解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解.doc

第一章 矢量与坐标
§1.3 数量乘矢量
4、 设，，，证明：、、三点共线．
证明 ∵
∴与共线，又∵为公共点，从而、、三点共线．
6、 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形.
证明：

7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明
+=++.
[证明]

=
由上题结论知：

从而三中线矢量构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
+++＝4.
图1-5
[证明]：因为＝(+), ＝(+),
所以 2＝(+++)
所以
+++＝4.

10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．
证明 已知梯形，两腰中点分别为、，连接、．
，
，∴ ，即
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
图1-7
3.、设一直线上三点A, B, P满足＝l(l¹－1),O是空间任意一点，求证：
＝
[证明]：如图1-7，因为
＝－,
＝－,
所以 －＝l (－),
(1+l)＝+l,
从而 ＝.
4.、在中,设.
(1) 设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;
（2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合
解：（1），
，同理

（2）因为 ＝,
且 与方向相同，
所以 ＝.
由上题结论有
＝＝.
5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量
的分解式。
解：是的重心。连接并延长与BC交于P

同理 C O
（1） G P

（2） A B
（3） （图1）
由（1）（2）（3）得

6．用矢量法证明以下各题
（1）三角形三中线共点
证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于，AL于CN交于
BM于CN交于，取空间任一点O，则 A

A 同理 N M
B L C
三点重合 O
三角形三中线共点 （图2）
即
§1.5 标架与坐标
9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.
答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).
10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).
在AiGi上取一点Pi，使＝3, 从而＝，
设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则
G1,
G2,
G3,
G4,
所以
P1(,,)
ºP1(,,).
同理得P2ºP3ºP4ºP1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.
§1.7 两矢量的数性积
计算下列各题 （1）已知等边△的边长为且求 ； 已知两两垂直且 求的长和它与的夹角 已知与垂直，求的夹角 已知 问系数取何值时与垂直？ 解∵∴ ∵且 设 ∴ 设与的夹角分别为 ∴ ∴，， ，即 ，即
得： 得：
∴ ∴ ∴ ∴
图1-11
4. 用矢量法证明以下各题：
(1) 三角形的余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA;
(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
证明：（1）如图1-21，△ABC中，设＝,＝,＝，
且||＝a，||＝b,||＝c. 则＝－,
2＝(－)2＝2+2－2×＝2+2－2||||cosA.
图1-12
此即 a2＝b2+c2－2bccosA.
(2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P,
D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设＝, ＝, ＝, 则＝－, ＝－, ＝－, ＝(+),
＝(＋).
因为 ^, ^,
所以 (+)(－)＝(2－2)＝0,
(+)(－)＝(2－2)＝0,
从而有 2＝2＝2, 即 ||2＝||2＝||2,
所以 (＋)(－)＝(2－2)＝0,
所以 ^, 且 ||＝||＝||.
故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.

已知△的三顶点 试求：△三边长 △三内角 三中线长 角的角平分线矢量（中点在边上），并求的方向余弦和单位矢量
解： ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴=﹛﹜ ∴，， 设它的单位矢量为﹛﹜，且 ∴﹛﹜=﹛﹜
§1.8 两矢量的失性
4. 已知: ,求与,都垂直,且满足下列条件的矢量: 为单位矢量 ,其中. 解: 设.∵=0 ∴=0 =1 由,,: 设.∵ ∴=10 由,, 得: .
5. 在直角坐标系内已知三点,试求: 三角形的面积 三角形的三条高的长. 解: , ,
=, .
.
, , . ∴, , .
7. 用矢量方法证明：
（1）三角形的正弦定理
＝＝.
（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：
D2＝p(p－a)(p－b)(p－c).
式中p＝(a+b+c)是三角形的半周长，D为三角形的面积.
[证明]： (1) 如图1-13，在△ABC中，设＝，＝，＝，
且||＝a，||＝b, ||＝c, 则 ++＝,
从而有 ´＝´＝´,
所以 |´|＝|´|＝|´|,
bcsinA＝casinB＝absinC,
于是 ＝＝.
(2) 同上题图，△ABC的面积为
D＝|´|,
所以 D2＝(´)2.
因为 (´)2+(×)2＝22,
所以 D2＝[22－(×)2].
由于 ++＝,
从而 +＝－，(＋)2＝2,
所以 ＝(2－2－2)＝(c2－a2－b2),
故有 D2＝[a2b2－(c2－a2－b2)2]
＝[2ab－(c2－a2－b2)][2ab+(c2－a2－b2)]
＝[(a+b)2－c2][2－(a－b)2]
＝(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b)
＝×2p×(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a).
所以 D2=p(p-a)(p-b)(p-c),
或 D=.
§1.9 三矢量的混合积
4.已知直角坐标系内矢量的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. , , . , , . 解: 共面 ∵= ∴向量共面 不共面 ∵= ∴向量不共面 以其为邻边作成的平行六面体体积
5. 已知直角坐标系内四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点所引出的高的长.
⑴;
⑵.
解: ⑴共面.
⑵
又,
顶点所引出的四面体高为.
第二章 轨迹与方程
§2.1平面曲线的方程
1.一动点到的距离恒等于它到点的距离一半，求此动点的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？
解：动点在轨迹上的充要条件是。设的坐标有 化简得
故此动点的轨迹方程为
此轨迹为椭圆
2. 有一长度为＞0）的线段，它的两端点分别在轴正半轴与轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。，为两端点，为此线段的中点。 解：如图所示 设.则.在中有 .把点的坐标代入此式得: .∴此线段中点的轨迹为
3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为,并取两定点的连线为轴, 两定点所连线段的中垂线为轴.现有:.设在中
在中.
由两式得: .
§2.2 曲面的方程
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：
（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；
（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；
（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；
（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。
解：（1）取二定点的连线为轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为，二定点的距离为，则二定点的坐标为，设动点，所求的轨迹为，则

