简单的线性规划问题.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.3.2简单的线性规划问题（2课时）,一、导学提示，自主学习,二、新课引入，任务驱动,三、新知建构，典例分析,四、当堂训练，针对点评,五、课堂总结，布置作业,3.3.2简单线性规划问题（2课时）,一、导学提示，自主学习,1.,本节学习目标,（,1,）了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念,（,2,）了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值,.,（,3,）掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学,模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤,学习重点,：线性规划的图解法,学习难点：寻求线性规划问题的最优解,一、导学提示，自主学习,2.,本节主要题型,题型一 求线性目标函数的最值,题型二 线性规划的实际应用,3.,自主学习教材,P87-P91,3.3.2,简单的线性规划问题,1,、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：,2,、二元一次不等式组表示的平面区域,“直线定界、特殊点定域”,各个不等式所表示的平面区域的公共部分,二、新课引入，任务驱动,一.知识回顾：,通过本节的学习你能掌握简单的线性规,划问题的解法及步骤吗？,二.任务驱动：,二、新课引入，任务驱动,三、新知建构，典例分析,一,.,简单线性规划有关概念,二,.,简单线性规划问题解题步骤,某工厂用,A,B,两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用,4,个,A,配件耗时,1h,每生产一件乙种产品使用,4,个,B,配件耗时,2h,该厂每天最多可从配件厂获得,16,个,A,配件和,12,个,B,配件,按每天工作,8,小时,计算,该厂所有,可能的日生产安排是什么,?,若生产,1,件甲种产品获利,2,万元,生产,1,件乙,种产品获利,3,万元,采用哪种生产安排利润最大,?,三、新知建构，典例分析,问题引入:,3,2,利润,(,万元,),8,2,1,所需时间,12,4,0,B,种配件,16,0,4,A,种配件,资源限额,乙产品,(1,件,),甲产品,(1,件,),产品,消 耗 量,资 源,把问题,1,的有关数据列表表示如下,:,设甲,乙两种产品分别生产,x,y,件,将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内,所有坐标为整数的点,P(x,y),安排生产任务,x,y,都是有意义的,.,0,x,y,4,3,4,8,设甲,乙两种产品分别生产,x,y,件,由己知条件可得,:,问题：,求利润,2x+3y,的最大值,.,若设利润为,z,则,z=2x+3y,这样上述问题转化为,:,当,x,y,在满足上述约束条件时,z,的最大值为多少,?,当点,P,在可允许的取值范围变化时,0,x,y,4,3,4,8,M,（,4,，,2,）,问题：,求利润,z=2x+3y,的最大值,.,象这样关于,x,y,一次不等,式组的约束条件称为,线性约束,条件,Z=2x+3y,称为目标函数,(,因这里,目标函数为关于,x,y,的一次式,又,称为,线性目标函数,在线性约束下求线性目标函数,的最值问题,统称为,线性规划,一.线性规划有关概念:,满足线性约束的解,(x,y),叫做,可行解,所有可行解组成的集合叫做,可行域,使目标函数,取得最值,的可行解叫做这个,问题的,最优解,变式：,若生产一件甲产品获利,1,万元,，,生产一件乙产品获利,3,万元,，,采用哪种,生产安排利润最大？,0,x,y,4,3,4,8,N,（,2,，,3,）,变式：,求利润,z=x+3y,的最大值,.,名称,意义,约束条件,由变量,x,y,组成的不等式组,线性约束条件,由,x,y,的一次不等式（或方程）组成的不等式组,目标函数,关于,x,y,的函数解析式，如,z,=2,x,+3,y,等,线性目标函数,关于,x,y,的一次解析式,可行解,满足线性约束条件的解（,x,y,),可行域,所有可行解组成的集合,最优解,使目标函数取得最大值或最小值的可行解,线性规划问题,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,线性规划有关概念:,17,2,、,画,：,画出线性约束条件所表示的可行域；,3,、,移,：,在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点,且纵截距最大或最小的直线；,4,、,求,：通过解方程组求出最优解；,5,、,答：作出答案。,1,、找,找出线性约束条件、目标函数；,二.线性规划问题解题步骤:,三、新知建构，典例分析,说明,:,二、,最优解,一般在可行域的,顶点,处取得，也有可能在边界处取得,四、在哪个顶点取得不仅与,B,的符号有关，而且还与直线,Z=Ax+By,的,斜率,有关,一、,先定,可行域和平移方向，再找最优解。,三、新知建构，典例分析,三、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,-,与,y,轴上的截距相关的数。,2.,典例分析：,题型一 求线性目标函数的最值,题型二 线性规划的实际应用,三、新知建构，典例分析,x,4,y,3,，,例,1,.,已知变量,x,，,y,满足,3,x,5,y,25,，,求,z,2,x,y,的,x,1,，,最大值和最小值,思维突破：,把,z,看成直线在,y,轴上的截距，先画出可行域，,再求,z,的最值,三、新知建构，典例分析,题型一.