高等代数教案北大版第四章.doc
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1、 授课内容第四章 矩阵 第一讲 矩阵的概念教学时数2授课类型讲授教学目标要求学生了解引进矩阵的意义,理解矩阵的概念教学重点矩阵的概念教学难点矩阵概念的理解教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成
2、为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.1. 在解析几何中考虑坐标变换时,如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴),那么平面直角坐标变换的公式为 (1) 其中为轴与轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系,完全通过公式中系数所排成的矩阵 (2) 表示出来.通常,矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形,保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式 (3) 同样,矩阵 (4) 就称为坐标变换(3)的矩阵.2. 二次曲线的一般方程为. (5) (5)的左端可以简单地用矩阵 (6) 来表示.通常,(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到,这种表示法不只是形式的.3. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用
3、到矩阵.例如,假设在某一地区,某一种物资,比如说煤,有个产地,个销地,那么一个调动方案就可以用一个矩阵来表示,其中表示由产地运到销地的数量.4. 维向量也可以看成矩阵的特殊情形. 维行向量就是矩阵,维列向量就是矩阵.以后用大写的拉丁字母,或者来表示矩阵.有时候,为了指明所讨论的矩阵的级数,可以把矩阵写成,或者(注意矩阵符号与行列式的符号的区别).设,如果,且,对都成立,我们就说.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.讨论、练习与作业课后反思 授课内容 第二讲 矩阵的运算教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习,要求学生能熟练掌握矩阵的几种运算教学重点矩阵的几种运算教学难点矩阵的乘法运算的定义、法
4、则以及进行乘法运算的前提条件教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程现在来定义矩阵的运算,它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.为了确定起见,我们取定一个数域,以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.1. 加法定义1 设,是两个矩阵,则矩阵称为和的和,记为.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然,相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法,也就是数的加法,所以不难验证,它有结合律:;交换律:.元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为,在不致引起含混的时候,可简单地记为.显然,对所有的,.矩阵称为矩阵的负矩阵,记为.
5、显然有矩阵的减法定义为例如 在1我们看到,某一种物资如果有个产地,个销地,那么一个调动方案就可表示为一个矩阵.矩阵中的元素表示由产地要运到销地的这个物资的数量,比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地,那么,这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个矩阵.显然,这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质,很容易看出:秩(+) 秩()+秩()2. 乘法在给出乘法定义之前,先看一个引出矩阵问题.设和是两组变量,它们之间的关系为 (1) 又如是第三组变量,它们与的关系为 (2) 由(1)与(2)不难看出与的关系:
6、. (3) 如果我们用 (4) 来表示与的关系,比较(3),(4),就有. (5) 用矩阵的表示法,我们可以说,如果矩阵分别表示变量与以及与之间的关系,那么表示与之间的关系的矩阵就由公式(5)决定.矩阵称为矩阵与的乘积,记为一般地,我们有:定义2 设,那么矩阵,其中其中, (6) 称为矩阵与的乘积,记为.由矩阵乘法的定义可以看出,矩阵与的乘积的第行第列的元素等于第一个矩阵的第行与第二个矩阵的第列的对应元素的乘积的和.当然,在乘积的定义中,我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.例1 设,那么例2 如果是一线性方程组的系数矩阵,而分别是未知量和常数项所成的和矩阵,那么线性方程组就可以写成
7、矩阵的等式. 例3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系到的坐标变换的矩阵为如果令,那么坐标变换的公式可以写成.如果再作一次坐标系的转轴,设由第二个坐标系到第三个坐标系的坐标变换公式为,其中.那么不难看出,由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为.矩阵的乘法适合结合律.设则.但是矩阵的乘法不适合交换律,即一般说来.例如,设,而.由这个例子我们还可看出,两个不为零的矩阵的乘积可以是零,这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当时,不一定有.定义3 主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的矩阵称为级单位矩阵,记为,或者在不致引起含混的时候简单写为.显然有,.矩阵的乘法和加法
8、还适合分配律,即, (9) . (10) 应该指出,由于矩阵的适合交换律,所以(9)与(10)是两条不同的规律.我们还可以定义矩阵的方幂.设是一矩阵,定义换句话说,就是个连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律,不难证明,.这里是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律,所以与一般不相等.3. 数量乘法. 定义4 矩阵称为矩阵与数的数量乘积,记为.换句话说,用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上.数量乘积适合以下的规律:, (11) , (12) , (13) , (14) . (15) 矩阵通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形,如果是一矩阵,那么有.这个式子说明,数量矩阵与所
9、有的矩阵作乘法是可交换的.可以证明:如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法是可交换的,那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有,这就是说,数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.4. 转置把一矩阵的行列互换,所得到的矩阵称为的转置,记为.可确切地定义如下:定义5 设,所谓的转置就是指矩阵.显然,矩阵的转置是矩阵.矩阵的转置适合以下的规律:, (16) , (17) , (18) . (19) (16)表示两次转置就还原,这是显然的.例4 设 求.讨论、练习与作业课后反思 授课内容 第三讲 矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆教学时数2授课类型讲授教学目标使学生能掌握矩阵乘积的行列式与秩的相关理论,会判断一个
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