数学知识的理解与教学章建跃.pptx
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1、数学知识的理解和教学数学知识的理解和教学人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一、教师专业发展的三大基石一、教师专业发展的三大基石理解数学,理解学生,理解教学。理解数学,理解学生,理解教学。“三个理解三个理解”的内涵:掌握丰富的数学学的内涵:掌握丰富的数学学科知识;中科知识;中小学小学数学课程结构体系、教学数学课程结构体系、教学重点的知识;学生数学学习难点的知识;重点的知识;学生数学学习难点的知识;关于重点知识的教学解释的知识;关于评关于重点知识的教学解释的知识;关于评估学生的知识理解水平的知识;等。估学生的知识理解水平的知识;等。特别特别是,是,“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学
2、思想方法”的理解的理解水平水平决定了教学所能达到的水平和决定了教学所能达到的水平和效果。效果。例例1 1 数系扩充的基本思想是什么数系扩充的基本思想是什么数学推广过程的一个重要特性数学推广过程的一个重要特性是:是:使得在使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。然成立。数系的扩充:引入一种新的数,就要定义数系的扩充:引入一种新的数,就要定义其运算;定义一种运算,就要研究其运算其运算;定义一种运算,就要研究其运算律。律。扩充的基本原则是:扩充的基本原则是:使算术运算的运算律使算术运算的运算律保持不变保持不变。为什么说在有为什么说在有理数乘法法则理数乘法
3、法则的教材设计中,的教材设计中,渗透了数系扩渗透了数系扩充的基本思想充的基本思想原有数系原有数系的运算和运算的运算和运算律保持不变?律保持不变?例2 等式、不等式的基本性质的本质是什么?等式两边同加(减、乘、除)同一个数等式两边同加(减、乘、除)同一个数(式),等式不变;(式),等式不变;不等式两边同加(减、乘、除)同一个数不等式两边同加(减、乘、除)同一个数(式),不等式不变;(式),不等式不变;它们的共同点是什么?它们的共同点是什么?二、功利化环境下数学教育的问题二、功利化环境下数学教育的问题应试占据主导地位的数学教育,注重考试应试占据主导地位的数学教育,注重考试分数、升学率等眼前利益,忽
4、视理性精神、分数、升学率等眼前利益,忽视理性精神、数学能力等长期利益,已经变成了数学能力等长期利益,已经变成了“唯分唯分数数”的功利化教育,违背了德育为先、能的功利化教育,违背了德育为先、能力为重、全面发展的要求。力为重、全面发展的要求。具体表现具体表现数学教学数学教学“不自然不自然”,强加于人,压抑了学生的,强加于人,压抑了学生的数学学习兴趣;数学学习兴趣;缺乏问题意识,不利于创新精神和实践能力的缺乏问题意识,不利于创新精神和实践能力的培养;培养;不善于甚至不重视基本概念、数学思想方法的不善于甚至不重视基本概念、数学思想方法的教学,缺少必须的抽象、概括活动,不利于学教学,缺少必须的抽象、概括
5、活动,不利于学生数学素养的提高;生数学素养的提高;重结果轻过程,概念教学搞重结果轻过程,概念教学搞“一个定义,三项一个定义,三项注意注意”,缺少一以贯之的逻辑思考和数学推理,缺少一以贯之的逻辑思考和数学推理活动,损害数学思维过程的完整性,不利于数活动,损害数学思维过程的完整性,不利于数学思维能力的学思维能力的培养培养;解题教学注重解题教学注重“题型题型+技巧技巧”,学生机械重复、,学生机械重复、模仿记忆,缺少独立思考的机会,数学思模仿记忆,缺少独立思考的机会,数学思维发展迟缓,并导致学生数学课业维发展迟缓,并导致学生数学课业负担过负担过重重;学生学习方法单一、被动,缺少归纳、抽学生学习方法单一
6、、被动,缺少归纳、抽象等活动,对培养学习习惯、数学能力、象等活动,对培养学习习惯、数学能力、数学素养以及创新精神等不利。数学素养以及创新精神等不利。三、三、课堂教学课堂教学的高的高立意立意与低起点与低起点立意不高立意不高许多教师的许多教师的“匠气匠气”太浓,太浓,“题型题型+技巧技巧”的教学的教学,弥漫着,弥漫着“功利功利”,缺少思想、精神的追求。缺少思想、精神的追求。数学的数学的“育人育人”功能如何体现?功能如何体现?挖掘挖掘数学知识蕴含的价值观资源,在教学中将数学知识蕴含的价值观资源,在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。知识教学与价值观影响融为一体。关键:提高思想性。关键:提高思想性。
