高数下册总复习.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,（一）,向量数量积计算、直线与平面对应向量之,间关系,空间曲面上某点法线方程确实定,（,1,）,1/47,（一）,（,2,）设,则,（一）,向量数量积计算、直线与平面对应向量之,间关系,空间曲面上某点法线方程确实定,2/47,（,3,）,曲面在某点处,法线方程确实定,关键点：,I,：,曲面在某点处,法线方程确实定,（,1,）设曲面方程为,第一步：计算,第二步：计算曲面法向量,第三步：分别写出切平面和法线方程,3/47,（,2,）设曲面方程为,第一步：取,第二步：计算曲面法向量,第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法,线方程,4/47,3,、经典例题,5/47,解,设所求直线方向向量为,依据题意知,取,所求直线方程,6/47,例,2,：设直线,L,和平面,方程分别为,则必有（）,解：,C,7/47,8/47,关键点：,I,、方向导数与梯度计算,II,：二元抽象函数二阶偏导数计算；,III,：隐函数偏导数计算；,例,1,：设,答案：,IV,：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；,（二）,隐函数存在定理应用、方向导数与梯度计算、,复合函数高阶偏导函数计算、多元函数极值（含条件,极值和无条件极值）；,9/47,例,:(1),函数 在点 处沿哪个方向,方向导数最大？并求方向导数最大值,.,例,1,：设,例,3,：,设,求,(2),求函数,在点,处沿到点,方向,上方向导数,10/47,例,3,：,设,求,解：,z,x,y,u,x,y,u,11/47,例,4,：设,答案：,12/47,例,5,：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定二元函数，求,整理并解得,13/47,例,6,：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定二元函数，求,整理并解得,14/47,拉格朗日乘数法：,（,1,）结构拉格朗日函数：,（,2,）联解方程组，求出,问题,1,全部可能极值点。,问题,1,：,求函数,z,=,f,(,x,y,),在约束条件,(,x,y,)=0,下极值（称为条件极值问题）。,（,3,）深入确定所求点是否为极值点，在实际问题,中往往可依据问题本身性质来判断。,（,3,）,条件极值。,15/47,例,1,：,在椭球面,上，求距离平面,最近点和最远点。,解：设,(,x,y,z,),为椭球面上任意一点,则该点到平面距离为,问题,1,：,在约束条件,下，求距离,d,最大最小值。,因为,d,中含有绝对值，为便于计算，考虑将,问题,1,转化为下面等价问题,16/47,问题,2,：,在条件,下，求函数,最大最小值。,问题,1,：,在约束条件,下，求距离,d,最大最小值。,（,1,）作拉格朗日函数,（,2,）联解方程组,17/47,（,1,）作拉格朗日函数,（,2,）联解方程组,求得两个驻点：,对应距离为,18/47,例,1,：,在椭球面,上，求距离平面,最近点和最远点。,解：,问题,1,：,在约束条件,下，求距离,d,最大最小值。,求得两个驻点：,对应距离为,（,3,）判断：因为驻点只有两个，且由题意知最近距,离和最远距离均存在。所以,最近距离为,最远距离为,19/47,三、二重积分和式极限定义、二重积分积分次序交换、,二重积分（直角坐标、极坐标）计算、三重积分（柱面,坐标）计算；,重点内容,（,1,）二重积分在直角坐标下计算；,20/47,答案：,例,1,：,计算二重积分,答案：,21/47,三、二重积分计算（直角坐标、极坐标）,重点内容,（,2,）二重积分中二次积分交换次序；,答案,:,例,2,：,试证：,22/47,解,积分区域分为两块,23/47,例,2,：,试证：,证实：画出积分区域,D,由图可知,D,又能够写成,X,型区域,24/47,（,3,）利用极坐标计算二重积分；,再依据,D,极坐标表示，将极坐标下二重积分,化为累次积分。,例,3:,计算,由直线,y=x,及曲线,所围平面区域。,25/47,（,4,）利用对称性和被积函数奇偶性计算二重积分；,在二重积分计算过程中，要注意对称性。,例,5,：计算,其中,D,由直线,y=x,y,=,1,及,x,=1,所围平面区域,26/47,解,27/47,（,5,）三重积分在直角坐标系中“先二后一”计算方法；,例,6,：,提醒：,再对,用“先二后一”方法计算，,并用对称性给出另外两项结果。