自动控制原理_第三章控制系统的时域分析.ppt

,第,3,章 控制系统的时域响应,*,第,3,章,控制系统的时域分析,3.1,典型输入信号,3.2,线性定常系统的时域响应与性能指标,3.3,一阶系统的时域响应,3.4,二阶系统的时域响应,3.5,高阶系统的时域响应,3.6,线性定常系统的稳定性,3.7,系统的稳态误差,3.8,用,MATLAB,和,SIMULINK,进行瞬态响应分析,3.1,典型输入信号,1,阶跃函数,当,A,=1,时，阶跃函数称为,单位阶跃函数,。,2,斜坡函数（或速度函数）,斜坡函数相当于加入一按恒速变化的信号。,A,1,时，称作,单位斜坡函数,。,3,加速度函数,当,A,1,时,，,称为,单位加速度函数。,加速度函数相当于加入一按恒加速变化的信号。,脉冲宽度为 ，脉冲面积等于,A,，即。,4,脉冲函数,脉冲宽度为 ，脉冲面积等于,A,，即。,若对脉冲的宽度取趋于零的极限，则有,此脉冲函数为理想,单位脉冲函数,，记作。于是强度为,A,的脉冲函数可表示为。,单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数。,当,A=1,时，,5,正弦函数,式中,A,为振幅，为角频率，正弦函数为周期函数。,3.2,线性定常系统的时域响应与性能指标,3.2.1,线性定常系统的时域响应,为,输入信号,；,为,输出信号,；,由系统本身结构和参数决定的系数。,(3-1),对应齐次微分方程的,通解,；,对应非齐次微分方程的,一个特解,。,系统在输入信号作用下，输出随时间变化的规律，即式,(3-1),的解，就是系统的,时域响应,。,方程式的解由两部分组成,(3.2),齐次微分方程的通解由相应的特征方程的特征根决定。特征方程为,如果式,(3.3),有,n,个不相等的特征根,即 ，则齐次微分方程的通解为,(3.3),(3.4),从系统时域响应的两部分看，,稳态分量,(,特解,),是系统在时间 时系统的输出,，衡量其好坏是稳态性能指标：,稳态误差,。,系统响应的,暂态分量是指从,t,=0,开始到进入稳态之前的这一段过程,，采用动态性能指标,(,瞬态响应指标,),，如,稳定性、快速性、平稳性,等来衡量。,3.2.2,控制系统时域响应的性能指标,1,稳态性能指标,稳态响应,是时间 时系统的输出状态。稳态性能指标采用,稳态误差,来衡量，其定义为：,当时间,t,趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差,，即,稳态误差反映控制系统复现或跟踪输入信号的能力。,(3.5),2,动态性能指标,动态响应,是,系统从初始状态到接近稳态的响应过程,，即过渡过程。,通常动态性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的。,一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。,(3.6),3.3,一阶系统的时域响应,标准形式,传递函数,(3.7),3.3.1,一阶系统的单位阶跃响应,当,r,(,t,),1(,t,),，,即 时，,一阶,系统的单位阶跃响应,的拉氏变换为,对上式取拉氏反变换，得到单位阶跃响应为,(3.8),图,3.1,一阶系统的单位阶跃响应,在,t,0,处，响应曲线的切线斜率为,1/,T,一阶系统单位阶跃响应性能指标为：,调节时间,t,s,经过时间,3,T,4,T,，响应曲线已达稳态值的,95%,98%,，可以认为其调节过程已完成,故一般取,t,s,=(3,4),T,。,稳态误差,e,ss,系统的实际输出,h,(,t,),在时间,t,趋于无穷大,时，接近于输入值，即,超调量,一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故,系统无振荡、无超调，。,3.3.2,一阶系统的单位脉冲响应,当 ，即 时，有系统的,单位脉冲响应,g,(,t,),系统的闭环传递函数等于系统单位脉冲响应的拉氏变换，即,(3-9),对上式求拉氏反变换，得到单位脉冲响应为,(3.10),图,3.2,一阶系统的脉冲响应,3.3.3,线性定常系统的重要特性,比较一阶系统对阶跃和脉冲输入信号的响应，可以发现它们有如下关系：,将这个关系进行推广，可以得到结论：对于一给定的系统，如果其不同的输入信号之间有如下关系，,或,或,(3.11),则其过渡过程之间一定有关系如下的与之对应：,这个对应关系说明，,系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数,。