2026年上海市戏剧学院附中高三十月月考数学试题试卷含解析.doc

2026年上海市戏剧学院附中高三十月月考数学试题试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( )
A．3 B．2 C．4 D．5
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ）
A．5 B． C．4 D．16
4．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
5．如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）

A． B． C． D．
6．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设复数满足为虚数单位)，则（ ）
A． B． C． D．
8．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如下：
嘉宾

评分

嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
10．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ）
A．∥ B．∥
C．∥∥ D．
12．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.

14．设实数x，y满足，则点表示的区域面积为______.
15．已知实数，对任意，有，且，则______.
16．某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）．
①；
②这名学生中数学成绩在分以下的人数为；
③这名学生数学成绩的中位数约为；
④这名学生数学成绩的平均数为．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的单调区间；
（2）当时，证明：
18．（12分）已知函数，其中.
（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.
①求实数的取值范围；
②求证：.
19．（12分）已知函数.
（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；
（2）若f(x)有两个极值点证明.
20．（12分）已知中，，，是上一点．
（1）若，求的长；
（2）若，，求的值．
21．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.
22．（10分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：

1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87

2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）①建立月总成本与月产量之间的回归方程；②通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）
附注：①参考数据：，，，，.
②参考公式：相关系数，，.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.
【详解】
，，对任意的，存在实数满足，使得，
易得，即恒成立，
，对于恒成立,
设，则，
令，在恒成立，
，
故存在，使得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
,将代入得：
，
，且，

故选：A
本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.
2．C
【解析】
分析：根据集合可直接求解.
详解：,
,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
3．C
【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中,,由正弦定理得,
又,
∴,又,∴,∴,又,
∴.∵,
∴,∵,∴由余弦定理可得,
∴,可得.
故选：C
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
4．D
【解析】
结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.
【详解】
若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：D
本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.
5．B
【解析】
为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值
【详解】
，，，
，同理
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角
，又

，
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系
则，设
，整理可得：
在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆
平面平面，，
为二面角的平面角，
当与圆相切时，最大，取得最小值
此时

故选
本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
6．C
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.
【详解】
对数函数为上的增函数，则，即；
指数函数为上的增函数，则；
指数函数为上的减函数，则.
综上所述，.
故选：C.
本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.
7．B
【解析】
易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，所以.
故选：B.
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
8．C
【解析】
计算出、，进而可得出结论.
【详解】
由表格中的数据可知，，
由频率分布直方图可知，，则，
由于场外有数万名观众，所以，.
故选：B.
本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.
9．A
【解析】
设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
设所求切线的方程为，则，
联立，消去得①，由，解得，
方程①为，解得，则点，
所以，阴影部分区域的面积为，
矩形的面积为，因此，所求概率为.
故选：A.
本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
10．D
【解析】
根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数，其导数函数，
则有在上恒成立，
则在上为增函数；
又由，
则；
故选：．
本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．
11．D
【解析】
根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】
对于A，当，，时，则平面与平面可能相交，，，故不能作为的充分条件，故A错误；
对于B，当，，时，则，故不能作为的充分条件，故B错误；
对于C，当，，时，则平面与平面相交，，，故不能作为的充分条件，故C错误；
对于D，当，，，则一定能得到，故D正确.
故选：D.
本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.
12．A
【解析】
计算，得到答案.
【详解】
根据题意，故，表示的复数在第一象限.
故选：.
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．11
【解析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.
【详解】
（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5个： ，
3个，2个：，
1个，4个：，
（2）左侧两列如图贴砖，
然后贴剩下的部分：
3个：，
1个，2个：，
综上，一共有（种）.
故答案为：11.
本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.
14．
【解析】
先画出满足条件的平面区域，求出交点坐标，利用定积分即可求解.
【详解】
画出实数x，y满足表示的平面区域，如图（阴影部分）：

