弯曲应力2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,弯曲应力,(Stresses in Beams),回顾与比较,内力,应力,F,Ay,F,S,M,梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为,弯曲正应力,与,弯曲切应力,。,M,F,S,F,S,M,s,t,Chapter5 Stresses in beams,第六章 弯曲应力,基本要求：,1,、掌握对称弯曲梁正应力的分布规律及其计算,2,、了解,横力,弯曲切应力的分布规律及其计算,3,、熟练掌握,对称,弯曲梁的强度条件及其应用,4,、,了解横力弯曲梁切应力的强度条件及其应用,本章重点：,对称曲梁的强度条件及其应用,本章难点：,对称弯曲梁正应力推导过程的理解,本章大约讲解,6,学时,6-,1,梁的纯弯曲,(,Pure bending of,beams),6-2,纯弯曲时的正应力,(Normal stresses in pure beams),6-3,横力弯曲时的正应力,(Normal,stresses in transverse bending ),6-4,梁的切应力及强度条件,(Shear stresses in beams and strength condition),第六章 弯曲应力,(Stresses in beams),6-,5,提高梁强度的主要措施,（,Measures,to strengthen the strength of beams),m,m,F,S,M,一,、,弯曲构件横截面上的应力,(Stresses in flexural members),当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩,M,，,又有剪力,F,S,.,6-,1,引言,(,Pure bending of,beams,),m,m,F,S,m,m,M,只有与正应力有关的法向内力元素,d,F,N,=,d,A,才能合成弯矩,.,弯矩,M,正应力,s,剪力,F,S,切应力,t,内力,只有与切应力有关的切向内力元素,d,F,S,=,d,A,才能合成,剪力；,所以，在梁的横截面上,一般,既有,正应力,，,又有,切应力,.,二、分析方法,(Analysis method),平面弯曲时横截面,纯弯曲梁,(,横截面上只有,M,而无,F,S,的情况,),平面弯曲时横截面,横力弯曲,(,横截面上既有,F,S,又有,M,的情况,),s,s,t,简支梁,CD,段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是,纯弯曲,.,若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为,纯弯曲,.,三、纯弯曲,（,Pure bending),+,-,F,F,+,Fa,F,F,a,a,C,D,A,B,F,纯弯曲：,梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。,工程实例,对称弯曲,构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵向对称面,X,杆轴,纵向对称面,F,1,F,2,F,A,F,B,平面弯曲,梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合,对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。,非对称弯曲,构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形,deformation,geometric,relationship,Examine the deformation,，,then propose the hypothesis,Distribution regularity,of deformation,Distribution regularity of stress,Establish the formula,变形几何关系,物理关系,静力关系,观察变形，,提出假设,变形的分布规律,应力的分布规律,建立公式,physical,relationship,static,relationship,6-,2,纯弯曲时的正应力,(Normal stresses in pure beams),一、实验,（,Experiment,）,1.,变形现象,（,Deformation phenomenon),纵向线,且靠近顶端的纵向线缩短，,靠近底端的纵向线段伸长,.,相对转过了一个角度，,仍与变形后的纵向弧线垂直,.,各横向线仍保持为直线，,各纵向线段弯成弧线，,横向线,2.,提出假设,(Assumptions,）,（,a,）,平面假设：变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面且垂直于变形,后的梁轴线；,（,b,）,单向受力假设：纵向纤维不相互挤,压，只受单向拉压,.,推论：,必有一层变形前后长度不变的纤维,中性层,中性轴,横截面对称轴,中性轴,横截面对称轴,中性层,弯曲中,梁的,中性层,neutral surface,既不伸长又不缩短的纵面,截面的,中性轴,neutral