高考数学专题十八圆锥曲线综合精准培优专练文-(2).pdf
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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学培优点十八圆锥曲线综合1直线过定点例 1:已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C的离心率为22,过左焦点F且垂直于 x轴的直线交椭圆C于P,Q两点,且2 2PQ(1)求C的方程;(2)若直线l是圆228xy上的点2,2 处的切线,点M是直线l上任一点,过点M作椭圆C的切线MA,MB,切点分别为A,B,设切线的斜率都存在求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标【答案】(1)22184xy;(2)证明见解析,2,1【解析】(1)由已知,设椭圆C的方程为222210 xyabab,因为2 2PQ,不妨设点,2Pc,代入椭圆方程得22221cab
2、,又因为22cea,所以21212b,bc,所以24b,2228ab,所以C的方程为22184xy(2)依题设,得直线l的方程为22yx,即40 xy,设00,Mxy,11,A xy,22,B xy,由切线MA的斜率存在,设其方程为11yyk xx,联立1122184yyk xxxy得,2221111214280kxk ykxxykx,由相切得22221111168 2140kykxkykx,化简得221184ykxk,即22211118240 xkx y ky,因为方程只有一解,所以1111122111822x yx yxkxyy,所以切线MA的方程为11112xyyxxy,即1128x x
3、y y,同理,切线MB的方程为2228x xy y,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学又因为两切线都经过点00,Mxy,所以1 01020202828x xy yx xy y,所以直线AB的方程为0028x xy y,又004xy,所以直线AB的方程可化为002 48x xxy,即02880 xxyy,令20880 xyy,得21xy,所以直线AB恒过定点2,1 2面积问题例 2:已知椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为1F、2F,焦距为 4,直线1:blyxc与椭圆相交于A、B两点,2F关于直线1l的对称点E在椭圆上斜率为1的直线2l与线段AB相交于点P,与
4、椭圆相交于C、D两点(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD面积的取值范围【答案】(1)22184xy;(2)32 32,93【解析】(1)由椭圆焦距为4,设12,0F,22,0F,连结1EF,设12EFF,则 tanbc,又222abc,得 sinba,cosca,12122sin9012|sinsin 90F FcacebcaEFEFbcaaa,解得222abccbc,28a,所以椭圆方程为22184xy(2)设直线2l方程:+yx m,11,C x y、22,Dxy,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由22184xyyxm,得2234280 xmxm,所以12
5、21243283xxmmx x,由(1)知直线1l:yx,代入椭圆得226,633A,226,633B,得8 33AB,由直线2l与线段AB相交于点P,得446,633m,22221212124 281642282+12933mmCDxxxxx xm,而21lk与11lk,知21ll,21163+1229ACBDSABCDm,由446,633m,得232,03m,所以216 332 32+12,993m,四边形ACBD面积的取值范围32 32,933参数的值与范围例 3:已知抛物线2:20Cypx p的焦点1,0F,点1,2A在抛物线C上,过焦点F的直线l交抛物线C于M,N两点(1)求抛物线C
6、的方程以及AF 的值;(2)记抛物线C的准线与x轴交于点B,若MFFN,2240BMBN,求的值【答案】(1)24yx,2AF;(2)23【解析】(1)抛物线2:20Cypx p的焦点1,0F,12p,则 24p,抛物线方程为24yx;点1,2A在抛物线C上,122pAF(2)依题意,1,0F,设:1lxmy,设11,Mxy、22,Nxy,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学联立方程241yxxmy,消去 x,得2440ymy所以121244yymy y,且112211xmyxmy,又MFFN,则11221,1,xyxy,即12yy,代入得222414yym,消去2y得21
7、42m,1,0B,则111,BMxy,221,BNxy,则222222221122|11BMBNBMBNxyxy222212121222xxxxyy2222121212(1)(1)222mymymymyyy2221212148myym yy22421 168448164016mmmmmm,当4216401640mm,解得212m,故234弦长类问题例 4:已知椭圆22122:10 xyCabab的左右顶点是双曲线222:13xCy的顶点,且椭圆1C的上顶点到双曲线2C的渐近线的距离为32(1)求椭圆1C的方程;(2)若直线l与1C相交于1M,2M两点,与2C相交于1Q,2Q两点,且125OQO
8、Q,求12M M的取值范围【答案】(1)2213xy;(2)0,10【解析】(1)由题意可知:23a,又椭圆1C的上顶点为0,b,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学双曲线2C的渐近线为:3303yxxy,由点到直线的距离公式有:33122bb,椭圆方程2213xy(2)易知直线的斜率存在,设直线的方程为ykxm,代入2213xy,消去y并整理得:222136330kxkmxm,要与2C相交于两点,则应有:22222222130130364 1333013kkkmkmmk,设111,Qxy,222,Qxy,则有:122613kmxxk,21223313mxxk又221212
9、12121212121OQOQx xy yx xkxmkxmkx xkm xxm 又:125OQOQ,所以有:22222221133613513kmk mmkk,2219mk,将 ykxm,代入2213xy,消去y并整理得:222136330kxkmxm,要有两交点,则222222364 1333031k mkmkm 由有2109k设133,Mxy、244,Mxy有342613kmxxk,23423313mxxk,222221222364 3313113k mmkM Mkk222224 339113mkkk将2219mk 代入有222121222212144111313kkM MkM Mkkk
10、22122211213kkM Mk,令2tk,10,9t,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令23111313tttftfttt,10,9t所以0ft在10,9t内恒成立,故函数f t 在10,9t内单调递增,故1250,0,1072ftM M5存在性问题例 5:已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为11,0F,21,0F,点21,2A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为2 的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线53y上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足 PMNQ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理
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