或者反过来，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输入初始条件确定。,或,(3.12),当,，时的响应为,：,C,为积分常数，由初始条件 ，得到 。,因而一阶系统的单位速度响应为,：,3.4,二阶系统的时域响应,3.4.1,二阶系统的数学模型,闭环传递函数为,(3.13),(3.14),或,图,3.3,典型二阶系统图,系统的,特征方程,为,二阶系统的,特征根,（即闭环极点）为,(3.15),(3.16),1,欠阻尼,2,临界阻尼,3,过阻尼,4,无阻尼,3.4.2,二阶系统的单位阶跃响应,令 ，则有 ，由,式,(3.13),求得二阶系,统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换,对上式进行拉氏反变换，便得二阶系统在单位阶跃函数,作用下的过渡过程，即,(3.17),1,欠阻尼系统阶跃响应,当 时，系统有一对实部为负的,共轭复根,。这时，式,(3.17),可以展成如下的部分分式,式中,有阻尼自振角频率。,(3.18),对式,(3.18),进行拉氏反变换，得,将上式进行变换得到,(3.19),(3.20),式中 ，如图,3.4,所示。,式,(3.20),表明，,欠阻尼,(),状态对应的过渡过程，为,衰减的正弦振荡过程,，见图,3.5,。,图,3.4,角的定义,图,3.5,欠阻尼状态下系统单位阶跃响应,是欠阻尼的一种特殊情况，将其代入,(3.20),式，可直接得到,从上式可以看出，无阻尼 时二阶系统的阶跃响应是,等幅正弦振荡曲线,，振荡角频率为,(3.21),欠阻尼,下系统单位阶跃响应的性能指标如下：,(1),上升时间,在式,(3.19),中，令 ，即,因为 ，所以 。,K,取,1,(3.22),上升时间,(2),峰值时间,在式,(3.19),中，令,得到,最后得到,(3.23),(3),最大超调量,将 代入式,(3.20),中，得到输出的最大值为,代入最大超调量 公式得到,(3.24),由,(3.24),式知，只与 有关，其关系见下图所示,图,3.6,最大超调量与阻尼比的关系,(4),过渡过程时间（调节时间 ）,定义,：是过渡过程曲线进入并永远保持在规定的允许误,（或 ）范围内，进入允许误差范围所,对应的时间。,(3.25),(5),振荡次数,N,定义,：,调节时间内，输出响应波动的次数,若已知 ，由,即,求得振荡次数,N,与超调量 的关系为,(3.26),(3.27),2,临界阻尼系统单位阶跃响应,当阻尼比 时，系统的特征根为,两相等的负实根,，,此时系统在单位阶跃函数作用下，输出的拉氏变换为：,对上式进行拉氏反变换，得,(3.33),(3.34),二阶系统当阻尼比 时，在单位阶跃函数作用下的过渡过程是一条,无超调的单调上升的曲线,。,超调量,调节时间,图,3.7,临界阻尼系统阶跃响应,3,过阻尼系统单位阶跃响应,当,1,时，系统有两个,不相等的负实根,此时系统在单位阶跃函数作用下，输出的拉氏变换为：,(3.35),对,(3.35),式求拉氏反变换，得到过阻尼系统的单位阶跃,响应为：,(3.36),图,3.8,过阻尼二阶系统阶跃响应,4,二阶系统阶单位跃响应的主要特征,图,3.9,二阶系统在不同阻尼比 下的单位阶跃响应,结论：,(1),越大,，,越小,，,响应的平稳性越好,。,(2),时，系统响应迟缓，过渡过程时间长，,系统快速性差,；,过小,，响应的,起始速度快,，,但因振荡强烈，衰减缓慢,，所以,调节时间 亦长,，,快速性差,。,(3),当,0.707,时，系统的超调量 ，,最短,，即,平稳性,和,快速性,最佳，故称,0.707,为最佳阻尼比,。,(4),当,不变,时，,越大,，,就越短,，,快速性越好,。,(5),超调量 和振荡次数,N,仅仅由 决定,，它们,反应了系统的平稳性,。,(6),工程实际中，,二阶系统多数设计成 的欠阻尼情况,，且常,0.4,0.8,之间。,例,3-1,二阶系统如,图,3.3,所示，其中 ，。,当 时，求过渡过程特征量 、和,N,的数,值。,解 此时，系统响应为,单位阶跃响应,，可直接应用二,阶系统阶跃响应特征值的计算公式求取特征量。