axis,中性层与横截面的交线,d,x,图（,b,）,y,z,x,O,应变分布规律：,直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比,.,图（,a,）,d,x,二、变形几何关系,（,Deformation geometric relation,）,图（,c,）,y,z,y,x,O,O,b,b,y,b,b,O,O,三、物理关系,(,Physical relationship),所以,胡克定律,M,y,z,O,x,直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比,.,应力分布规律：,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径,r,?,?,y,z,x,O,M,d,A,z,y,d,A,四、静力关系,(Static relationship,）,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，,这一力系简化得到三个内力分量,.,F,N,M,z,M,y,内力与外力相平衡可得,（1）,（2）,（,3,）,将应力表达式代入（,1,）式，得,将应力表达式代入（,2,）式，得,将应力表达式代入,(3),式，得,中性轴通过横截面形心,自然满足,称为截面的抗弯刚度,将,代入,得到,纯弯曲,时横截面上正应力的,计算公式,:,M,为梁横截面上的弯矩；,y,为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；,I,z,为梁横截面对中性轴的惯性矩,.,实验力学,验证,、,弹性力学,印证,了公式的精确性。非常成功！,横截面上各点的正应力,s,的大小,与该点到中性轴的距离,y,成正比。,讨论,（,1,）应用公式时，一般将,M,、,y,以绝对值代入,.,根据梁变形的情况直接判断,的正负号,.,以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力,(,为正号,).,凹入边的应力为压应力,（,为负号,）；,（,2,）,最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处,.,（,3,）在以上讨论中，为了方便，把梁截面画成矩形，但推导过,程中并未用过矩形的几何特性，所以，公式适用于梁有纵向对称面，且载荷作用于这一平面内的所有情况。亦即适用于,对称纯弯曲,的所有情况。,则公式改写为,引用记号,抗弯截面系数,仅与截面的形状及尺寸有关,线弹性范围,正应力小于比例极限,p,；,精确适用于纯弯曲梁；,横力弯曲,对于横力弯曲的细长梁,(,跨度与截面高度比,L/h5),，上述公式的误差不大，但公式中的,M,应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。,公式 适用范围：,1,）当中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,b,h,z,y,z,d,y,z,D,d,y,z,y,2,）对于中性轴不是对称轴的横截面,M,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离,和 直接代入公式,结论：,s,=,My,/,I,z,分析结果汇总：,变形几何关系：,e,=,y,/,r,物理关系：,s,=,E,e,=,E,y,/,r,中性轴上，,s,=,0,，截面上、下缘，,s,=,s,。,max,静力平衡条件：,中性轴,z,过截面形心,A,ydA=,0,I,z,-,截面对,z,轴的惯性矩。,EI,z,-,截面抗弯刚度。,1/,r,=,M,/,EI,z,梁的曲率,当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力,.,梁在此种情况下的弯曲称为,横力弯曲,.,6-,3,横力弯曲时的正应力,(,Normal stresses of the beam in,nonuniform,bending),横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力,.,切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立,.,一、横力弯曲,(,Nonuniform,bending),虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表,明，,工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的,计算横力弯曲时横截面上的正应力,.,等直梁,横力弯曲时横截面上的正应力公式为,二、公式的应用范围,(The applicable range of the flexure formula),1.,在弹性范围内,(All stresses in the beam are below the proportional limit),3.,平面弯曲,（,Plane bending,）,4.,直梁,（,Straight beams,）,2.,具有切应力的梁,（,The beam with the shear stress,）,三、强度条件,（,Strength