离散数学试题及解答.doc

离散数学
2^m*n
一、 选择题（2*10）
1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（ ）。
（A）P→Q （B）P∨Q
（C）P∧Q （D）P∧Q
2．下列命题公式为永真蕴含式的是（ ）。
（A）Q→（P∧Q） （B）P→（P∧Q）
（C）（P∧Q）→P （D）（P∨Q）→Q
3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死的”的否定是（ ）。
（A）所有人都不是大学生，有些人不会死
（B）所有人不都是大学生，所有人都不会死
（C）存在一些人不是大学生，有些人不会死
（D）所有人都不是大学生，所有人都不会死
4、永真式的否定是（ ）。
（A）永真式　（B）永假式　 （C）可满足式 （D）以上均有可能
5、以下选项中正确的是（ ）。
（A）0= Ø　 （B）0 Ø　 （C）0∈Ø （D）0∉Ø
6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（ ）
（A）自反性 （B）有限性 （C）对称性 （D）传递性
7、集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y∈A}，则R的性质为（ ）。
（A）自反的 （B）对称的
（C）传递的，对称的 （D）传递的
8．设D=<V, E>为有向图，V={a, b, c, d, e, f}, E={<a, b>, <b, c>, <a, d>, <d, e>, <f, e>}是（ ）。
（A）强连通图 （B）单向连通图
（C）弱连通图 （D）不连通图
9、具有6个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由（ ）条边围成？
（A）2　　 （B）4 （C）3　 　（D）5
10．连通图G是一棵树，当且仅当G中（ ）。
（A）有些边不是割边 （B）每条边都是割边
（C）无割边集 （D）每条边都不是割边
二、 填空题（2*10）
1、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是________。
2、设全体域D是正整数集合，则命题"x$y(xy=y)的真值是______。
3、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为________。
4、公式(PQ)(PQ)化简为________。
5、设A∩B=A∩C，∩B=∩C，则B________C。
6、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是________，零元是________。
7、任一有向图中，度数为奇数的结点有________(奇数/偶数)个。
8．如下无向图割点是________，割边是________。

三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AÌBÞØ(BÌA)。

。四、（15分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？
(1)若A去，则C和D中要去1个人；
(2)B和C不能都去；
(3)若C去，则D留下

五、（15分）设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：
B
C
A
B
C
A
B
C
A

六、（20分）画一个图使它分别满足：
（1）有欧拉回路和哈密尔顿回路；
（2）有欧拉回路，但无条哈密尔顿回路；
（3）无欧拉回路，但有哈密尔顿回路；
（4）既无欧拉回路，又无哈密尔顿回路。

答案：
一、 选择题：
1、D 2、C 3、A 4、B 5、D
6、B 7、B 8、C 9、C 10、B
二、填空：
1、2不是偶数且-3不是负数
2、F
3、"x(R(x)Q(x))
4、P
5、等于
6、2，6
7、偶数
8、d，e5
三、证明：
AÌBÛ"x(x∈A→x∈B)∧$x(x∈B∧xÏA)Û"x(xÏA∨x∈B)∧$x(x∈B∧xÏA)
ÛØ$x(x∈A∧xÏB)∧Ø"x(xÏB∨x∈A)ÞØ$x(x∈A∧xÏB)∨Ø"x(x∈A∨xÏB)
ÛØ($x(x∈A∧xÏB)∧"x(x∈A∨xÏB))ÛØ($x(x∈A∧xÏB)∧"x(x∈B→x∈A))
ÛØ(BÌA)。
四、解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：A®CÅD，Ø(B∧C)，C®ØD必须同时成立。因此
(A®CÅD)∧Ø(B∧C)∧(C®ØD)
Û(ØA∨(C∧Ø D)∨(ØC∧D))∧(ØB∨ØC)∧(ØC∨ØD)
Û(ØA∨(C∧Ø D)∨(ØC∧D))∧((ØB∧ØC)∨(ØB∧ØD)∨ØC∨(ØC∧ØD))
Û(ØA∧ØB∧ØC)∨(ØA∧ØB∧ØD)∨(ØA∧ØC)∨(ØA∧ØC∧ØD)
∨(C∧Ø D∧ØB∧ØC)∨(C∧Ø D∧ØB∧ØD)∨(C∧Ø D∧ØC)∨(C∧Ø D∧ØC∧ØD)
∨(ØC∧D∧ØB∧ØC)∨(ØC∧D∧ØB∧ØD)∨(ØC∧D∧ØC)∨(ØC∧D∧ØC∧ØD)
ÛF∨F∨(ØA∧ØC)∨F∨F∨(C∧Ø D∧ØB)∨F∨F∨(ØC∧D∧ØB)∨F∨(ØC∧D)∨F
Û(ØA∧ØC)∨(ØB∧C∧Ø D)∨(ØC∧D∧ØB)∨(ØC∧D)
Û(ØA∧ØC)∨(ØB∧C∧Ø D)∨(ØC∧D)
ÛT
故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
五、
（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};MR=;它是反自反的、反对称的、传递的；
（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};MR=;它是反自反的、对称的；
（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};MR=;它既不是自反的、反自反的、也不是对称的、反对称的、传递的。
六、