斜角是是直线与,x,轴正方向所成的角。可以从以下几方面理解：,从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由,x,轴按逆时针方向转动所成的角；,倾斜角的取值范围是：0,o,180,o,；,倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对,x,轴正方向的倾斜程度，而倾斜程度刻画了直线在直角坐标系中的方向；,平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜程度，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；,直线的斜率是用代数方法刻画直线相对于,x,轴正方向的倾斜程度的，它的意义是当沿x轴正方向运动一个单位时，直线上的点上升的高度。直线的斜率可以用变化率来刻画，也可以用倾斜角的正切值来刻画，斜率是一个数值。,理解斜率需要注意以下几点：,两点可以唯一确定一条直线，因此，两点就唯一确定了过这两点的直线的倾斜程度。直线斜率的计算公式与两点的顺序无关，即两点的横、纵坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒；,垂直于,x,轴的直线是一种特殊的情况，按照斜率的定义，它的斜率是不存在的。因此，要认识到对于一般直线来说，要考虑不垂直于x轴和垂直于x轴两种情况，前者有斜率，后者无斜率。如果用直线的倾斜角来表述，直线的倾斜角=90,o,时，斜率不存在，但是直线存在。,倾斜角和斜率都是反映直线相对于,x,轴正方向的倾斜程度，使用斜率比倾斜角更加方便，斜率的绝对值越大，倾斜程度也越大。,直线的倾斜角和直线的斜率一样，都是刻画直线倾斜程度的量，但直线的倾斜角侧重于用几何直观来刻画直线的方向，而直线的斜率则侧重于用数量来刻画直线的方向。任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率。例如，当直线的倾斜角=90,o,时，斜率不存在，但是倾斜角存在。,（3）如何认识,“能根据斜率判定两条直线平行或垂直”,一方面，要掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想；另一方面，也要从几何上认识为什么斜率的关系能够反映直线的平行或垂直。,（4）如何“根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系”,确定直线位置的几何要素是一点和一个方向或两个点。方向可以用斜率来刻画，因此，给定一点和斜率可以确定直线，这就是点斜式。两点可以确定一条直线，这就是两点式。两点决定了直线的方向，因此，两点式本质上与点斜式是一致的。斜截式方程则是点斜式方程的一种特殊情形，而直线方程的一般式是对几种方程形式的概括。这里，不应该刻意让学生去区分和记忆这几种方程的形式。而是要让学生掌握在直角坐标系中如何确定直线的几何要素（一个定点坐标和直线的斜率），如何根据几何要素确定直线的方程。,对于直线的斜截式方程，在教学过程中，可以与一次函数进行比较，并注意分析方程中的参数与的几何意义。,例如：当取任意实数时，方程y=kx+2表示的直线都经过点（0，2），它们是一组共点直线；当取任意实数时，方程y=2x+b表示的直线彼此平行，它们是一组平行直线。这里渗透了直线系的思想，但不要扩大范围，点到为止即可。,这部分内容的学习要求学生会根据条件选择直线方程的某一种形式，求出直线的方程，并能根据直线的方程画出直线，研究直线的性质（倾斜角、截距、斜率）。,（5）如何认识“能用解方程组的方法求两直线的交点坐标”,这里要求学生理解直线上的点的坐标满足该直线方程，从而可以用解方程组的方法求两直线的交点坐标，并解决一些与直线交点有关的问题。,有了直线的方程，对直线之间位置关系的研究就可以转化为对它们方程的研究。即可用解方程组求交点的方法研究两直线的位置关系，这是解析几何的特点。但是，一定要注意避免单纯的恒等变形，要引导学生在“几何要素导向下”求解方程组，强调解析几何的基本思想。,（6）如何认识“探究并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离”,对此，要把握好三点：,先从特殊情形入手：以数轴上两点间的距离公式为出发点，探究出平面上两点间的距离公式；,把求两平行线间的距离的问题转化为求直线上一点到另一条与之平行的直线的距离。