condition),1.,数学表达式,（,Mathematical formula),梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力,.,对等截面梁：,2.,强度条件的应用,(Application of strength condition),（,2,）设计截面,（,3,）确定许可载荷,（,1,）强度校核,对于铸铁等,脆性材料,制成的梁,，由于材料的,且梁横截面的,中性轴,一般也不是对称轴，所以梁的,（两者有时并不发生在同一横截面上）,要求分别不超过材料的,许用拉应力和许用压应力,小结：,梁的正应力强度条件,对梁的某一截面：,对全梁（等截面）：,1.,弯矩最大的截面上,危险截面,2.,离中性轴最远处,危险点,4.,脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,3.,变截面梁要综合考虑 与,1.,承受相同弯矩,M,z,的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（,a,）的截面为一整体；图（,b,）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（,c,）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为,max,（,a,）、,max,（,b,）、,max,（,c,）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。,(a),(b),(c),z,z,z,z,B,提问？,例题,1,螺栓压板夹紧装置如图所示,.,已知板长,3,a,150mm,，,压板材料的弯曲许用应力,s,140MP.,试计算压板传给工件的最大允许压紧力,F,.,A,C,B,F,a,2,a,20,30,14,F,R,A,F,R,B,+,Fa,解：（,1,）作出弯矩图的最大弯矩为,Fa,；,（,2,）求惯性矩，抗弯截面系数,（,3,）求许可载荷,80,y,1,y,2,20,20,120,z,例题,2 T,形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示,.,铸铁的许用拉应力为,t,=30MPa,，,许用压应力为,c,=160MPa.,已知截面对形心轴,z,的惯性矩为,I,z,=763cm,4,，,y,1,=52mm,，,校核梁的强度,.,F,1,=9kN,F,2,=4kN,A,C,B,D,1m,1m,1m,F,R,A,F,R,B,F,1,=9kN,F,2,=4kN,A,C,B,D,1m,1m,1m,-,+,4kN,2.5kN,解：,最大正弯矩在截面,C,上,最大负弯矩在截面,B,上,B,截面,C,截面,80,y,1,y,2,20,20,120,z,例题,3,由,n,片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于 ，求梁上的最大正应力,z,b,F,l,h,解：每一薄片中的最大正应力,z,b,F,l,h,若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲,最大正应力等于,一、梁横截面上的切应力,（,Shear stresses in beams,）,1.,矩形截面梁,(Beam of rectangular cross section),6-,4,梁的切应力及强度条件,（,1,）,两个假设,(Two assumptions),（,a,）,切应力与剪力平行；,（,b,）,切应力沿截面宽度均匀分布,（距中性轴等距离处切应力相等）,.,q,(,x,),F,1,F,2,以矩形截面梁为例研究梁的弯曲切应力,弹性力学指出：,对于,hb,的矩形截面上述假定足够准确,剩下的问题是：沿高度方向切应力如何分布？,（,2,）,分析方法,(Analysis method),（,a,）,用横截面,m,-,m,n,-,n,从梁中截取,d,x,一段,.,两横截面上的弯矩不等,.,所以两截面同一,y,处的正应力也不等；,（,b,）,假想地从梁段上截出体积元素,mB,1,，,在两端面,mA,1,，,nB,1,上两个法向 内力不等,.,q,(,x,),F,1,F,2,m,m,n,n,x,d,x,m,n,n,m,x,y,z,O,b,d,x,m,m,h,n,y,A,B,A,1,B,1,A,B,B,1,A,1,m,n,x,z,y,y,m,F,N2,F,N1,m,n,n,m,x,y,z,O,y,A,B,A,1,B,1,b,d,x,m,m,h,n,（,c,）,在纵截面上必有沿,x,方向的切向内力,d,F,S,.,故在此面上就有切应力,.,根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等,.,各点的切应力方向均与截面侧边平行,.,取分离体的平衡即可求出,.,A,B,B,1,A,1,m,n,x,z,y,y,F,N1,F,N2,d,F,S,m,A,B,B,1,A,1,m,n,x,z,y,y,m,F,N1,F,N2,d,F,S,（,3,）,公式推导,(Derivation of the