,28/47,例,7,：,提醒：利用对称性、被积函数奇偶性及,“先二后一”法,（,6,）利用柱面坐标计算三重积分,例,8,：,绕,z,轴旋转一周而成曲面与平面,z,=8,所围空间立体,29/47,四、,第一、二类曲线积分，积分与路径无关、,第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。,（,1,）曲线和曲面积分基本概念和基本计算方法；,（,2,）基本公式,格林公式,高斯公式,主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分,主要作用：将曲面积分转化为三重积分,30/47,（,3,）基本应用：,格林公式和高斯公式两类经典应用题：,2.,平面曲线积分,“,封口法”和“挖洞法”。,与路径无关,在单连通区域,G,内,31/47,（,4,）基本计算技巧,1.,利用对称性；,2.,利用曲线或曲面方程化简被积函数；,3.,利用关系式,将对不一样坐标曲面积分化为同一个曲面积分；,4.,利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简,化平面曲线积分。,32/47,例,1,：,设椭球面,表面积为,a,，则,20,a,提醒：利用曲面方程及对称性,例,2,：,设,则,提醒：利用曲线方,程及对称性,0,例,3,：,提醒：利用高斯公式及,椭球体体积。,33/47,例,4,：,设,f,(,x,),在,(0,+,),上有连续导数，,L,是由点,提醒：利用积分与路径无关，并取新路径：,A,(1,2),到点,B,(2,8),直线段，计算,（,30,）,例,5,：,计算,由抛物面,与圆柱面,及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。,提醒：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标,34/47,35/47,例,6,：计算,再由坐标原点沿,x,轴到,B,(2,0),。,解：,其中，,L,为由点,A,(,1,1),沿曲线,到坐标原点，,分析：应用格林公式,补充：,36/47,五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、,幂级数收敛域，幂级数求和函数，傅里叶级数,收敛定理。,（,1,）数项级数收敛性判别,1.,正项级数,比较判别法，比值判别法，根值判别法，,收敛必要条件,几何级数、,P,级数和调和级数,2.,交织级数：,莱布尼茨定理,3.,任意项级数：,绝对收敛和条件收敛。,37/47,任意项级数,收敛性判断普通步骤：,（,1,）检验,（,3,）用正项级数审敛法检验,是否收敛？,则原级数绝对收敛，从而收敛，,（,4,）若,发散，,不过用比值或根值法判断,则原级数也发散。,是否成立？,若否，则原级数发散,若是或,难求，则进行下一步；,若是，,不然，进行下一步；,（,2,）若原级数为正项级数或交织级数，则可用正项级数,或莱布尼茨判别法检验其收敛性，不然进行下一步,（,5,）用性质或其它方法。,38/47,（,2,）幂级数收敛半径和收敛域,求幂级数,（,1,）利用极限,（,2,）判定幂级数在端点,确定收敛半径,R,及收敛区间,处收敛性，,收敛域普通步骤：,（,3,）收敛域等于收敛区间加收敛端点。,说明,（,1,）,幂级数中不能出现“缺项”。,（,2,）对幂级数,要先做变换,39/47,（,3,）求幂级数和函数,求幂级数,（,1,）利用极限,（,2,）判定幂级数在端点,确定收敛半径,R,及收敛区间,处收敛性，,收敛域普通步骤：,（,3,）收敛域等于收敛区间加收敛端点。,说明,（,1,）,幂级数中不能出现“缺项”。,（,2,）对幂级数,要先做变换,40/47,性质,3,：,幂级数,逐项积分后所得级数,和函数,s,(,x,),在收敛域,I,上可积，,并有逐项积分公式,其收敛半径与原级数相同。,（,3,）求幂级数和函数,41/47,性质,4,：,幂级数,逐项求导后所得级数,和函数,s,(,x,),在收敛区间,内可导，,并有逐项求导公式,其收敛半径与原级数相同。,说明：求和函数一定要先求收敛域。,42/47,经典例题,例,1,：若幂级数,在,x=-,2,处收敛，,则此幂级数在,x,=5,处（,）,（,A,）一定发散。（,B,）一定条件收敛。,（,C,）一定绝对收敛。（,D,）收敛性不能确定。,C,例,2,：若幂级数,收敛半径是,16,，,则幂级数,收敛半径是（）,4,43/47,例,3,：已知,收敛半径为,3,，则,收敛区间为（）,例,4,：级数,当（）,（,A,）,p,1,时条件收敛，,（,B,）,0,p,1,时绝对收敛，,（,C,）,0,p,1,时条件收敛，,（,D,）,0,p,1,时发散。,C,44/47,例,5,：求以下幂级数和函数,答案：,答案：,45/47,例,5,：求以下幂级数和函数,轻易求得,46/47,答案：,47/47,