求线性目标函数的最值:,自主解答：,作出不等式组,所表示的可行域，如图,:,设直线,l,0,：,2,x,y,0,，直线,l,：,2,x,y,z,，则,z,的几何意义,是直线,y,2,x,z,在,y,轴上的截距,显然，当直线越往上移动时，对应在,y,轴上的截距越大，,即,z,越大；当直线越往下移动时，对应在,y,轴上的截距越小，,即,z,越小,三、新知建构，典例分析,作一组与直线,l,0,平行的直线系,l,，上下平移，可得：,点,A,(5,2),时，,z,max,25,2,12,；,当直线,l,移动到直线,l,2,时，即过,当直线,l,移动到直线,l,1,时，即过,点,B,(1,1),时，,z,min,21,1,正确作出可行域后，将目标函数变为直线方程,的斜截式的形式，应注意该直线在,y,轴上的截距与目标函数,z,取值的关系再注意该直线的斜,率与可行域边界直线的斜率关,系，以便准确找到最优解,3.,三、新知建构，典例分析,y,1,，,例,2,.,已知实数,x,，,y,满足,y,2,x,1,，,x,y,m,，,如果目标函数,z,x,y,的最小值为,1,，则实数,m,(,),A,7,B,5,C,4,D,3,思维突破：,画出,x,，,y,满足的可行域，可得直线,y,2,x,1,与直线,x,y,m,的交点使目标函数,z,x,y,取得最小值,三、新知建构，典例分析,答案：,B,三、新知建构，典例分析,线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,:,一、在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；,二、给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务,下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：,三、新知建构，典例分析,题型二.线性规划的实际应用:,例,3.,营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供,0.075kg,的碳水化合物,0.06kg,的蛋白质,0.06kg,的脂肪,.1kg,食物,A,含有,0.105kg,碳水化合物,0.07kg,蛋白质,0.14kg,脂肪,花费,28,元,;,而,1kg,食物,B,含有,0.105kg,碳水化合物,0.14kg,蛋白质,0.07kg,脂肪,花费,21,元,.,为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物,A,和食物,B,多少,kg,？,三、新知建构，典例分析,食物,kg,碳水化合物,kg,蛋白质,/kg,脂肪,kg,A,0.105,0.07,0.14,B,0.105,0.14,0.07,分析：将已知数据列成表格,三、新知建构，典例分析,解：设每天食用,xkg,食物,A,，,ykg,食物,B,，总成本为,z,，那么,目标函数为：,z,28x,21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,1,、找,三、新知建构，典例分析,把目标函数,z,28x,21y,变形为,x,y,o,/57,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为 纵截距随,z,变化的一组平行直线,是直线在,y,轴上的截距，当截距最小时，,z,的值最小。,M,如图可见，当直线,z,28x,21y,经过可行域上的点,M,时，纵截距最小，即,z,最小。,2,、画,3,、,移,M,点是两条直线的交点，解方程组,得,M,点的坐标为：,所以,z,min,28x,21y,16,由此可知，每天食用食物,A143g,，食物,B,约,571g,，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为,16,元。,4,、,求,5,、,答,31,解线性规划问题的步骤：,（,1,）,2,、,画,：,画出线性约束条件所表示的可行域；,（,2,）,3,、,移,：,在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点,且纵截距最大或最小的直线；,（,3,）,4,、,求,：通过解方程组求出最优解；,（,4,）,5,、,答：作出答案。,1,、找,找出线性约束条件、目标函数；,三、新知建构，典例分析,例,4.,某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成,A,、,B,、,C,三种规格，每张钢板可同时截得三种规示,：,格的小钢板的块数如下表所,解：,设需截第一种钢板,x,张，第二种钢板,y,张，,钢板,总,张数为,Z,则,规格类型,钢板类型,第一种钢板,第二种钢板,A,规格,B,规格,C,规格,2,1,2,1,3,1,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,某顾客需要,A,B,C,三种规格的成品分别为,15,，,18,，,27,块，,若你是经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少,。,分,析,问,题,:,标目函数,:z=x+y,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,直线,x+y=12,经过的整点是,B(3,9),和,C(4,8),，它们是最优解,.,作出直线,L:x+y=0,，,目标函数,:,z=,x+y,B(3,9),C(4,8),A(3.6,7.8),当直线,L,经过点,A,时,z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点,B,C,的坐标,B(3,9),和,C(4,8,),2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解,.,作直线,x+y=12,约束条件,:,画可行域,平移,L,找交点及交点坐标,调整优解法,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,xN,*,y0 yN,*,经过可行域内的整点,B(3,9),和,C(4,8),且和原点距离最近的直线是,x+y=12,，它们是最优解,.,作出一组平行直线,t,=,x+y,，,目标函数,t,=,x+y,B(3,9),C(4,8),A(18/5,39/5),打网格线法,在可行域内打出网格线,，,当直线经过点,A,时,t=x+y=11.4,但它不是最优整数解,，,将直线,x+y=11.4,继续向上平移,，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：,1,.,若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）,2.,若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值,Z,，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与,Z,最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。