线性代数3.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线 性 代 数,（经济类本科）,柴 惠 文,线性代数,是我校重要的必修公共基础课，它是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。从本校财经类本科的专业特色出发，该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法。本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。,内容的抽象性，逻辑的严密性是线性代数的基本特点,。,对同学们的抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养很有帮助。,参考书目：,（,1,）线性代数，科学出版社（陈治中）,（,2,）线性代数，高等教育出版社（北 大教材）,关于作业：,每周交一次，按学号单、双号交；即,第一周单号交，第二周双号交，依此类推。,第一章行列式,内容概述,行列式是线性代数中的一个重要概念。本章从二、三元方程组的解的公式出发，引出二阶、三阶行列式的概念，然后推广到,n,阶行列式，并导出行列式的一些基本性质及行列式按行（列）展开的定理，最后讲用行列式解,n,元方程组的克莱姆法则和齐次方程组有无非零解的判别定理。,1.1,二阶、三阶行列式,(一)、二阶行列式,我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念:,用加减消元法容易求出未知量,，,的值，当 时，有,为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。我们称记号,为二阶行列式。,（二）、三阶行列式,我们用记号,称为三阶行列式。,例1：计算：,例2：满足什么条件时，有,1.2,n,阶行列式,(一),、排列,与,逆序,1 排列,定义：,由,n,个不同的元素1,2,3,n,排成的任一有 序数组，称为一个,n,级全排列，简称,n,级排列。,n,级排列的总数为,n!,个,。,2逆序,定义1.1,：,在一个,n,级排列,i,1,i,2,.i,n,中，如果有某个较大 的数,i,t,排在较小的数,i,s,的前面，就称,i,t,与,i,s,构成了一个,逆序,。,一个,n,级排列,i,1,i,2,.i,n,中逆序的总数，称为此排 列的逆序数，记为,N(,i,1,i,2,.i,n,)。,求一个排列的逆序数的方法是：,先求第一个元素,i,1,的逆序数,N,1,，,再求第二个元素,i,2,的逆序数,N,2,，,最后求第,n-1,个元素,i,n-1,的逆序数,N,n,1,，,将它们加起来即可。即有：,N(i,1,i,2,i,n,)=N,1,+N,2,+,N,n,1,例：求,N(453162).,定义：,如果排列,i,1,i,2,i,n,得逆序数,N(,i,1,i,2,i,n,),是奇数则称为,奇排列。,是偶数或为0则称为,偶排列,。,定义：,在一个排列,i,1,i,2,i,s,i,t,i,n,中，如果仅将它的两个数码,i,s,与,i,t,对调，得到另一个排列,i,1,i,2,i,t,i,s,i,n,，,这样的变换称为一个对换，记为,(,i,s,i,t,),。,定理1.1,任意一个排列经过一个对换后奇偶改变。,定理1.2,n,个数码(,n1),共有,n!,个,n,级排列，其中奇偶排列各占一半。,（二）、,n,阶行列式,定义1.2,用,n,2,个排成,n,行,n,列的元素,a,ij,(i,j=1,2,n),组成的记号,称为,n,阶行列式。横排称为行，纵排称为列。它是,n!,项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的,n,个元素的乘积，各项的符号是：当这一项中各元素的行指标按自然数顺序排列后，如果列指标排列为偶排列，取正号；为奇排列，取负号。,n,阶行列式,D,可表示为,其中,j,1,j,2,j,n,构成一个,n,级排列，当,j,1,j,2,j,n,取遍所有,n,级排列时，上式表示,n!,项的和。正项和负项各占一半。,一阶行列式,|,a|=a,。,行列式有时简记为,|,a,ij,|,。,注意,n,阶行列式的定义有,三个要点：,（1）,D,是,n!,项的代数和；,（2）每一项的符号是：当其元素的行指标按自然数顺序排列后，如果列指标排列为偶排列，则取正号；如果为奇排列，则取负号；,（3）每一项是取自不同行不同列的,n,个元素的乘积（这样的项恰有,n!,项）.,例:利用定义计算行列式,(1),(2),(3),(4),由以上例子及行列式的定义不难看出：,1）、,如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值必为零。,2）、三角形行列式和对角行列式的值，均等于主对角线上各元素的乘积。,定理1.3,n,阶行列式,|,a,ij,|,的一般项可记为,今天的作业：,1（5）（6）,2（2）（3）,7（2）（3）,11（2）（4）,