20142017高考真题函数的概念与基本初等函数Ⅰ.docx

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
考点1 函数的概念
1.(2015·浙江，7)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　　)
A.f(sin 2x)＝sin x B.f(sin 2x)＝x2＋x C.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1|
1.D　[排除法，A中，当x1＝，x2＝－时，f(sin 2x1)＝f(sin 2x2)＝f(0)，而sin x1≠sin x2，∴A不对；B同上；C中，当x1＝－1，x2＝1时，f(x＋1)＝f(x＋1)＝f(2)，而|x1＋1|≠|x2＋1|，∴C不对，故选D.]

2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
2.C　[因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.]

3.(2014·山东，3)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. B.(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
3.C　[(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0＜x<，故所求的定义域是∪(2，＋∞).]

4.(2014·江西，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)
A.(0,1) B.[0,1] C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
4.C　[由题意可得x2－x>0，解得x>1或x<0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]

5.(2014·江西，3)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f[g(1)]＝1，则a＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.－1
5.A　[因为f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.]

6.(2014·安徽，9)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)
A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或8
6.D　[当a≥2时，f(x)＝
如图1可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－1＝3，可得a＝8；
当a<2时，f(x)＝
如图2可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.
综上可知，答案为D.]

图1　　　　　　　　　图2

7.(2014·上海，18)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　)
A.[－1,2] B.[－1,0] C.[1,2] D.[0,2]
7.D　[∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，
∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”.要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.选D.]

8.(2016·江苏，5)函数y＝的定义域是________.
8. [-3,1] [要使原函数有意义，需且仅需3-2x-x2≥0.解得-3≤x≤1.故函数定义域为[-3，1].]

9.(2015·浙江，10)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
9.0　2－3　[f(f(－3))＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号；当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为2－3.]

考点2 函数的基本性质
1.（2017•北京,5）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x ， 则f（x）（　　）
A. 是奇函数，且在R上是增函数
B. 是偶函数，且在R上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数
D. 是偶函数，且在R上是减函数
1.A 显然，函数的定义域为全体实数，f（x）=3x﹣（ ）x=3x﹣3﹣x ， ∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（ ）x为增函数，故选A．
2.（2017•新课标Ⅰ,5）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A.[﹣2，2] B.[﹣1，1] C.[0，4] D.[1，3]
2. D ∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选D.
3.（2017•山东,10）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y= +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　）
A、（0，1]∪[2 ，+∞）
B、（0，1]∪[3，+∞）
C、（0， ）∪[2 ，+∞）
D、（0， ]∪[3，+∞）
3. B 根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数，函数y= +m为增函数，
分2种情况讨论：
①当0＜m≤1时，有 ≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2 ， 1]，
函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②当m＞1时，有 ＜1，
y=（mx﹣1）2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数，
函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m为正数，则m≥3；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选B．

4.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)＝x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝(　　)
A.－2 B.－1 C.0 D.2
4.D [当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，
∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，
∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.]

5.(2015·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a
5.C[因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，
∴log25＞|－log0.53|＞0，
∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.]

6.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝|sin x| C.y＝cos x D.y＝ex－e－x
6.D　[由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.]

7.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝x＋ex B.y＝x＋ C.y＝2x＋ D.y＝
7.A　[令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]

8.(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)
A.y＝cos x B.y＝sin x C.y＝ln x D.y＝x2＋1
8.A　[由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos x是偶函数又有零点.]

9.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝(x－1)2 C.y＝2－x D.y＝log0.5(x＋1)
9.A　[显然y＝是(0，＋∞)上的增函数;y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数,在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]

10.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝x3 C.f(x)＝ D.f(x)＝3x
10.D　[根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y).又f(x)＝3x是增函数，所以D正确.]

11.(2014·山东，5)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是(　　)
A.> B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1) C.sin x>sin y D.x3>y3
11.D　[根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立.]
12.(2014·湖南，3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
12.C　[用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]

13.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
13.B　[f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选B.]

14.(2014·湖北，10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
14.B　[当x≥0时，f(x)＝，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1⇒a∈，选B.]

