数学物理方法 4 留数定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 留数定理,数学中的一些美丽定理具有这样,的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏的极深.数学是科学,之王.,高斯,1,学习要求与内容提要,目的与要求,：,掌握留数的概念及计算方法。,掌握,用留数定理计算典型实定积分的方,法。,重点：,难点：,理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系。,留数的计算与留数定理,2,（一）留数引入,设,为,在,l,构成区域内的一个孤立奇点,;,.,的某去心区域,(,内半径为零,),(2),取,l,0,为,去心区域,内包含,的任一条正向简单闭曲线,4.1,留数定理,l,l,0,0,1,0,1,0,),(,),(,),(,a,z,z,a,z,z,a,z,f,k,k,+,+,-,+,+,-,+,=,-,-,-,-,L,L,L,L,L,+,-,+,+,-,+,k,k,z,z,a,z,z,a,),(,),(,0,0,1,内的洛朗级数,:,在,(1),由,洛朗级数展开定理,:,在,去心区域内解析,，,可,展开洛朗级数,。,3,0,0,(,柯西定理,),L,L,L,+,-,+,+,-,+,=,-,-,-,-,l,0,l,0,k,k,z,z,z,a,z,z,z,a,d,),(,d,),(,1,0,1,0,L,L,+,-,+,+,-,+,+,z,z,z,a,z,z,z,a,z,a,k,l,0,k,l,0,l,0,d,),(,d,),(,d,0,0,1,0,1,2,-,p,=,i,a,的系数,洛朗级数中负幂项,1,0,1,),(,-,-,-,z,z,a,由柯西定理,我们有积分,各正幂项,f,k,(,z-z,0,)=,a,k,(,z-z,0,),k,是解析函数,即：,称为,称为,在有限远点,z,0,处的,留数,处的,留数,4,（二）留数定理,说明,:,Res,f,(,b,j,),：,f,(,z,),在的无心邻域,0|,z,b,j,|,R,积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点的区域的正方向）如果,f,(,z,),在,z,=,的去心邻域,R,|,z,|+,内的罗朗级数为,由逐项积分定理及公式得到,也就是说,Res,f,(),等于,f,(,z,),在的去心邻域的罗朗展开式中,1,/z,项系数的负值,.,l,20,.,.,.,.,.,.,.,证,由留数定义有,:,(,绕原点的并将,内部的正向简单闭曲线,),包含在,*.,留数和,定理,如果函数,在扩充复平面内只有有限个,孤立奇点,那末,在所有各奇点,(,包括,点,),的留数的总和必等于零,.,21,解：共有七个奇点：,前,6,个根均在内部，故由留数和定理可用求无限远奇点留数解此题。即,例,7,计算,而,故 。从而,22,4.1,1.,（,1,）（,3,）（,5,）（,7,）（,9,）,2.,（,1,）（,3,）,3.,本讲作业,23,4.2,应用留数定理计算实变函数定积分,24,留数定理计算实变函数定积分要点,：,设法,把实变函数定积分,跟,复变函数的闭合围线积分,联系起来,。,把实变定积分联系于复变函数的闭合回线积分的要点：,把,实积分,，,的积分,区间,a,b,看成复平面实轴上的一线段,l,1,。,添加路径,l,2,，使,l=l,1,+l,2,构成复平面中包围区域,B,的回路（类型二,四）。,25,实积分,解析延拓,为回路区域,B,内的复积分，而原实积分成为回路积分的一部分,(,如图,).,或,利用自变量的变换把,l,1,变换成复数平面上的闭合围线，这样就可以应用留数定理了。（类型一）,左边可以利用留数定理,，,右边对,l,2,的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常以最易完成积分的线路选择,l,2,。,26,（一）型的积分,2,方法,:,，,将自变量作这换,：,x,z,.,把,被积函数转化为复变函数。,积分区域为,0,，,2,，,如不是要先变为,0,，,2,当,历经变化,时,的,正方向绕行一周,.,z,沿单位圆周,1,特征：,有理实函数,R,（,cos,x,sin,x,）在区域,0,，,2,内连续,.,沿区间,0,，,2,的实积分变成沿单位圆的回路复积分,。,27,z,的有理函数,且在,单位圆周上分母不,为零,满足留数定理,的条件。,包围在单位圆周,内的,诸孤立奇点,。,留数定理,28,例,1,计算积分,解,则,29,为二级极点,为一级极点,30,例,2,解,在区域,0,，,2,不为零,，故被积函数在,0,，,2,连续,.,.,),1,0,(,d,cos,2,1,cos2,2,0,2,的值,计算,0,，,C,R,是以,z,=0,为圆心,，,R,为半径的位于上半平面的半圆。,约当引理：,证,：,42,由于,z,在上半平面及实轴上趋于时,，,F,(,z,),一致地趋于零，只需证,是有界,。,从而,考虑下图,：,43,由留数定理,:,44,例,4,计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,45,注意,以上两型积分中被积函数中的,R,(,x,),在实轴,上无孤立奇点,.,46,4.2,1.(1)(2)(6),2.(1)(2)(6),3.(2)(4)(6),本讲作业,47,C,R,a,-R,R,C,a,+,a,-,（四）实轴上有单极点的情况,48,49,50,例,4,计算,狄利克雷积分,分析,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点,所以可取图示路线,:,51,解,封闭曲线,l,:,由柯西,-,古萨定理得,:,由,52,53,当,充分小时,总有,ld,54,即,s,z,g,z,z,g,r,r,C,C,d,),(,d,),(,因为,.,2,d,sin,0,+,=,x,x,x,所以,55,例,5,证,如图路径,，,.,2,2,1,d,cos,d,sin,0,2,0,2,=,=,x,x,x,x,证明,2,i,z,e,设函数,（五）物理中常用典型积分,56,y=sin2,/4,y=4,/,注意：由图可得出,57,令两端实部与虚部分别相等，即有：,菲涅,耳,(,fresnel,),积分,由此，我们得到：,58,59,60,61,62,