统计物理第六章.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,热力学与统计物理学对比,热力学是热运动,宏观理论,。,以试验总结定律出发,经过严密逻辑推理得到物体宏观热性质间联络,宏观过程进行方向和程度,从而揭示热现象相关规律。,统计物理是热运动,微观理论,。,认为宏观物质系统由大量微观粒子组成,.,宏观性质是大量微观粒子集体表现,宏观热力学量则是对应微观力学量统计平均值。,第1页,微观粒子,观察和试验,出 发 点,热力学验证统计物理学，,统计物理学揭示热力学本质,二者关系,近似模型，计算难,不深刻,缺 点,揭露本质，探讨详细,普遍，可靠,优 点,统计平均方法,力学规律,总结归纳,逻辑推理,方 法,微观量，宏观量,宏观量,物 理 量,热现象,热现象,研究对象,微观理论,（统计物理学）,宏观理论,（热力学）,第2页,第六章,近独立粒子最概然分布,基本内容：,粒子运动状态描述,热力学系统微观状态描述,等概率原理,三种分布,第3页,6,-1,粒子运动状态经典描述,一.粒子运动状态,粒子：指组成宏观物质系统基本单元。,例：气体中分子,金属中离子和电子,辐射场中光子,粒子运动状态是指它力学,运动,状态。,假如粒子遵从,经典力学,运动规律，对粒子运动状态描述称为,经典描述,。,假如粒子遵从,量子力学,运动规律，对粒子运动状态描述称为,量子描述,。,第4页,设粒子,自由度数,r,（能够完全确定质点空间位置独立坐标数目），粒子在任一时刻,力学运动状态（或者,微观运动状态）,由,2,r,个广义坐标和广义动量确定：,二.粒子运动状态经典描述,粒子能量是广义坐标和广义动量函数：,假如有外场，粒子能量还是外场函数。,由,2,r,个广义坐标和广义动量张成,2,r,维直角坐标空间：,第5页,空间中任何一点代表力学体系中一个粒子一个运动状态，这个点称为,粒子运动状态代表点,。当粒子运动状态随时间改变时，代表点对应地在,空间中移动，描画出一条轨迹。,1.,三维自由粒子,自由度：,3,；,空间维数：,6,能量：,能量球面半径：,三.例子,第6页,以一维自由粒子为例，以 为直角坐标，组成二维,空间，设一维容器长度为，粒子一个运动状态 能够,用 空间在一定范围内一点代表,:,第7页,能量：,2.,线性谐振子,自由度：,1,空间维数：,2,能量椭圆,x,p,质量为,m,粒子在弹性力 作用下,将在原点附近作圆频率 简谐振动，称为线性谐振子。,第8页,3.,转子,质点在直角坐标下能量：,坐标用球坐标表示,:,o,x,y,z,A,考虑,质量为,m,质点被含有固定长度,轻杆,系于原点,O,时所作运动,。,第9页,考虑质点和原点距离保持不变 ，于是：,自由度：,2,空间维数：,4,第10页,广义坐标：,广义动量：,能量：,怎样出来？,能量形式和,转子对称性,相关。,转子拉格朗日量：,广义动量形式和转子,拉格朗日量,相关。,第11页,z,方向角动量：,第12页,6,-2,粒子运动状态量子描述,微观粒子普遍含有波粒二象性（粒子性与波动性）,德布罗意关系,(1924,年,),：,不确定性关系（,1925,年）,其中,都称为,普朗克常数,。,第13页,第14页,在量子力学中，微观粒子运动状态是用波函数来描述,，,微观粒子运动状态称为量子态,。量子态往往能够由一组量子数来表征。这组量子数数目等于粒子自由度数。,微观粒子不可能同时有确定动量和坐标,经典描述失效,微观粒子运动不是轨道运动,微观粒子能量是不连续,分立能量称为,能级,。,假如一个能级量子态不止一个，该能级就称为,简并,。,一个能级量子态数称为该能级,简并度,。,假如一个能级只有量子态，该能级称为,非简并,。,普朗克常数量纲：,时间,能量,=,长度,动量,=,角动量,含有这么量纲一个物理量通常称为,作用量,，因而普朗克常数也称为基本,作用量子。这个作用量子常作为判别采取经典描述或量子描述判据。