15.（2017•江苏,11）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
15. [-1， ] 函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为：f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤ ．
16.（2017•山东,15）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
16.①④ 对于①，f（x）=2﹣x ， 则g（x）=exf（x）= 为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x ， 则g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x3 ， 则g（x）=exf（x）=ex•x3 ， g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．
17.(2016·四川，14)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.
17.－2 [首先，f(x)是周期为2的函数，所以f(x)＝f(x＋2)；
而f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(1)＝f(－1)，f(1)＝－f(－1)，即f(1)＝0，
又f＝f＝－f，f＝4＝2，故f＝－2，从而f＋f(1)＝－2.]

18.(2016·北京，14)设函数f(x)＝
(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；
(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________.
18.(1)2　(2)(－∞，－1) [ (1)当a＝0时，f(x)＝
若x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).由f′(x)＞0得x＜－1，由f′(x)＜0得－1＜x≤0.
∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，0]上单调递减，∴f(x)最大值为f(－1)＝2.
若x＞0，f(x)＝－2x单调递减，所以f(x)＜f(0)＝0.所以f(x)最大值为2.
(2)f(x)的两个函数在无限制条件时图象如图.

由(1)知，当a≥－1时，f(x)取得最大值2.
当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值.且－2a＞2.所以a＜－1.]

19.(2015·新课标全国Ⅰ，13)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
19.1　[f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.]
20.(2014·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
20.(－1，3)　[由题可知，当－2<x<2时，f(x)>0.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1<x<3.]

21.(2014·四川,12)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[－1,1)时,
f(x)＝则f＝________.
21.1　[f＝f＝f＝－4×＋2＝1.]

考点3 二次函数与幂函数
1.(2016·全国Ⅲ，6)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)
A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b
1.A[a＝2＝，b＝3＝，c＝25＝，所以b＜a＜c.]

2.(2015·四川，9)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)
A．16 B．18 C．25 D.
2.B　[令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，当m＞2时，对称轴x0＝－，由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，
∵≤≤6，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，
当m＜2时，抛物线开口向下，由题意－≤，即2n＋m≤18，
∵≤≤9，∴mn≤，由2n＋m＝18且2n＝m，
得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.]

3.(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

3.D　[当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1，0)，排除A，因此选D.]

4．(2014·辽宁，16)对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．
4.－2　[设2a＋b＝t，则2a＝t－b，因为4a2－2ab＋4b2－c＝0，所以将2a＝t－b代入整理可得6b2－3tb＋t2－c＝0①，由Δ≥0解得－≤t≤，当|2a＋b|取最大值时t＝，代入①式得b＝，再由2a＝t－b得a＝，所以－＋＝－＋＝－＝－2≥－2，当且仅当c＝时等号成立.]

考点4 指数与指数函数
1.（2017·天津,6）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）
A、a＜b＜c
B、c＜b＜a
C、b＜a＜c
D、b＜c＜a
1.C 奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，
∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．
2.（2017•北京,8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361 ， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080 ， 则下列各数中与 最接近的是（　　）
（参考数据：lg3≈0.48）
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
2. D 由题意：M≈3361 ， N≈1080 ， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48 ， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173 ， ∴ ≈ =1093 ， 故选D．
3.(2014·辽宁，3)已知a＝，b＝log2，c＝，则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
3.C[a＝2－∈(0，1)，b＝log2∈(－∞，0)，c＝log＝log23∈(1，＋∞)，所以c>a>b.]

4.(2015·山东，14)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
4.－　[当a＞1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数，
∴方程组无解；
当0＜a＜1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为减函数，
∴解得∴a＋b＝－.]

5.(2014·上海，9)若f(x)＝－，则满足f(x)<0的x的取值范围是________.
5.(0，1)　[令y1＝x，y2＝，f(x)<0即为y1<y2，函数y1＝x，y2＝的图象如图所示，

由图象知：当0<x<1时，y1<y2，所以满足f(x)<0的x的取值范围是(0，1).]

考点5 对数与对数函数
1.（2017•新课标Ⅰ,11）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z ， 则（　　）
A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z
1. D x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x= ，y= ，z= ．
∴3y= ，2x= ，5z= ．∵ = = ， ＞ = ．∴ ＞lg ＞ ＞0．∴3y＜2x＜5z．故选D．
2. (2015·湖南，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数
2. A [易知函数定义域为(－1,1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数,又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选A.]

