近世代数12.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,近世代数,主讲教师：张广祥,辅导课程十二,1,单扩域,重点 单扩域的结构定理,定理,5.2.1 设,F,是一个域,F(,),是单扩域,则(1)若,是,F,上的超越元,则扩域,F(,)Fx,的商域,.(2)若,是,F,的代数元,则,在,F,上的极小多项式,p(x),唯一,且扩域,F(,)Fx/(p(x),p(x),是,F,上的不可约多项式,.,定理,5.2.2 若,F(,),是单代数扩域,则,F(,)=F,.,定理,5.2.4 若,F(,),与,F(,),是两个单代数扩域且,与,在,F,上有相同的极小多项式,则,F(,)F(,).,例1,Q(i),Q(),Q(),是单代数扩域,.2,证明,Q(,),是单代数扩域,.,2,代数扩域,重点 扩域的次数,有限扩域是代数扩域,定义 设,E,是,F,的扩域,把,E,看成,F,向量空间，用,|,E:F|,表这个向量空间的维数,并称之为扩域的次数,.若,|,E:F|,有限,则,E,称为,F,的有限扩域,.,定义 设,E,是,F,的扩域,若,E,的每个元都是,F,上的代数元,则,E,称为,F,的代数扩域,.,3,代数扩域,(续),定理,5.3.1,有限扩域一定是代数扩域,.,证 设扩域,E,F,且,|,E:F|=n.,对每,E,n+1,个向量,1,a,a,2,a,n,在,F,上线性相关,即有,a,i,F,使,a,0,+a,1,+a,n,n,=0,是,f(x)=a,0,+a,1,x+,a,n,x,n,=0,的根,因此,a,是,F,上的代数元,E,是,F,的代数扩域,.,推论,5.3.2 设,F(,),是,F,上的单代数扩域,|,F(,):F|=n,是,在,F,上极小多项式的次数,因而单代数扩域是代数扩域,.,例,Q(，),是单代数扩域且,|,Q(，):Q|=4.,4,多项式的分裂域,定义 设,F,是一个域,f(x)Fx,F,的扩域,E,若满足下二条件则称为,f(x),的分裂域,:(1)在,Ex,中,f(x)=a,n,(x-,1,)(x-,n,).,a,n,F,i,E (2),在,E,的任一个真子域中,f(x),不能分解为线性因子之积,.,定理,5.4.1 设,E,是,f(x),在,F,上的分裂域且,f(x)=a,n,(x-,1,)(x-,n,),则,E=F(,1,，,n,).,定理,5.4.2,f(x)Fx,则存在,f(x),在,F,上的分裂域,定理,5.4.5 若,E,是,f(x)Fx,在,F,上的分裂域,E,则,在,F,上的极小多项式在,Ex,中分解为线性因子的积,.,5,有限域,重点有限域是,p,元域上多项式的分裂域,定理,5.5.1设,E,是特征,p,的有限域,则|,E|=,p,n,.,证,E,是素域,Zp,上的维向量空间,.,定理,5.5.2-5.5.3,E,是含,q=,p,n,个元的有限域当且仅当,E,是方程,x,q,-x=0,的分裂域,.,定理,5.5.4,有限域是其素域的单代数扩域,.(,证明在后,),6,有限域,(续),定理,5.5.4,证明 设,E,是含,q,个元的有限域,F,是,E,的素域,.,则乘群,E*,的阶是,q-1.,设群,E*,中元的,最大阶是,m,则每,a,E*,有,a,m,=1,说明方程,x,m,-1=0,至少有,q-1,个根,.,因此,q-1m.,另一方面由,Lagrange,定理,m q-1,于是,m=q-1.,说明,E*=(),是循环群,.,这样,E=F(),是单代数扩域,.,很有趣的例,Z,3,(i),是含9个,元素的域,Z,5,(i),是含,25,个元素的域,.但,Z,2,(i),不是域,为什么,?(,x,2,+1,不是,i,在,Z,2,上的极小多项式,),7,