7、“技术技术”:加强:加强“先行组织者先行组织者”的使用。的使用。例例3 体现几何研究体现几何研究“基本套路基本套路”的的四边形四边形起始课起始课从具体事例中抽象出从具体事例中抽象出“基本图形基本图形”后按照如下后按照如下“套路套路”展开:展开:定义定义表示表示分类分类性质(判定)性质(判定)特例特例什么叫性质?从哪几个方面研究性质?具体切什么叫性质?从哪几个方面研究性质?具体切入点在哪里?入点在哪里?一类数学对象的共性就是性质,变化中的不变一类数学对象的共性就是性质,变化中的不变性、规律性就是性质;性、规律性就是性质;几何要素以及相关要素之间的位置关系、度量几何要素以及相关要素之间的位置关系、
8、度量关系。关系。先先概括三角形中研究的问题、线索概括三角形中研究的问题、线索和基本和基本方法:定义(组成元素、分类)方法:定义(组成元素、分类)三角形三角形的性质(变化中的不变性、规律性,从度的性质(变化中的不变性、规律性,从度量量关系关系和位置关系入手)和位置关系入手)三角形的全等三角形的全等(确定三角形的条件)(确定三角形的条件)特殊三角形的研特殊三角形的研究(究(角特殊角特殊直角三角形、直角三角形、边特殊边特殊等腰等腰三角形三角形,性质、判定)性质、判定)相似三角形(性相似三角形(性质、判定)质、判定)目的:给学生一个类比对象,使他们知道目的:给学生一个类比对象,使他们知道研究的研究的“
9、基本套路基本套路”。再提出问题:你能再提出问题:你能类比类比给出给出“四边形四边形”研究的问研究的问题、线索和方法题、线索和方法吗?吗?一般四边形:组成元素、度量(内角和、外角和);一般四边形:组成元素、度量(内角和、外角和);特殊四边形:从边的特殊性和角的特殊性入手;特殊四边形:从边的特殊性和角的特殊性入手;边的特殊性边的特殊性平行四边形:性质和判定;平行四边形:性质和判定;“性性质质”研究的是在研究的是在“平行四边形平行四边形”的条件下,它的的条件下,它的组成元素有什么普遍规律,如边的大小关系、内组成元素有什么普遍规律,如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等;角的关系、对角线的关系等;
10、“判定判定”研究的是研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形;其他度具备什么条件的四边形才是平行四边形;其他度量问题;量问题;特殊的平行四边形:角的特殊特殊的平行四边形:角的特殊矩形,矩形,边的特殊边的特殊菱形,边角都特殊菱形,边角都特殊正方正方形,都要研究性质和判定。形,都要研究性质和判定。研究的方法:化归为三角形、平行线的性研究的方法:化归为三角形、平行线的性质等已有知识;质等已有知识;特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识:矩形角形的知识:矩形直角三角形;菱形直角三角形;菱形等腰三角形;等腰三角形;梯形梯形这段教材有什么问题这段教材有什么问题
11、?这一段教材的问题这一段教材的问题片面理解片面理解“学生的现实学生的现实”,只讲,只讲“生活的现实生活的现实”,忽视,忽视“数学的现实数学的现实”;违背数学的基本精神违背数学的基本精神简单问题复杂化;简单问题复杂化;丧失培养学生丧失培养学生“发现和提出问题能力发现和提出问题能力”的机会;的机会;破坏数学的内在逻辑,使学生失去逻辑推理训练破坏数学的内在逻辑,使学生失去逻辑推理训练的机会,削弱数学的育人功能;的机会,削弱数学的育人功能;人为编造情境,不仅造成理解困难,而且使学生人为编造情境,不仅造成理解困难,而且使学生产生对数学的不良感受;产生对数学的不良感受;误导师生误导师生以为这就是数学的探究
12、过程;以为这就是数学的探究过程;新版教材做出的调整新版教材做出的调整平行四边形的性质的教学过程平行四边形的性质的教学过程“试验试验+论论证证”,注意从定义出发,强调,注意从定义出发,强调“对平行四边形对平行四边形的几何要素和相关要素的位置关系、大小度量的几何要素和相关要素的位置关系、大小度量的研究的研究”;平行四边形的判定的教学过程平行四边形的判定的教学过程“试验试验+猜猜想想+论证论证”,注意利用判定与性质的关系,从,注意利用判定与性质的关系,从性质直接猜想判定,再加以论证;性质直接猜想判定,再加以论证;菱形的教学过程菱形的教学过程从定义出发,研究特殊的从定义出发,研究特殊的平行四边形平行四