,第15页,一、自旋,电子,(,质子、中子等,),含有,内禀角动量（自旋）和内禀磁矩,关系为：,自旋角动量在空间任意方向上投影（比如说,z,轴）只能取两个值,:,在外磁场中势能为,二、线性谐振子,圆频率为 线性谐振子能量可能值为,全部能级等间距，均为,每一个能级都是非简并，即简并度为,1,。,第16页,三、转子,基态非简并，激发态简并，,简并度：,转子能量,:,量子理论要求,:,固定,l,，角动量在空间任意方向上（比如说,z,轴）投影,:,转子运动状态由,l,和,m,两个量子数表征。,转子运动状态即量子态用球谐函数 描写，它由,l,和,m,两个量子数表征，,l,称为角动量量子数，普通为非负整数。,第17页,四、自由粒子,一维自由粒子：,考虑处于长度为 一维容器中自由粒子。采取,周期性边界条件，,其德布罗意波长 满足：,基态能级为非简并，激发态为二度简并。,第18页,三维自由粒子,考虑处于长度为,L,三维容器中自由粒子运动状态。,假设此粒子限制在一个边长为,L,方盒子中运动，仿照一维粒子情,形，该粒子在三个方向动量可能值为：,量子数：,3,个,能量可能值为,能量值决定于：,第19页,比如对于：,有六个量子态与之对应，,基态能级为非简并，激发态为,6,度简并。,第20页,深入了解这个式子，我们,在,空间中引入相格概念,。,首先，注意到 是,空间中一个体积元,；,其次，普朗克常数,h,量纲：,h,=,时间,能量,=,长度,动量,h,3,=,长度,3,动量,3,h,3,是,空间中一个体积，称之为一个相格。,第21页,深入说明：,微观粒子运动必须恪守,不确定性关系,，不可能同时含有确定动量和,坐标，所以量子态不能用,空间一点来描述，假如硬要沿用广义坐标和广义,动量描述量子态，那么一个状态必定对应于,空间中一个体积元（相格），,而不是一个点，这个体积元称为,量子相格,。,右边表示,在,空间中以,h,3,为单位相格个数,，左边表示量子态数目。,一个相格,h,3,内只有一个量子态,自由度为,1,粒子，相格大小为普朗克常数：,假如自由度为,r,，,相格大小为：,第22页,对动量采取球坐标：,o,p,x,p,y,p,z,第23页,D,(,p,),表示单位动量大小间隔范围内量子态数,，,称为,动量空间态密度,。,对非相对论性自由粒子，有：,第24页,表示单位能量间隔内粒子可能量子态数，称为能量态密度，简称为态密度,。,注意：,以上讨论,没有考虑自旋，而且考虑到是非相对论性粒子,。,假如粒子自旋不为零,，比如电子自旋为,1/2,，光子自旋为,1,，因为自旋角动量在动量方向上投影有两个可能值（前面已提到，自旋角动量在空间中任意一个方向投影有两个可能值），也就是说，有两个不一样状态，所以,上面量子态数公式需乘以,2,：,第25页,6,-3,系统微观运动状态描述,一.相关概念,1,.,系统,热力学和统计物理学中研究对象都是由大量微观粒子组成系统。,2.,近独立粒子,我们现在只讨论：,近独立全同粒子组成系统,（适合用于第六七八章内容）,粒子之间相互作用很弱，能够忽略,系统能量为单个粒子能量之和：,N,为系统粒子总数,第26页,二.系统微观运动状态经典描述,3.,全同粒子,粒子质量、电荷、自旋都相同。,4.,系统微观状态,指,组成系统全部粒子力学运动状态,。,假设系统有,N,个粒子，每一个粒子自由度为,r,，第,i,个粒子力学运动状态，由,r,个广义坐标和,r,个广义动量来描述：,当组成系统,N,个粒子在某一时刻运动状态都确定时，也就确定了整个系统在该时刻运动状态。,所以，,确定系统微观运动状态需要,2,Nr,个变量,。,第27页,一个粒子在某时刻力学运动状态能够在,空间中用一个点表示；,由,N,个全同粒子组成系统在某时刻微观运动状态能够在,空间中用,N,个点表示,；,假如交换两个代表点在,空间位置，对应系统微观状态是不一样。,经典力学中，全同粒子是能够分辨（因为经典粒子运动是轨道运动，标准上是能够被跟踪）。