3.(2015·陕西，9)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)
A.q＝r＜p B.q＝r＞p C.p＝r＜q D.p＝r＞q
3.C[∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.
故p＝r＜q.选C.]

4.(2014·福建，4)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)

4.B　[因为函数y＝logax过点(3,1),所以1＝loga3,解得a＝3,所以y＝3－x不可能过点(1，3),排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1，1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.]

5.(2014·天津，4)函数f(x)＝(x2－4)的单调递增区间为(　　)
A.(0，＋∞) B.(-∞，0) C.(2，＋∞) D.(-∞，－2)
5.D　[函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增.选D.]

6.(2014·四川，9)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1,1).现有下列命题：
①f(－x)＝－f(x)；②f＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.
其中的所有正确命题的序号是(　　)
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
6.A　[f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，又当x∈(－1，1)时，∈(－1，1)，所以f＝ln＝ln＝2ln＝2f(x)，故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0，1))，因为g′(x)＝＋－2＝>0，所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.]
7.(2016·浙江,12)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝,ab＝ba,则a＝______，b＝______.
7.4　2 [设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b2①，因此ab＝ba⇒a2b＝ab2②，解得b＝2，a＝4.联立①②结合b＞1，解得b＝2，a＝4.]

8.(2015·浙江,12)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
8.　[2a＋2－a＝2log43＋2－log43＝2log2＋2log2＝＋＝.]

9.(2015·福建，14)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.
9.(1，2]　[由题意f(x)的图象如图，则

∴1＜a≤2.]

10.(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________.
10.－　[依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.]

考点6 函数与方程

1.（2017•新课标Ⅲ,11）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（    ）
A.﹣ B. C. D. 1
1. C 因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；
综上所述，a= ，故选C．

2.(2015·山东，10)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是(　　)
A. B.[0,1] C. D.[1, ＋∞)
2.C[当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，
∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f＝3×－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.]

3.(2015·天津，8)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
3.D　[记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由

解得b′＝－，－－(－4)＝，
所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点.选D.]

4.(2014·湖南，10)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
4.B　[由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以a<＝，选B.]

5.(2016·山东，15)已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
5.(3，＋∞)　[如图,当x≤m时，f(x)＝|x|;当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b,使方程f(x)＝b有三个不同的根,则m2－2m·m＋4m<|m|.
∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.

6.(2015·湖南，15)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.
6.(－∞，0)∪(1，＋∞)　[若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，
由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).]

7.(2015·安徽，15)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
7 .①③④⑤　[令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，
当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；
当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.]

8.(2015·江苏，13)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
8.4　[令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.

由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.]

9.(2015·北京，14)设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.
9.(1)－1　(2)∪[2，＋∞)[(1)当a＝1时，f(x)＝
当x<1时，2x－1>－1.
当x≥1时，且当x＝时，f(x)min＝f＝－1，∴f(x)最小值为－1.
(2)1°当a≤0时，2x－a>0，
由4(x－a)(x－2a)＝0得x＝a或x＝2a.a∉[1，＋∞)，
2a∉[1，＋∞)，
∴此时f(x)无零点.
2°当0<a<1时，若有2个零点，只须∴≤a<1.
3°当1≤a<2时，x＜1，2x＝a，x＝log2a∈[0，1)，
x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a∈[1，＋∞).
2a∈[1，＋∞)，有3个零点，不合题意.
4°当a≥2时，x<1，则2x－a<0，
x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a，2a∈[1，＋∞)，
此时恰有2个零点，综上≤a＜1或a≥2.]

考点7 函数模型及其应用
1.(2016·山东,10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)
A.y＝sinx B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x3
1.A[对函数y＝sin x求导,得y′＝cos x,当x＝0时,该点处切线l1的斜率k1＝1,当x＝π时,该点处切线l2的斜率k2＝－1,∴k1·k2＝－1,∴l1⊥l2；对函数y＝ln x求导,得y′＝恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y＝ex求导,得y′＝ex恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y＝x3,得y′＝2x2恒大于等于0,斜率之积不可能为－1.故选A.]

2.(2016·四川,5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)(　　)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
2.B[设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1＋12%)x＝200,解得x＝log1.12＝≈3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2019年.选B.]

3.(2015·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(　　)

A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
3.D　[汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10 km,消耗1升汽油.故D正确.]

4.(2014·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A. B. C