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高等数学无穷级数-PPT.pptx
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1、高等数学无穷级数一、常一、常数数项级数及其数及其敛散性散性 1、常数常数常数常数项项级数得概念数得概念定定义1 设给定一个数列定一个数列 则表达式表达式 (11 (11、1)1)称为常数常数项无无穷级数数,简称数数项级数数,记作 即 其中第其中第n 项 称称为一般一般项或通或通项、第一第一节 常数常数项级数及其数及其敛散性散性例如,级数 得一般项为又如级数得一般项为 简言之,数列得与式称为级数、数、定定义2 设级数得前前项之与之与为 称Sn为级数得前前项部分与部分与、当依次取1,2,3,时,新得数列新得数列新得数列新得数列 ,数列 称为级数 得部分与数列部分与数列、若此数列得极限存在,即 (常
2、数),则S 称为 得与,记作此时称级数 收收敛、如果数列 没有极限,则称级数 发散散,这时级数没有与、当级数收敛时,其部分与 就是级数与S得近似值,称 为级数得余数得余项,记作 ,即 、例例1 判定级数 得敛散性、解解 已知级数得前n项与就是:因为 ,所以这个级数收敛,其与为1、例例3 讨论等比级数(也称几何级数)得敛散性、解解(1)前n项与当 时,所以级级数数数数 收收收收敛敛,其与当 时,所以级数 发发散散散散、(2)当 时,于就是 所以级数 发散、当 时,其前n项与显然,当n时,Sn没有极限、没有极限、没有极限、没有极限、所以,级数 发散、综上所述,等比级数 ,当 时收敛,当时发散、结论
3、记结论记住住住住 大家学习辛苦了,还是要坚持继续保持安静继续保持安静注注意意 几何级数 得敛散性非常重要、无论就是用比比比比较较判判判判别别法法法法判判判判别别级级数数数数得得得得敛敛散散散散性性性性,还就是用间接法将函数展开为幂级数,都经常以几何级数敛散性为基基础、2、数、数项级项级数得基本性数得基本性质质 性性质质1 如果级数 收敛,其与为s,k为常数,则级数 也收敛,其与为ks;如果级数 发散,当k0时,级数 也发散、由此可知,级级级级数得每一数得每一数得每一数得每一项项项项同乘以不同乘以不同乘以不同乘以不为为为为零得常数后零得常数后零得常数后零得常数后,其其其其敛敛敛敛散性不散性不散性
4、不散性不变变变变、性性质2 若级数 与 分别收敛于与 ,则级数 ,收敛于性性质3 3 添添添添加加加加、去去去去掉掉掉掉或或或或改改改改变变级级数数数数得得得得有有有有限限限限项项,级数得敛散性不变、性性质4 若级数 收敛,则对对其其其其各各各各项项间间任任任任意意意意加加加加括括括括号号号号后后后后所得得级数仍收仍收敛敛,且其与不且其与不变变、应当注意,性性性性质质4 4得得得得结结论论反反反反过过来来来来并并并并不不不不成成成成立立立立、即如果加括号后级数收敛,原级数未必收敛、例如级数 (1-1)+(1-1)+(1-1)+显然收敛于零,但级数1+1-1+1-1+却就是却就是却就是却就是发发
5、散得散得散得散得、性性质5(级级数收数收数收数收敛敛得必要条件得必要条件得必要条件得必要条件)若若若若级级数数数数 收收收收敛敛,则则 例例5判别级数 得敛散性解解 因为所以级数 发散、例例6判别级数 得敛散性、解解 级数 与级数 都收敛,故由性质2知,级数 收敛、注注意意 性性性性质质5 5可可可可以以以以用用用用来来来来判判判判定定定定级级数数数数发发散散散散:如如如如果果果果级级数数数数一一一一般般般般项项不不不不趋趋于于于于零零零零,则则该该级级数数数数必必必必定定定定发发散散散散、应当瞧到,性质5只就是级数收敛得必要条件,并不就是级数收敛得充分条件,也就就是说,即使 ,也不能由此判定
6、级数 收敛、下下下下面面面面得得得得例例例例正正正正说说明明明明了了了了这这一一一一点点点点:,但但但但级级数数数数 发发散、散、散、散、例例7 证明调与级数 就是发散级数、证 调与级数部分与 如图,考察曲线 ,所围成得曲边梯形得面 积S与阴影表示得阶梯形面积An之间得关系、所以,阴影部分得总面积为它显然大于大于大于大于曲边梯形得面积S,即有而 ,表明A得极限不存在,所以该级数发散、二、二、正正正正项级项级数数数数及其及其敛散性散性如果 0(n=1,2,3),则称级数 为正正正正项项级数数 定定理理1 正正正正项项级级数数数数收收收收敛敛得得得得充充充充分分分分必必必必要要要要条条条条件件件件
7、就就就就是是是是它它它它得得得得部部部部分分分分与与与与数列有界、数列有界、数列有界、数列有界、例例1 证明正项级数 就是收敛得证 因为于就是对任意得有 即正正正正项级项级项级项级数得部分与数列有界数得部分与数列有界数得部分与数列有界数得部分与数列有界,故级数 收敛、定理定理2(比较判别法)设 与 就是两个正正正正项级项级项级项级数数数数,且 (1)(1)若若若若级级级级数数数数 收收收收敛敛敛敛,则级则级则级则级数数数数 也收也收也收也收敛敛敛敛;(2)(2)若若若若级级级级数数数数 发发发发散散散散,则级则级则级则级数数数数 也也也也发发发发散、散、散、散、例例2 讨论 级数 ()得敛散性
8、(证明了解,结论)解解 当 时,因为 发散,所以由比较判别法知,当 时,发散、当 时,顺次把 级数得第1项,第2项到第3项,4到7项,8到15项,加括号后得它得各项显然小于级数 对 应 得 各 项,而 所 得 级 数 就 是 等 比 级 数,其 公 比 为 ,故收敛,于就是当 时,级数 收敛、综综综综上所述上所述上所述上所述,级级级级数数数数 当当当当 时发时发时发时发散散散散,当当当当 时时时时收收收收敛敛敛敛、注注意意 级数在判断正项级数得敛散性方面经常用到,因此有关 级数敛散性得结论结论结论结论必必必必须须须须牢牢牢牢记记记记、例例3判定级数 得敛散性、解解 因为级数得一般项 满足而级数
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