,掌握求点到直线的距离公式的基本思想和算法：,首先，确定过该点且垂直于已知直线的直线方程,（由于这两条直线相互垂直，这条直线的斜率可由,已知直线的斜率得到，从而，可以用点斜式给出直线方程）。,其次，求这两条直线的交点。最后，求该交点到已知点的距离。这个距离就是已知点到直线的距离。,点到直线的距离公式可以用解方程组求出交点，再利用两点间的距离公式来推导出来，也可以放到必修数学4中用向量的方法来推导。这种推导过程有助于学生进一步体会用代数方程研究几何问题的方法和数形结合的思想，渗透对立统一的观点。,（7）如何认识“回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程”,三点确定圆的几何要素可以转化为圆心和半径。圆心到三点的距离相等，因此，圆心是三点确定的两条线段的垂直平分线的交点，这样就可以确定圆心了，确定了圆心，半径是很容易确定的。,这道题目给的条件比较自然，学生通过这道题可以加深对于圆的几何要素的理解，即三点可以确定一个圆。,（8）如何认识“能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系”,判断直线与圆、圆与圆的位置关系也要突出几何要素，把握好以下几点：,圆心到直线的距离是刻画圆与直线的位置关系的几何要素。通过比较圆心到直线的距离和与圆半径之间的大小关系可以判断直线和圆的位置关系；,两圆的圆心距是刻画两圆位置关系的几何要素。通过圆心距和半径之间的大小关系可以判断圆与圆的位置关系；,利用直线和圆的方程求出直线与圆的交点坐标、圆与圆的交点坐标来判断他们的位置关系，是用代数方法解决几何问题的基本方法，也是解析几何的特点。但是，要注意在用代数方法研究几何问题时，一定要回到原来的几何问题上去，例如，画出几何图形，从几何上认清问题的代数解表示的意义，而不要变成纯形式的代数运算。,在利用方程来来判断圆与圆的位置关系时，也要注重体会在“几何要素引导”下用代数方法研究几何图形位置关系的思想，不必讨论多个圆的位置关系。,例如，不讨论一般的阿波罗尼斯问题（求一圆与已知三圆相切的问题）。,（9）如何认识在“平面解析几何初步”的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想”,这里只要求通过用代数方程刻画直线、圆等具体几何图形，并通过研究他们的方程来研究直线、圆的性质以及他们之间的位置关系，来体会用代数方法处理几何问题的思想。渗透直线与圆上的点的坐标与其方程解的关系的思想，但不要求讨论一般曲线与方程的关系。,（10）如何认识“通过具体情景，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置”；“通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式”。,首先，要通过具体情境，比如确定办公室在大厦中的位置、调节灯在房间的位置等，来感受空间点的定位需要通过三个量（类似长方体中的长、宽、高）来确定，与平面直角坐标系类比，可以建立空间直角坐标系。在空间直角坐标系中，认识坐标平面上点的坐标的特点，并会用坐标来刻画点的位置。,对空间任意一点A，确定其坐标的一般方法：过A作Z轴的平行线交平面XOY于B，过B分别作X、Y轴的平行线，分别交Y,X轴于C、D，则由OD、OC、BA的长度和方向便可求得点A的坐标。反过来，给定点的坐标，用类似的方法可以在直角坐标系中画出点A。,（11）如何正确认识“通过特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。”,利用勾股定理，求出给定长、宽、高的长方体的对角线长。再通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，利用长方体的对角线长的公式，得出空间两点间的距离公式。会求给定空间两点间的距离。但是，不要再扩展。,4教学要求,（1）标准与大纲要求的对比与说明,教学,内容,“标准”目标表述,“大纲”目标表述,直,线,与,方,程,在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。,理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。,能根据斜率判定两条直线平行或垂直。,根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。