亦即
经同解变形得：
上式即为所要求的动点的轨迹方程。
（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为，距离之和常数为。设动点，要求的轨迹为，
则
亦即
两边平方且整理后，得： （1）

从而（1）为
即：
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。
（3）建立如（2）的坐标系，设动点，所求的轨迹为，
则
类似于（2），上式经同解变形为：
其中 （*）
（*）即为所求的轨迹的方程。
（4）取定平面为面，并让定点在轴上，从而定点的坐标为，再令距离之比为。
设动点，所求的轨迹为，则

将上述方程经同解化简为： （*）
（*）即为所要求的轨迹方程。
第三章 平面与空间直线
§ 3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（3）已知四点，，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。
解：（ⅰ）设平面通过直线AB，且平行于直线CD：
，
从而的参数方程为：

一般方程为：。
（ⅱ）设平面通过直线AB，且垂直于所在的平面
，
均与平行，所以的参数式方程为：

一般方程为：.
5. 求下列平面的一般方程.
⑴通过点和且分别平行于三坐标轴的三个平面;
⑵过点且在轴和轴上截距分别为和的平面;
⑶与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;
⑷已知两点,求通过且垂直于的平面;
⑸原点在所求平面上的正射影为;
⑹求过点和且垂直于平面的平面.
解:平行于轴的平面方程为.即.
同理可知平行于轴,轴的平面的方程分别为.
⑵设该平面的截距式方程为,把点代入得
故一般方程为.
⑶若所求平面经过轴，则为平面内一个点,
和为所求平面的方位矢量,
∴点法式方程为
∴一般方程为.
同理经过轴,轴的平面的一般方程分别为.
⑷垂直于平面,
∴该平面的法向量,平面通过点,
因此平面的点位式方程为.
化简得.
(5)

∴
则该平面的法式方程为:
既
（6）平面的法向量为，，点从
写出平面的点位式方程为，则
，
则一般方程即：
8．已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。
解：设点则写出平面的点位式方程
设一般方程
则
相距为2个单位。则当时当时
所求平面为和
9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴与上的截距之比为的平面。
解：设设平面的截距方程为
即
又原点到此平面的距离

所求方程为
10．平面分别与三个坐标轴交于点求的面积。
解 , ,,. ;. ∴=
§ 3.2 平面与点的相关位置
3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。
解：地面ABC的方程为：

所以，高。

4.求中心在且与平面相切的球面方程。
解：球面的半径为C到平面：的距离，它为：
，
所以，要求的球面的方程为：
.
即：.
5．求通过轴其与点相距8个单位的平面方程。
解：设通过轴的平面为它与点相距8个单位，从而
因此
从而得或于是有或
所求平面为或
6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹.
⑴;
⑵.
解: ⑴

令
化简整理可得:与.
⑵对应项系数相同,可求,从而直接写出所求的方程:.
3.3 两平面的相关位置
2.分别在下列条件下确定的值：
（1）使和表示同一平面；
（2）使与表示二平行平面；
（3）使与表示二互相垂直的平面。
解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：

即：

从而：，，。
（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：

所以：，。
（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：

所以： 。
5. 求下列平面的方程:
(1) 通过点和且与坐标面成角的平面;
(2) 过轴且与平面成角的平面.