,3.,在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解,例,5.,一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产,1,车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐,4t,、硝酸盐,18t,；生产,1,车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐,1t,、硝酸盐,15t,。现库存磷酸盐,10t,、硝酸盐,66t,，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设,x,、,y,分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,例,6,在上一节例,4,（,P85,）中，若生产,1,车皮甲种肥料，产生的,利润为,10000,元；生产,1,车皮乙种肥料，产生的利润为,5000,元，,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？,解：设生产甲种肥料,x,车皮、乙种肥料,y,车皮，能够产生利润,Z,万元。,目标函数为：,可行域如图。,把,z=x+0.5y,变形为,得到斜率为,-2,，在,y,轴上的截距为,2z,随,z,变化的一族平行直线。,x,y,0,M,由图可以看出，当直线,y=-2x+2z,经过,可行域上的点,M,时，截距,2z,最大，即,Z,最大。,x,y,0,M,解方程组,得,M,的坐标为（,2,，,2,）,所以,答：生产甲种、乙种肥料各,2,车皮，能够,产生最大利润，最大利润为,3,万元。,即先求非整数条件下的最优解，调整,Z,的值使不定方程,Ax+By=Z,存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解,即先打网格，描出可行域内的整点,，,平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解,线性规划求最优整数解的一般方法,:,1.,平移找解法：,2.,调整优解法,：,三、新知建构，典例分析,x,2,y,40,，,1,已知实数,x,，,y,满足约束条件,2,x,y,20,，,3,x,y,30,，,则目标,函数,z,x,2,y,的最大值的可行解为,_,(2,3),四、当堂训练，针对点评,变式训练1-1：,x,y,50,，,2,已知,x,，,y,满足,x,3,，,x,y,k,0,，,且,z,2,x,4,y,的最小值,),为,6,，则常数,k,(,A,2,B,9,C,3,D,0,解析：,画图后知：当,x,3,时,z,2,x,4,y,取最小值,6.,D,四、当堂训练，针对点评,2.,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为,3000,元、,2000,元，甲、乙产品都需要在,A,、,B,两种设备上加工，在每台,A,、,B,上加工,1,件甲所需工时分别为,1h,、,2h,，,A,、,B,两种设备每月有效使用台数分别为,400h,和,500h,。如何安排生产可使收入最大？,解：设每月生产甲产品,x,件，生产乙产品,y,件，每月收入为,z,，目标函数为,Z,3x,2y,，满足的条件是：,变式训练2-1：,Z,3x,2y,变形为,它表示斜率为 的直线系，,Z,与这条直线的截距有关。,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点,M,时，截距最大，,Z,最大。,M,解方程组,可得,M,（,200,，,100,）,Z,的最大值,Z,3x,2y,800,故生产甲产品,200,件，乙产品,100,件，收入最大，为,80,万元。,五、课堂总结，布置作业,1,课堂总结：,（,1,）涉及知识点：,简单的线性规划问题。,（,2,）涉及数学思想方法：,转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合,思想。,线性目标函数,目标函数是关于变量的一次解析式,1.,目标函数,要求最值的函数,线性规划,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,可行解,满足线形约束条件的解叫做可行解,可行域,由所有可行解组成的集合,五、课堂总结，布置作业,2.,线性规划的两类重要实际问题的解题思路：,（,1,）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，,确定线性目标函数。,（,2,）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，,在可行域内求得使目标函数取得最值的解,.(,一般最优解,在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。）,（,3,）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际,问题的解，即结合实际情况求得最优解。,五、课堂总结，布置作业,五、课堂总结，布置作业,2.,作业设计：,P93,习题,3.3A,组,3,、,4,3.,预习任务：必修,5,教材,97-,100,3.4,基本不等式：,谢谢！再见！,六、结束语,