假如在含有多个全同粒子系统中，将两个粒子运动状态加以交换，交换前后，系统力学运动状态是不一样。,形象描述：,第28页,1.,微观粒子全同性原理,三.系统微观运动状态量子力学描述,微观粒子波粒二相性（微观世界基本特征）,不确定性关系,微观粒子不是轨道运动,全同微观粒子不可分辨,2.,量子力学怎样描述系统微观粒子运动状态？,全同粒子能够分辨,全同粒子不可分辨,确定每一个量子态上粒子数,确定每一粒子量子态,（,1924,年，印度人玻色（,Bose,）首次提出,）,（定域系统）,（非定域系统）,第29页,一个简单规则（几乎普遍适用）：,由玻色子组成复合粒子是玻色子；,由偶数个费米子组成复合粒子是玻色子；,由奇数个费米子组成复合粒子是费米子。,b,）玻色子：自旋量子数为整数粒子。,如：光子、介子等。,a,）费米子：自旋量子数为半整数粒子。,如：电子、质子、中子等。,3.,玻色子与费米子,例子：,费米子遵从,泡利不相容原理,:,在含有多个全同近独立费米子系统，占据一个个体量子态费米子不可能超出一个,。,玻色子组成系统不受泡利不相容原理约束。,第30页,4.,玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统,玻耳兹曼系统,:,由可分辨全同近独立粒子组成；,特点：,处于一个个体量子态上粒子数不受限制。,玻色系统,:,由不可分辨全同近独立玻色粒子组成；,特点：,不受泡利不相容原理约束，即处于同一个个体量子态上粒子数不受限制。,费米系统,:,由不可分辨全同近独立费米粒子组成；,特点：,受泡利不相容原理约束，即处于同一个个体量子态上粒子数最多只能为,1,个粒子。,设系统由两个粒子组成，粒子个体量子态有,3,个，假如这两个粒子分属,玻耳兹曼系统,、玻色,系统,、费米,系统,时，试分别讨论系统各有那些可能微观状态？,第31页,量子态,1,量子态,2,量子态,3,1,AB,2,AB,3,AB,4,A,B,5,B,A,6,A,B,7,B,A,8,A,B,9,B,A,对于玻尔兹曼系统（定域系统）可有,9,种不一样微观状态：,第32页,量子态,1,量子态,2,量子态,3,1,AA,2,AA,3,AA,4,A,A,5,A,A,6,A,A,对于玻色系统，能够有,6,种不一样微观状态,：,第33页,量子态,1,量子态,2,量子态,3,1,A,A,2,A,A,3,A,A,对于费米系统，能够,有,3,个不一样微观状态,：,第34页,粒子类别,量子态1,量子态2,量子态3,玻耳兹曼系统,A B,A B,A B,A,B,B,A,A,B,B,A,A,B,B,A,玻色系统,A A,A A,A A,A,A,A,A,A,A,费米系统,A,A,A,A,A,A,分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统两个粒子占据三个量子态给出微观状态数,第35页,经典统计力学,在经典力学基础上建立统计物理学称为,经典统计力学,。,量子统计力学,在量子力学基础上建立统计物理学称为,量子统计力学,。,二者在统计上原理上相同，区分在于对微观粒子描述。,力学（经典力学或量子力学）,+,统计学原理,=,统计力学（统计物理学）,第36页,6-4,等概率原理,系统宏观状态,：指,热力学中讨论系统状态，即热力学宏观态，由,一组参量表示,，如总粒子数,N,、总能量,E,、体积,V,。,为了研究系统宏观性质，,没必要也不可能追究微观状态复杂改变,，,只要知道各个微观状态出现概率，就能够用统计方法求微观量统计平均,值。所以，,确定各微观状态出现概率是统计物理根本问题,。,例,1,：孤立系统总粒子数,N,（不是开系）,、总能量,E,（外界不做功也不传热）,、,体积,V,（外界不做功）不变,。,系统微观状态,：参考,6-3,所讲述内容。,在经典力学中，系统由,2,Nr,个广义坐标和广义动量描述。