formula),假设,m,-,m,，,n,-,n,上的弯矩为,M,和,M,+,d,M,，,两截面上距中性轴,y,1,处的正应力为,1,和,2,.,A,1,为距中性轴为,y,的横线以外部分的横截面面积,.,式中：,为面积,A,1,对中性轴的静矩,.,A,1,化简后得,由平衡方程,A,1,A,B,B,1,A,1,m,n,x,z,y,y,m,F,N2,F,N1,d,F,S,b,矩型截面的宽度,.,y,z,整个横截面对中性轴的惯性矩,.,距中性轴为,y,的横线,以外部分,横,截面面积对中性轴的静矩,.,（,4,）,切应力沿截面高度的变化规律,(The shear-stress distribution on the rectangular cross section),沿截面高度的变化由静矩 与,y,之间的关系确定,.,y,1,n,B,m,A,x,y,z,O,y,A,1,B,1,m,1,可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化,.,z,max,y,=,h,/2,（,即在横截面上距中性轴最远处）,t,=0,y=,0,（,即在中性轴上各点处），切应力达到最大值,式中，,A=,bh,为矩形截面的面积,.,z,截面静矩的计算方法,A,为截面面积,为截面的形心坐标,A,1,2.,工字形截面梁,（工,-section beam),假设求应力的点到中性轴的距离为,y,.,研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为,H,o,y,x,b,z,h,d,腹,板的厚度,O,z,y,d,x,y,距中性轴为,y,的横线以外部分的横截,面面积,A,对中性轴的静矩,.,t,min,o,z,y,t,max,max,（,a,）,腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；,（,b,）,最大切应力也在中性轴上,.,这也是整个横截面上的最大切应力,.,t,min,t,max,式中,:,中性轴任一边的半个横截面面积对,中性轴的静矩,.,y,d,z,O,假设：,（,a,）,沿宽度,k,-,k,上各点处的切应力,均汇交于,O,点；,（,b,）,各点处切应力沿,y,方向的分量沿,宽度相等,.,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切,.,3.,圆截面梁,(Beam of circular cross section),O,z,y,t,max,最大切应力发生在中性轴上,y,d,z,O,式中,为圆截面的面积,.,4.,圆环形截面梁,(Circular pipe beam),图示为一段薄壁环形截面梁,.,环壁厚度为,，环的平均半径为,r,0,，,由于,r,0,故可假设,（,a,）,横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；,（,b,）,切应力的方向与圆周相切,.,z,y,r,0,式中,A,=2,r,0,为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为,z,y,r,0,二、强度条件,（,Strength condition,）,三、需要校核切应力的几种特殊情况,（,1,）梁的跨度较短，,M,较小，而,F,S,较大时,要校核切应力；,（,2,）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢,的相应比值时，要校核切应力；,（,3,）,各向异性材料,(,如木材,),的抗剪能力较差，,要校核切应力,.,max,（,4,）薄壁截面梁,小结：,梁的切应力强度条件,最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；,最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；,F,例题,4,一简易起重设备如图所示,.,起重量,(,包含电葫芦自重,),F,=30,kN,.,跨长,l,=5 m.,吊车大梁,AB,由,20a,工字钢制成,.,其许用弯曲正应力,=170MPa,许用弯曲切应力,=100MPa,，,试校核梁的强度,.,+,37.5,kN,m,5m,A,B,2.5m,F,C,解：此吊车梁可简化为简支梁，力,F,在梁中间位置时有最大正应力,.,（,a,）,正应力强度校核,由型钢表查得,20a,工字钢的,所以梁的最大正应力为,+,F,Smax,5m,A,B,F,C,（,b,）,切应力强度校核,在计算最大切应力时，应取荷载,F,在紧靠任一支座例如支座,A,处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大,.,查型钢表中，,20a,号工字钢，有,d,=7mm,据此校核梁的切应力强度,以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的,.,例题,5,简支梁,AB,如图所示,.,l,2m,，,a,0.2m.,梁上的载荷为,q,为,10kN/m,，,F,200kN.,材料的许用应力为,=160MPa,，,100MPa,，,试选择工字钢型号,.,解：（,1,）计算支反力做内力图,.,q,B,A,C,D,E,l,F,F,a,a,8kN,210kN,208kN,41.8,kN,m,41.8,kN,m,45,kN,m,（,2,）根