,能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。,探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。,理解直线的倾斜角和,斜率的概念，掌握过,两点的直线的斜率式，,掌握由一点和斜率导,出直线方程的方法;掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,并能根据条件熟练地求出直线的方程。,掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。,会用二元一次不等式表示平面区域。,了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单应用。,圆,与,方,程,回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。,能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。,能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。,掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。,实习作业以线性规划为内容，培养解决实际问题的能力。,在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。,了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法。,结合教学内容进行对立统一观点的教育。,空,间,直,角,坐,标,系,通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。,通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。,在具体内容的要求上，“标准”与“大纲”有明显的区别。,与“大纲”相比，“标准”删去了两条直线所成的角、用二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划及其简单应用（这些内容放在了必修5的“不等式”中）、参数方程、圆的参数方程等内容；增加了用代数方法刻画直线与圆、圆与圆的位置关系以及空间直角坐标系等内容；强调通过具体图形的分析，把握确定几何图形及其位置关系的几何要素，突出代数表示的几何意义。,在“大纲”中，直线和圆的方程、圆锥曲线方程都是必修内容。而在“标准”中，解析几何内容是分层次设计的。直线和圆的方程是必修内容。圆锥曲线与方程则安排在选修1-1（12课时），选修2-1（约16课时）中。,（2）教学要求,1）突出几何要素，注重几何要素的代数化。,在本部分内容的教学中，要突出确定直线和圆的几何要素，确定直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的几何要素。在解决问题时，也要抓住问题中的几何要素。几何要素的代数化是用代数方法刻画几何图形、研究几何图形图形之间的位置关系的前提，在教学中要予以重视。,2）在几何要素的引导下进行代数的恒等变形。,在用代数方法刻画直线和圆以及直线、圆的位置关系时，代数方法要在“几何要素引导”下使用，最终要回到几何上。不要单纯用代数恒等变形（如，解方程组等）的方法研究几何问题。,例如：对于两圆的位置关系，单纯用解方程组的方法不能准确判断其位置关系。如果两圆的方程构成的方程组无解，表明这两个圆不相交，但是，到底是相离关系还是内含关系，从解方程组中无法判断的。若利用刻画两圆位置关系的几何要素圆心距，就很容易刻画圆的位置关系。,3）把握“标准”要求，不要人为的编造难题。,例如，判断三个以上圆的位置关系，求与三个已知圆相切的圆的方程等问题不要在这里讨论。,二、重点和难点,1重、难点分析,（1）确定直线和圆的几何要素，确定直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的几何要素以及直线与圆的方程中各参数的几何意义是本部分的重点。,（2）把几何要素代数化，用代数方程刻画直线与圆及其位置关系是本部分重点和难点。,（3）在“几何要素引导”下，根据所要解决的几何问题进行代数的恒等变形是本部分的难点。,2重点、难点教学案例,教学案例1：,直线的斜率,知识目标：,感受直线的方向与斜率之间的对应关系。