,在量子力学中，确定系统每一个粒子量子态（定域系统）,或者，确定每一个量子态上有多少个粒子（非定域系统）,例,2,：和大热源接触到达平衡系统总粒子数,N,（是闭系）,、温度,T,（和大热源接触）,、体积,V,（外界不做功）不变,。,为何需要这个原理？,第37页,：,。,对于处于平衡状态下,孤立系统,，系统宏观状态由,N,、,E,、,V,确定，但系统微观状态数是大量，而且发生着复杂改变，在相同宏观条件下，没有理由认为哪一个状态出现概率更大一些，很自然认为，这些微观状态应该是平权。,也就是说，对于,孤立系统，在相同宏观条件下，系统各个可能微观状态出现概率是相等,。,等概率原理：,等概率,原理是统计物理学中一个合理基本假设，该原理不能从更基本原理推出，也不能直接从试验上验证，它,正确性在于从它推出各种结论与客观实际相符而得到必定,。,正确性？,第38页,6,-5,分布与微观状态数,一.分布,设有一个系统，由大量近独立粒子组成，含有确定,N,、,E,、,V,，,对于确定宏观状态下，假如系统粒子按能级作以下排列：,能级：,简并度,：,粒子数,：,第39页,给定了一个分布，只能确定处于每一个能级上粒子数，它与系统,微观状态是两个性质不一样概念。,微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反应是粒子运动特征。,比如：在某一能级上，假设有,3,个粒子，这三个粒子是怎样占据该能,级量子态，也就是它微观状态是什么样，我们需要确定,。,本节主要任务是：,在给定一个分布下，计算系统微,观状态数,。,同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统给出微观状态,数显然是不一样，下面分别加以讨论。,包括到数学就是高中,排列组合问题,。,第40页,玻耳兹曼系统粒子能够分辨，若对粒子加以编号，则 个粒子占据能,级 个量子态时，是彼此独立、互不关联。,二.玻耳兹曼系统微观状态数,分布对应系统微观状态数为：,第41页,玻色系统粒子不可分辨，每一个个体量子态能容纳粒子个数不受限,制。,三.玻色系统微观状态数,首先 个粒子占据能级 上 个量子态可能方式为：,考虑到粒子不可分辨性，交换 个粒子不产生新状态；同时，在,上图中，交换 个量子态,(,注意固定一个量子态,),也不产生新微观状,态，所以，在上式中，要除以粒子交换数和量子态交换数，故得：,将各种能级结果相乘，就得到玻色系统与分布对应微观状态数为：,第42页,费米系统粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。,个粒子占据能级 上 个量子态，相当于从 个量子态中挑出,个来为粒子所占据，有 种可能方式。,四.费米系统微观状态数,将各能级结果相乘，就得到费米系统与分布对应微观状态数为：,第43页,简单了解：,第44页,1.,玻耳兹曼系统粒子能够分辨，每一个量子态上粒子数不受到限制，所以问题就是：,2.,玻色系统粒子不能够分辨，每一个量子态上粒子数不受到限制，所以问题就是：,3.,费米系统粒子不能够分辨，每一个量子态上粒子数不会超出,1,，所以问题就是：,N,个,完全不相同,球放在盒子中方法有多少种？,N,个,完全相同,球放在盒子中方法有多少种？,N,个,完全相同,球放在盒子中方法有多少种？,第45页,五.经典极限条件,则称满足,经典极限条件,，也称,非简并性条件,。,假如在玻色系统和费米系统中，任一能级上粒子数均远小于该能级量子态数，即：,第46页,在玻色和费米系统中，个粒子占据能级 上 个量子态时原来是,相关联，但,在满足经典极限条件情形下，因为每个量子态上平均粒,子数远小于,1,，粒子间关联能够忽略（这也是经典极限条件称为非简并性,条件原因）,。这时，全同性影响只表现在因子 上。,第47页,对于经典系统，因为对坐标和动量测量总存在一定,误差,，假设：,六.