13、边形“特在什么地方特在什么地方”,“猜想猜想+论证论证”。例4 体现代数研究基本套路的乘法公式教学代数研究的基本套路:代数研究的基本套路:背景(实际需要、数学概念发展的需要)背景(实际需要、数学概念发展的需要)定义定义分类(如数的分类、代数式分类(如数的分类、代数式的分类、方程的分类、数列的分类、函数的分类、方程的分类、数列的分类、函数的分类等)的分类等)运算法则、运算律运算法则、运算律性性质质特例特例乘法公式的理解及教学设计乘法公式的理解及教学设计多项式运算就是含有字母符号的算式之间多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算(字母代表数,数满足运算律,所的运算(字母代表数,数满足运算律,所以
14、字母也满足运算律);以字母也满足运算律);两个多项式的乘积就是用分配律把它归于两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算,单项式的乘积单项式的乘积之和来计算,单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算计算运算法则;运算法则;乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题,乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题,是一个模式。是一个模式。乘法公式蕴含的思想方法乘法公式蕴含的思想方法乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例特例”的考察,寻找一个模式:的考察,寻找一个模式:在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+b
15、d中,字母中,字母a,b,c,d有某些特殊关系时的特殊形式,即有某些特殊关系时的特殊形式,即(1)c=a,d=b时时为为平方差公式;平方差公式;(2)c=a,d=b时时为为完全平方和公式;等。完全平方和公式;等。从一般到特殊,归纳的思想,从一般到特殊,归纳的思想,“考察特例考察特例”是数学研究的是数学研究的“基本套路基本套路”。教学过程设计教学过程设计1复习与引入复习与引入问题问题1 前面我们学习了单项式、多项式的前面我们学习了单项式、多项式的乘法,你能说说运算法则吗?这些运算的乘法,你能说说运算法则吗?这些运算的依据是什么?依据是什么?设计意图:回顾运算法则,强化设计意图:回顾运算法则,强化
16、“用运算用运算律计算律计算”的意识。的意识。先行组织者:先行组织者:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中,中,a,b,c,d可以是数、式或别的什么。数学可以是数、式或别的什么。数学中,经常要通过考察特殊情况来获得对问中,经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识,例如在两条直线的位置题的进一步认识,例如在两条直线的位置关系中,我们特别研究了平行、垂直两种关系中,我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系,得到了一些有用特殊的位置关系,得到了一些有用的的结论。结论。类似的,在多项式乘法中,也有一些特殊类似的,在多项式乘法中,也有一些特殊情形值得研究。情形值得研究。2公式的探究公式的
17、探究问题问题2(x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结可以利用公式直接写出结果。它是果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x时的特例。在时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中,你认为还有哪中,你认为还有哪些特殊情形?你能得到什么?些特殊情形?你能得到什么?设计意图:通过设计意图:通过“先行组织者先行组织者”,渗透从,渗透从一般到特殊,考察特例,深入认识数学对一般到特殊,考察特例,深入认识数学对象的方法;在让学生自主活动之前,先指象的方法;在让学生自主活动之前,先指出已有特例出已有特例(x+b)(x+d),使学生有一个类比,使学生有一个类比对象,明确思考方向。对象,明确思
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