,理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式。,使学生初步感觉解析几何的本质，用代数的方法解决形的问题。,能力目标：培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力。,情感目标：在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。,教学重点：直线的斜率,教学方法：探究，启发，对话,教学手段：多媒体辅助教学,教学过程,教学流程,设计意图,一、创设情境，引入新课,现实世界中，到处都有美妙的曲线，比如美丽的拱桥、行星的运动轨迹，等等。那么如何从数学的角度深入研究这些曲线呢？这就需要进行量的刻画，在数学史中，大数学家笛卡儿对这个问题进行了思考，创立了解析几何学（简单介绍解析几何）。今天就带领大家进入这个新的领域，以代数的方法解决几何问题。直线是最基本的几何图形，今天我们就从研究直线开始。,给学生以美的体验！体现数学无处不在，培养学生“数学地”看世界的意识！引入解析几何的学习,二、新课探究，尝试活动,师：同学们小时候都玩过跷跷板吧！如果把跷跷板抽象的理解为一条直线，那么在跷跷板的运动过程中，就形成了一系列的直线，那么这些直线有什么共同点呢？生：它们都经过同一点。师：但是我们发现这些直线的方向是各不相同的。如果我们确定一个方向，那么直线是不是就确定了呢？生：是的。板书：直线的确定需要：一点和一个确定的方向。,通过问题转化，培养学生的“数学化”能力.,斜拉桥的拉索可以看成方向不同的一些直线，实际上对于桥面而言，也是倾斜程度的不同，那么，如何来刻画直线的倾斜程度呢？,师：下面先请同学们思考两个问题：为什么大桥的引桥要很长?滑梯从湖边滑到湖心，为什么要很高才很刺激?,学生讨论，总结出倾斜程度和高度与宽度的比有关。,培养学生的观察、归纳能力,师：那么，更一般地，如果任意给出两条直线，你能判断出他们的倾斜程度吗？,学生讨论，提出参,照系，引入直角坐,标系。（在坐标系,中研究几何图形是,解析几何的基本出,发点）师：对于直,线和直线，很明显能判断出他们的倾斜程度是不同的，那么大家再来观察一下直线和直线，能准确作出判断吗？（形的观察不完全可靠，数的细化更重要，解析几何思想的体现）,创设问题情景，引导学生在直角坐标中研究直线,形的观察不完全可靠，数的细化更重要，体现解析几何的核心,师：下面以直线AB为例,你能准确地刻画直线的倾斜程度吗？学生讨论，总结得出倾斜程度,培养学生分类讨论的能力,三、意义建构,加深对公式内涵的理解,四、数学应用,熟练运用公式，加深对公式的理解,变题你能很快的说出下列直线的斜率吗?,例画经过（，）点的直线，使斜率为,强调斜率可以理解为横纵坐标的增量的比,练习反馈：分别求经过下列两点的直线的斜率：（1）（2，3），（4，0）；（2）（2，3），（2，1）；（3）（3，1），（2，1）；（4）（1，3），（，）。尝试活动：小魔术正方形边长1.3米，裁剪拼贴成矩形长2.1米，宽0.8米，正方形面积1.69米，矩形面积1.68平方米，还有0.01平方米那里去了？,注：再一次突显数形结合的重要性，突出解析几何的基本思想。,提供研究的素材，使学生产生积极的情感态度，将课内效果引向课外，以丰富学生的学习方式,五、归纳小结,关于斜率的几点注意：,1斜率是刻画直线倾斜程度的量。,2斜率的计算公式。,3当x,1,=x,2,时.斜率不存在。,4如果直线的斜率存在，那么与直线上点的选取无关，是一个定值。,评析：,本节课是解析几何的起始课，从现实世界中的曲线入手培养学生的兴趣。,本节课的教学设计尝试从整体的、系统的高度把握知识。注重联系，提高学生对数学整体的认识。让知识总是以系统中的一个环节的面貌出现在学生的面前；学生则在系统的高度接受知识、把握知识，掌握知识之间的联系与规律，从而建构自己的认知结构.,开头的引入，让学生对解析几何有个初步的认识。在斜率公式的推导过程中，教师引导学生与原认知结构中的知识挂钩，揭示倾斜程度与斜率的联系，不断地建构和完善认知结构，把客观的数学知识内化为自己认知结构中的成分。通过从斜率角度来探究一些几何问题，凸显解析几何中用代数方法解决几何问题这一核心思想。,这里我们要指出的是，不同版本的教材在处理直线斜率问题时有不同的方法，对于直线的斜率和倾斜角内容出现的顺序也不一样。但是，从整体入手设计教学，以及强调探索确定直线的几何要素这两点是共同的。,本节课有一个特别突出的特点，图形贯穿始终，解析几何是几何课程，画图可以帮助我们更好的理解概念、寻求思路。,谢谢！,