则阴影部分的面积，
故答案为：
本题考查了定积分求曲边梯形的面积，考查了微积分基本定理，属于基础题.
15．-1
【解析】
由二项式定理及展开式系数的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．
【详解】
由，且，
则，
又，
所以，
令得：
，
所以，
故答案为：．
本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
16．②③
【解析】
由频率分布直方图可知，解得，故①不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故②正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故③正确；④这名学生数学成绩的平均数为
，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析
【解析】
（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.
（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.
【详解】
（1）函数
可求得，则
解得
所以，定义域为
，
在单调递增，而，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时是函数的极小值点，
的递减区间为，递增区间为
（2）证明：当时，
，
因此要证当时，，
只需证明，
即
令，
则，
在是单调递增，
而，
∴存在唯一的，使得，
当，单调递减，当，单调递增，
因此当时，函数取得最小值，
，
，
故，
从而，即，结论成立.
本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.
18．（1）；（2）①；②详见解析.
【解析】
（1）由函数在处的切线与直线垂直，即可得，对其求导并表示，代入上述方程即可解得答案；
（2）①已知要求等价于在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根，由二次函数的图象与性质构建不等式组，解得答案，最后分析此时单调性推及极值说明即可；
②由①可知，是方程的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关系，进而用含的式子表示，令，对求导分析单调性，即可知道存在常数使在上单调递减，在上单调递增，进而求最值证明不等式成立.
【详解】
解：（1）依题意，，，
故，所以，
据题意可知，，解得.
所以实数的值为.
（2）①因为函数在定义域上有两个极值点，且，
所以在上有两个根，且，
即在上有两个不相等的根.
所以解得.
当时，若或，，，函数在和上单调递增；若，，，函数在上单调递减，故函数在上有两个极值点，且.
所以，实数的取值范围是.
②由①可知，是方程的两个不等的实根，
所以其中.
故

，
令，其中.故，
令，，在上单调递增.
由于，，
所以存在常数，使得，即，，
且当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，，
又，，
所以，即，
故得证.
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.
19．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）求得函数的定义域和导函数，对分成三种情况进行分类讨论，判断出的极值点个数.
（2）由（1）知，结合韦达定理求得的关系式，由此化简的表达式为，通过构造函数法，结合导数证得，由此证得成立.
【详解】
（1）函数的定义域为
得，
（i）当时；，
因为时，时，，
所以是函数的一个极小值点；
（ii）若时，
若，即时，，
在是减函数，无极值点.
若，即时，
有两根，
不妨设
当和时，，
当时，，
是函数的两个极值点，
综上所述时，仅有一个极值点；
时，无极值点；时，有两个极值点．
（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根，
，则
所以

设，则，又，即，
所以
所以是上的单调减函数，
有两个极值点，则
本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．（1） （2）
【解析】
（1）运用三角形面积公式求出的长度，然后再运用余弦定理求出的长.
（2）运用正弦定理分别表示出和，结合已知条件计算出结果.
【详解】
（1）由
在中，由余弦定理可得

（2）由已知得
在中，由正弦定理可知
在中，由正弦定理可知
故
本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型，能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法.
21．（1）；（2）
【解析】
（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；
（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.
【详解】
（1）设点，
∵点到直线的距离等于，
∴，化简得，
∴动点的轨迹的方程为.
（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，
设点，过点的拋物线的切线方程为，
联立，化简可得，
∴，即，
∴，.
由，求得导函数，
∴，，，
∴，
因为点满足，
由圆的性质可得，
∴，即直线斜率的取值范围为.
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.
22．（1）见解析；（2）①②3.386（万元）
【解析】
（1）利用代入数值，求出后即可得解；
（2）①计算出、后，利用求出后即可得解；
②把代入线性回归方程，计算即可得解.
【详解】
（1）由已知条件得，
，∴，
说明与正相关，且相关性很强.
（2）①由已知求得，，
所以，所求回归直线方程为.
②当时，（万元），
此时产品的总成本约为3.386万元.
本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.