解 ⑴ 设所求平面的方程为
又xoy面的方程为z=0,所以
解得,∴所求平面的方程为,
即
⑵设所求平面的方程为;则
或
所求平面的方程为或.
§ 3.4空间直线的方程
1.求下列各直线的方程：
（1）通过点和点的直线；
（2）通过点且平行于两相交平面：

的直线；
（3）通过点且与三轴分别成的直线；
（4）通过点且与两直线和垂直的直线；
（5）通过点且与平面垂直的直线。
解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：

即：，亦即。
（2）欲求直线的方向矢量为：

所以，直线方程为：。
（3）欲求的直线的方向矢量为：，
故直线方程为：。
（４）欲求直线的方向矢量为：，
所以，直线方程为：
。
（５）欲求的直线的方向矢量为：，
所以直线方程为：
。
３.求下列各平面的方程：
（１）通过点，且又通过直线的平面；
（２）通过直线且与直线

平行的平面；
（３）通过直线且与平面垂直的平面；
（４）通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。
解：（１）因为所求的平面过点和，且它平行于矢量，所以要求的平面方程为：

即。
（２）已知直线的方向矢量为，
平面方程为：

即
（３）要求平面的法矢量为，
平面的方程为：，
即。
（4）由已知方程
分别消去，，得到：
，，
此即为三个射影平面的方程。
§ 3.5直线与平面的相关位置
2.试验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角。
解：
直线与平面相交。
又直线的坐标式参数方程为：
设交点处对应的参数为，

，
从而交点为（1，0，-1）。
又设直线与平面的交角为，则：
，
。

3.确定的值，使：
（1）直线与平面平行；
（2）直线与平面垂直。
解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：

即。
（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：

所以：。
§ 3.6空间直线与点的相关位置
2.求点到直线的距离。
解：直线的标准方程为：

所以，p到直线的距离为：
。
3.7空间直线的相关位置
7.求通过点且与平面平行,又与直线相交的直线方程.
解 设过点的所求直线为

∵ 它与已知平面平行,所以有 （1）
又∵ 直线与已知直线相交,那么必共面.
∴ 又有

即 7x+|8y-12z=0 (2)
由(1),(2)得
而
∴ 所求直线的方程为
8. 求通过点且与两直线都相交的直线方程.
解 设所求直线的方向矢量为,
则所求直线可写为
∵ 直线平行于矢量
∴矢量为直线的方向矢量.
由于因此令y=o解方程组得
x=1,z=o
∴ 点(1,o,o) 为直线上的一点.
∴ 直线的标准方程为.
∵

∴ 有
即 X+3Y+3Z=0.

即 X-13Y-3Z=0.
得 X:Y:Z=30:6:-16
又∵
即
,
即
∴ 所求直线方程为:

10. .求过点且与直线相交的直线方程.
解 设所求直线的方向矢量为
则所求直线可写为

∴ 3X+2Y-2Z=0 (1)

即 50X-69Y+6Z=0 (2)
由(1),(2)得
∴所求直线为:

§ 3.8 平面束
3.求通过直线且与平面成角的平面。
解：设所求的平面为：
则：
从而 ，或
所以所求平面为：
或
4.求通过直线且与点的距离等于3的平面。
解：直线的一般方程为：

设所求的平面的方程为，
据要求，有：

有
或
即所求平面为：
或
即：或
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量
任取准线上一点，过的母线方程为：

而在准线上，所以：

消去，得到：
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为：

此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点，且方向为的直线方程为：

将此式代入准线方程，并消去得到：

此即为所求的圆柱面的方程。
§ 4.2锥面
2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。
解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

令它与准线交于，即存在，使

将它们代入准线方程，并消去得：

此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。
解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
圆锥的轴与等角，故的方向数为
与垂直的平面之一令为
平面在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点，该圆的圆心为，故该圆的方程为：

它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点，过与顶点的母线为：

令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得：

此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。
解：轴线的方程为：
过点且垂直于轴的平面为：

即：
该平面与轴的交点为，它与的距离为：

要求圆锥面的准线为：

对锥面上任一点，过该点与顶点的母线为：

令它与准线的交点为，即存在，使

将它们代入准线方程，并消去得：

§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；绕旋转
（2）；绕旋转
（3）绕轴旋转；
（4）空间曲线绕轴旋转。
解：（1）设是母线上任一点，过的纬圆为：

又在母线上。

从（1）——（3）消去，得到：

此为所求的旋转面方程。
（2）对母线上任一点，过的纬圆为：

因在母线上， (3)
从（1）——（3）消去，得到：

此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点，过该点的纬圆为：

又在母线上，所以： （3）
从（1）——（3）消去，得到：

此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点，过的纬圆为：

又在母线上，所以

从（1）——（3）消去，得到：

即旋转面的方程为：
§4.4椭球面
2、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。
解：设动点，要求的轨迹为，则

即：
此即为的方程。
3、由椭球面的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为，设定方向的方向余弦分别为，试证：

证明：沿定方向到曲面上一点，该点的坐标为
该点在曲面上

即
4、由椭球面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面，设，试证：
证明：利用上题结果，有
其中是的方向余弦。
若将所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而，同理，，
所以，