,上升时间,为,峰值时间,最大超调量,调节时间,振荡次数,N,这里，振荡次数,N0,的情况下，上述行列式的各阶主子式,i,均大于零,，即,例,3.9,系统的特征方程为,试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。,解 列出行列式,由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是：,或写成系统稳定的充分必要条件为,a,0,0,a,1,0,a,2,0,a,3,0,a,1,a,2,a,0,a,3,0,3.6.5,稳定判据的应用,应用代数判据不仅可以判断系统的稳定性，还可以用来,分析系统参数对系统稳定性的影响。,例,3.10,设单位反馈控制系统结构图如图所示，试,确定系统稳定时,K,的取值范围,解 系统的闭环传递函数,其特征方程式为,列劳斯表,按劳斯判据，要使系统稳定，应有,K,0,，且,30-,K,0,，故,K,的取值范围为,0,K,t=0,：,0.1,：,40,；,num=1,；,den=1,，,0.7,，,1,；,impulse(num,，,den,，,t),；,grid,；,title(Unit,-impulse Response of,G(s,)=1/(s2+0.7s+1),其响应结果如图所示。,例,3.16,绘制下列系统的单位脉冲响应,MATLAB,命令为,t=0,：,0.1,：,30,；,num=1,；,den=1,，,0.3,，,1,；,y,，,x,，,t=,impulse(num,，,den,，,t),plot(t,，,y),；,grid,xlabel(t,),；,ylable(y,),；,其响应结果如图所示。,3.8.2,单位阶跃响应,在,MATLAB,中可用,step(),函数计算系统的单位阶跃响应，其调用格式为,step(num,，,den),或,y,，,x,，,t=,step(num,，,den,，,t),例,3.17,绘制下列系统的单位阶跃响应,MATLAB,命令为,num=1,；,den=1,，,0.5,，,1,；,t=0,：,0.1,：,10,；,y,，,x,，,t=,step(num,，,den,，,t),；,plot(t,，,y),；,grid,；,xlabel(Time,sec t),；,ylabel(y,),响应曲线如图所示,。,3.8.3,斜坡响应,单位斜坡响应输入是单位阶跃输入的积分，当,求传递函,数为斜坡响应时,，可,先用,S,除以 得,，,再利用阶跃响,应命令即可求得斜坡响应,。,例,3.18,绘制下列系统的单位斜坡响应,对单位斜坡输入 ，则,即对 的斜坡响应对应于对 的阶跃响应。,系统单位斜坡响应的,MATLAB,命令：,num=1,；,den=1,，,0.3,，,1,，,0,；,t=0,：,0.1,：,10,；,y=,step(num,，,den,，,t),；,plot(t,，,t,，,t,，,y),；,grid,；,xlabel(Time,),；,ylabel(Input,and Output),其响应结果如下页图所示,。,例,3.18,系统的单位斜坡响应,3.8.4,任意函数作用下系统的响应,用线性仿真函数,lsim,来求取，其调用格式为,y,，,x,=,lsim(num,，,den,，,u,，,t),式中,u,为系统输入信号；,x,、,y,、,t,与前面相同。,注意,，,调用仿真函数,lsim,(),时，应给出与时间,t,向量相对应的输入向量,。,例,3-19,反馈系统如下图,(a),所示，系统输入信号为图,(b),所示的三角波，求取系统输出响应。,(a)(b),图,3.16,反馈系统及其输入信号,MATLAB,实现指令,numg,=10,，,20,；,deng,=1,，,10,，,0,；,num,，,den=,cloop(numg,，,deng,，,-1),；,v1=0,：,0.1,：,2,；,v2=1.9,：,-0.1,：,-2,；,v3=-1.9,：,0.1,：,0,；,t=0,：,0.1,：,8,；,u=v1,，,v2,，,v3,；,y,，,x=,lsim(num,，,den,，,u,，,t),；,plot(t,，,y,，,t,，,u),；,xlabel(Time,sec),；,ylabel(theta,rad,),；,grid,其响应曲线如下页图所示,。,图,3.17,系统响应曲线,