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表，选用,22a,工字钢，其,W,z,309cm,3,F,R,A,F,R,B,（,3,）校核梁的切应力,腹板厚度,d,=0.75cm,，,由剪力图知最大剪力为,210kN,查表得,max,超过,t,很多，应重新选择更大的截面,.,现已,25b,工字钢进行试算,查表得,d,=1cm,所以应选用型号为,25b,的工字钢,.,例题,6,对于图中的吊车大梁，现因移动荷载,F,增加为,50kN,，,故在,20a,号工字钢梁的中段用两块横截面为,120mm,10mm,而长度,2.2mm,的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示,.,已知许用弯曲正应力,=152MPa,，,许用切应力,=95MPa.,试校核此梁的强度,.,2.2m,200,z,220,120,10,解：加强后的梁是阶梯状变截面梁,.,所以要校核,（,3,）,F,移至未加强的梁段在截面变化处的正应力,.,（,2,）,F,靠近支座时,支座截面上的,切应力；,（,1,）,F,位于跨中时跨中截面,上的弯曲正应力；,（,1,）校核,F,位于跨中截面时的弯曲正应力,查表得,20a,工字钢,62.5kN,m,2.2m,F,1.41m,2.5m,5m,A,B,C,D,1.4m,F,R,B,F,R,A,最大弯,矩值为,跨中截面对中性轴的惯性矩为,200,z,220,120,10,略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩,.,抗弯截面系数,（,2,）校核突变截面处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度,.,2.2m,F,1.41m,2.5m,5m,A,B,C,D,1.4m,F,R,B,F,R,A,50.4,kN,m,该截面上的最大弯矩为,从型钢表中查得,20a,工字钢,梁不能满足正应力强度条件,.,为此应将加强板适当延长,.,（,3,）校核阶梯梁的切应力,F,靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置,请同学们自行完成计算,.,6-,5,提高梁强度的主要措施,（,Measures to strengthen the strength of beams),一、降低梁的最大弯矩值,1.,合理地布置梁的荷载,按强度要求设计梁时,，,主要是依据梁的正应力强度条件,F,l,Fl,/4,Fl,/8,F,l,/4,l,/4,l,/2,2.,合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动,a,=0.207,l,时，最大弯矩减小,.,a,a,l,q,0.0214,ql,2,l,q,ql,2,/2,二、增大,W,z,1.,合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,z,D,z,a,a,a,1,2,a,1,z,工字形截面与框形截面类似,.,0.8,a,2,a,2,1.6,a,2,2,a,2,z,2.,合理的放置,F,b,h,b,h,2.,对于脆性材料制成的梁,宜采用,T,字形等对中性轴不对称的截,面且将翼缘置于受拉侧,.,三、根据材料特性选择截面形状,1.,对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面,.,z,y,1,y,2,s,cmax,s,tmax,要使,y,1,/,y,2,接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,四、采用等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用,应力，则称为等强度梁,.,例如，宽度,b,保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律,h,(,x,),，,可按正应力强度条件求得,.,b,h,(,x,),z,F,l,/2,l,/2,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度,求得,b,h,(,x,),z,F,l,/2,l,/2,按上,确定的梁的外形,，,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁,.,F,等强度梁,2.,悬臂梁由两根槽钢背靠背,(,两者之间未作任何固定连接,),叠加起来放置,构成如图示,.,在载荷作用下,横截面上的正应力分布如图,_,所示,.,F,I-I,剖面,(A),(B),(C),(D),z,z,D,3.,在图示十字形截面上,剪力为,F,s,欲求,m-m,线上的切,应力,则公式中,_ .,A,、为截面的阴影部分对 轴的静矩，；,B,、为截面的阴影部分对 轴的静矩，；,C,、为截面的阴影部分对 轴的静矩，；,D,、为截面的阴影部分对 轴的静矩，；,D,4.,若对称弯曲直梁的弯曲刚度,EI,沿杆轴为常量,其变形后梁轴,_.,A,、为圆弧线，且长度不变。,B,、为圆弧线，而长度改变。,C,、不为圆弧线，但长度不变。,D,、不为圆弧线，且长度改变。,A,本章作业,6-2,，,6-10,6-13,，,6-15,6-19,6-23,