即：
§ 4.5双曲面
3、已知单叶双曲面，试求平面的方程，使这平面平行于面（或面）且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为，则该平面与单叶双曲面的交线为：
（*）
亦即
为使交线（*）为二相交直线，则须：，即
所以，要求的平面方程为：
同理，平行于的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：
4、设动点与的距离等于这点到平面的距离的两倍，试求这动点的轨迹。
解：设动点，所求轨迹为，则

亦即：
此为的轨迹方程。
5、试求单叶双曲面与平面的交线对平面的射影柱面。
解：题中所设的交线为：

从此方程中消去，得到：

此即为要求的射影柱面方程。
§ 4.6抛物面
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；
（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为，夹角为。
解：（1）取定平面为面，过定点且垂直于面的直线作为轴，则定点的坐标设为，而定平面即为，设比值常数为，并令所求的轨迹为，则
点
即
此为的方程。
（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：
与
设所求的轨迹为，则

即：
经同解化简得：
此即所要求的轨迹方程。
§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
3、在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。
解：双曲抛物面的两族直母线为：
及
第一族直母线的方向矢量为：
第二族直母线的方向矢量为：
据题意，要求的直母线应满足：

要求的直母线方程为：
及
5、求与两直线与相交，而且与平面平行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于，则
，
又动直线与平面平行，所以，

对动直线上任一点，有：
从（1）——（4）消去，得到：
第五章 二次曲线一般的理论
§5.1二次曲线与直线的相关位置
1. 写出下列二次曲线的矩阵A以及，及.
（1）；（2）；（3）；（4）
（5）.
解：（1）；；；；
（2）；；.
（3）；；；；
（4）；；；；
（5）；；；.
2. 求二次曲线与下列直线的交点.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略
（1）；
（2），；
（3）二重点；
（4）；
（5）无交点.
3. 求直线与二次曲线的交点.
解：由直线方程得代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点.
4 .试确定k的值，使得（1）直线与二次曲线交于两不同的实点；
（2）直线与二次曲线交于一点；
（3）与二次曲线交于两个相互重合的点；
（4）与二次曲线交于两个共轭虚交点.
解：详解略.（1）；（2）或（3）或；（4）.
§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线
6. 求下列二次曲线的渐进线.
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）由得中心坐标.
而由得渐进方向为或，所以渐进线方程分别为与
（2）由得中心坐标.
而由得渐进方向为或，所以渐进线方程分别为与
（3）由知曲线为线心曲线，.
所以渐进线为线心线，其方程为.
§5.3二次曲线的切线
1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.
（1）曲线在点（2，1）；
（2）曲线曲线在点在原点；
（3）曲线经过点（-2，-1）；
（4）曲线经过点；
（5）曲线经过点（0，2）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.
（1）曲线的切线平行于直线；
（2）曲线的切线平行于两坐标轴.
解：（1），和，；
（2），和，.
4.试求经过原点且切直线于点（1，-2）及切直线于点（0，-1）的二次曲线方程.
解：利用（5.3-5）可得
§5.4二次曲线的直径
2.求曲线通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径.
解：（1）把点（8，0）代入
得，再代入上式整理得直径方程为，其共轭直径为.
3.已知曲线的直径与轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.
解：直径方程为，其共轭直径方程为.
7．求下列两条曲线的公共直径.
（1）与；
（2）与.
解：（1）；（2）.
§5.6二次曲线方程的化简与分类
1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解（1）因为二次曲线含项，我们先通过转轴消去，设旋转角为，则，即，所以或-2.取，那么，，所以转轴公式为代入原方程化简再配方整理得新方程为
；

类似的化简可得
（2）；（3）；（4）.
§5.7应用不变量化简二次曲线的方程
1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
解：（1）因为，，，，而特征方程
的两根为，所以曲线的简化方程（略去撇号）为
，
曲线的标准方程为
，
曲线为双曲线；
类似地得下面：
（2）曲线的简化方程（略去撇号）为
，
曲线的标准方程为
，
曲线为椭圆；
（3）曲线的简化方程（略去撇号）为
，
曲线的标准方程为
，
曲线为两相交直线；
（4）曲线的简化方程（略去撇号）为
，
曲线的标准方程为
，
曲线为抛物线；
（5）曲线的简化方程（略去撇号）为
，
曲线的标准方程为
，
曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线；
（6）曲线的简化方程（略去撇号）为
，
曲线的标准方程为
，
曲线为抛物线的一部分；
（7）曲线的简化方程（略去撇号）为
，
曲线的标准方程为
，
曲线为两平行直线；
（8）曲线的简化方程（略去撇号）为
，
曲线的标准方程为
，
曲线为两重合直线.