经典统计中分布和微观状态数,这时经典系统一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表,示，该体积元大小为：,它表示经典系统一个微观状态在 空间所占体积，称为,经典相格,，这,里 由测量精度决定，,它最小值为普朗克常数,，在经典物理学中，它没有,下限。,现将 空间划分为许多体积元 ，以 表示运动状态处于 内,粒子所含有能量，内粒子运动状态数为 ，这么，个粒子处于各 分布可表示为 。,第48页,能级：,简并度：,粒子数：,体 积 元,:,因为经典粒子能够分辨，处于一个相格内粒子个数不受限制，所以经,典系统遵从玻耳兹曼系统统计规律，所以与分布 对应经典系统,微观状态数为：,第49页,玻耳兹曼系统,玻色系统,费米系统,经典系统,微观状态数,第50页,对于不一样分布，系统微观状态数是不一样。,可能存在这么一个分布，它使系统微观状态数最多。,6,-6,玻耳兹曼分布,等概率原理：对处于平衡态孤立系统，每一个可能微观状态数几率是相等。,一,.,最概然分布,微观状态数最多分布，出现概率最大，称为,最概然分布,。,下面推导玻耳兹曼系统粒子最概然分布,玻耳兹曼分布,。,玻耳兹曼系统真正应用是：定域系统,（固体统计物理问题：顺磁性固体；固体热容量问题）,第51页,斯特令公式：,三,.,玻,耳,兹曼分布,二,.,条件极值和拉格朗日乘法,参见：陈传璋等，,数学分析,下册,P196,。,第52页,这些,不完全是独立，必须满足两个约束条件：,引入两个拉格朗日不定乘子 和 ，定义拉格朗日函数：,即：,有极值等价于,F,有极值，有极值必要条件为：,第53页,以上是微观状态数有极值必要条件，下面验证，这个极值也是极大：,是极大值,第54页,玻耳兹曼分布也可表示为处于能量为,量子态上平均粒子数：,上式给出了,玻耳兹曼系统粒子最概然分布，称为玻耳兹曼分布,。和 分别由下面条件决定：,和 分别由下面条件决定：,第55页,假设分布对玻耳兹曼分布微观状态数,有一偏离：,所对应微观状态数为 ，对其做泰勒展开：,问题：为何要讨论最概然分布？,假设每一个能级对玻耳兹曼分布相对偏离为：,第56页,对于,宏观系统，有：,这个预计说明，即使对最概然分布仅有极小偏离分布，偏离后分布对应微观状态数与最概然分布给出微观状态数相比也靠近于零。,一个处于宏观平衡态孤立系统微观状态数为各种可能分布对应微观状态数总和。,依据等概率原理，,最概然分布给出微观状态数比其它分布给出微观状态数大得多（上式已经验证）,。,所以，,能够用最概然分布给出微观状态数来近似系统总微观状态数,，这就是我们为何要研究最概然分布原因,。,缺点：只适合近独立粒子，斯特令公式往往不满足。,第57页,四,.,经典统计中玻耳兹曼分布,第58页,6,-7,玻色分布和费米,分布,费米分布,玻色分布,第59页,玻色分布和费米分布分布也可表示为处于能量为 量子态,s,上平均粒子数,第60页,6-8,三种分布关系,费米分布,玻耳兹曼分布,玻色分布,假如参数,满足条件：,则玻色分布和费米分布过渡到玻耳兹曼分布，因为,所以条件,（,#,）,也称为经典极限条件或者非简并性条件，由此知道：,满足经典极限条件玻色,(,费米,),系统遵从和玻耳兹曼系统一样分布,。当然，分布所对应微观状态数有差异。,（,#,）,第61页,说明,第七章将严格证实，,普通气体都满足经典极限条件,，所以能够用玻耳兹曼分布处理。,由定域粒子组成,定域系统,（顺磁性固体和核自旋系统）遵从玻耳兹曼分布。,直接由分布函数导出热力学量（内能、物态方程），用玻耳兹曼分布方法和经典极限条件玻色（费米）分布这两种方法结果完全一样,与微观状态数相关物理量（熵和自由能），两种方法导出结果不一样。,经典系统,玻耳兹曼系统,玻色系统,费米系统,满足经典极限条件玻色费米系统,第62页,作业,习题六,1,2,3,4,思索题,:5,第63页,