第5章 概率与概率分布.ppt

Click to edit Master title,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,5-,*,统计学,STATISTICS,(,第二版,),数学定律不能百分之百确切地用在,现实生活里；能百分之百确切地用,数学定律描述的，就不是现实生活,Alber,Einstein,第,5,章 概率与概率分布,作者：中国人民大学统计学院,贾俊平,PowerPoint,统计学,统计应用,买彩不是“押宝”,山东的一打工者为了碰运气，半个小时花去了,1000,元钱，买了,500,张即开型福利彩票，结果也没撞上大奖,赢彩的人总是少数。一个博彩投机者和一个博彩业余爱好者相比，他们的动机以及在彩票市场上所花费的时间是不完全一样的。前者把买彩当作“押宝”、“投资”；而后者只是作为一种业余爱好，作为增添生活情趣的方式之一,彩票投资中风险和收益并存，众多彩迷利用闲暇机会纷纷入市，但在彩票市场上不会人人都赚，只有一部分甚至一小部分人大赚，而绝大多数人则是要赔的，这是彩市不变的法则,统计应用,买彩不是“押宝”,彩票只是一种数字游戏，是社会筹集闲散资金的一种方式，而不是金钱投资，更不是赌博,一位彩民把发财的梦孤注一掷地“押”在买彩上，企盼着中一回大奖，赚上一笔，发大财。但事与愿违，他买了不少，却中的不多，结果生活越来越窘迫,博彩者必须记住一条真理：适可而止。贪得无厌的结果往往是一贫如洗。有人曾做过统计，最赚钱的彩票，中彩的概率最高是,1/500,万，有的甚至达到,1/1000,万。所以用极少的资金投注，用平常心等待大奖的光临，才是真正的幸运,第,5,章 概率与概率分布,5.1,事件及其概率,5.2,离散型概率分布,5.3,连续型概率分布,学习目标,定义试验、事件、样本空间、概率,描述和使用概率的运算法则,定义和解释随机变量及其分布,4.计算离散型随机变量的概率和概率分布,5.计算连续型随机变量的概率,6.用,Excel,计算分布的概率,5.1,事件及其概率,5.1.1,试验、事件和样本空间,5.1.2,事件的概率,5.1.3,概率的性质和运算法则,5.1.4,条件概率与事件的独立性,5.1.5,全概公式与逆概公式,试验、事件和样本空间,试 验,(,experiment),对试验对象进行一次观察或测量的过程,掷一颗骰子，观察其出现的点数,从一副,52,张扑克牌中抽取一张，并观察其结果,(,纸牌的数字或花色,),试验的特点,可以在相同的条件下重复进行,每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的,在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果,事件,(,event,),事件：,试验的每一个可能结果,(,任何样本点集合,),掷一颗骰子出现的点数为,3,用大写字母,A,，,B,，,C,，,，,表示,随机事件,(,random event,)：,每次试验可能出现也可能不出现的事件,掷一颗骰子可能出现的点数,事件,(,event,),3.简单事件,(,simple event,),：,不能被分解成其他事件组合的基本事件,抛一枚均匀硬币，,“,出现正面,”,和,“,出现反面,”,4.必然事件,(,certain event,),：,每次试验一定出现的事件，用,表示,掷一颗骰子出现的点数小于,7,5.不可能事件,(,impossible event,),：,每次试验一定不出现的事件，用,表示,掷一颗骰子出现的点数大于,6,样本空间与样本点,样本空间,(,sample Space),一个试验中所有结果的集合，用,表示,例如：在,掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：,1,2,3,4,5,6,在投掷硬币的试验中，,正面，反面,样本点,(,sample point),样本空间中每一个特定的试验结果,用符号,表示,事件的概率,事件的概率,(,probability,),事件,A,的概率是一个介于,0和1,之间的一个值，用以度量试验完成时事件,A,发生的可能性大小，记为,P,(,A,),当试验的次数很多时，概率,P,(,A,),可以由所观察到的事件,A,发生次数,(,频数,),的比例来逼近,在相同条件下，重复进行,n,次试验，事件,A,发生了,m,次，则事件,A,发生的概率可以写为,事件的概率,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，,随着投掷次数,n,的增大，出现正面和反面的频率,稳定在,1/2,左右,试验的次数,正面,/,试验次数,1.00,0.00,0.25,0.50,0.75,0,25,50,75,100,125,概率的性质和运算法则,互斥事件及其概率,(,mutually exclusive events),在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，,则称事件,A,与事件,B,是,互斥事件,(,没有公共样本点,),A,B,互斥事件的文氏图,(,Venn diagram),互斥事件及其概率,(,例题分析,),【例】,在一所城市中随机抽取,600,个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件,A,：,600,个家庭中恰好有,265,个家庭拥有电脑,B,：,恰好有,100,个家庭拥有电脑,C,：,特定户张三家拥有电脑,说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由,(1),A,与,B,(2),A,与,C,(3),B,与,C,互斥事件及其概率,(,例题分析,),解：,(1),事件,A,与,B,是互斥事件。因为你观察,到恰好有,265,个家庭拥有电脑，就,不可能恰好有,100,个家庭拥有电脑,(2),事件,A,与,C,不是互斥事件。因为张三,也许正是这,265,个家庭之一，因而事,件,A,与,C,有可能同时发生,(3),事件,B,与,C,不是互斥事件。理由同,(2),互斥事件及其概率,(,例题分析,),【例】,同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚,正面朝上的概率是多少？,解,：用,H,表示正面，,T,表示反面，下标,1,和,2,表示硬币,1,和硬币,2,。该项试验会有,4,个互斥事件之一发生,(1),两枚硬币都正面朝上，记为,H,1,H,2,(2)1,号硬币正面朝上而,2,号硬币反面朝上，记为,H,1,T,2,(3)1,号硬币反面朝上而,2,号硬币正面朝上，记为,T,1,H,2,(4),两枚硬币都是反面朝上，记为,T,1,T,2,互斥事件及其概率,(,例题分析,),解：,由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是,1/2,，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的,4,个简单事件中每一事件发生的相对频数,(,概率,),将近似等于,1/4,。因为仅当,H,1,T,2,或,T,1,H,2,发生时，才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件,H,1,T,2,或,T,1,H,2,又为互斥事件，两个事件中一个事件发生或者另一个事件发生的概率便是,1/2,(1/4+1/4),。因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概率等于,H,1,T,2,或,T,1,H,2,发生的概率，也就是两种事件中每个事件发生的概率之和,互斥事件的加法规则,(,addition law,),若,两个事件,A,与,B,互斥，则事件,A,发生或事件,B,发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),事,件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,两两互斥，则有,P,(,A,1,A,2,A,n,),=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,+,P,(,A,n,),互斥事件的加法规则,(,例题分析,),解：,掷一颗骰子出现的点数,(,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,),共有,6,个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为,1/6,根据互斥事件的加法规则，得,【例】,抛掷一,颗,骰子，并考察其结果。求出其点 数为,1,点或,2,点或,3,点或,4,点或,5,点或,6,点的概率,概率的性质,(,小结,),非,负,性,对任意事件,A,，,有,P,0,规范性,一个事件的概率是一个介于,0,与,1,之间的值，即对于任意事件,A，,有,0,P,1,必然事件的概率为,1,；不可能事件的概率为,0,。,即,P,(,)=1；,P,(,)=0,可加性,若,A,与,B,互斥，则,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),推广到多个两两互斥事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,，,有,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,+,P,(,A,n,),事件的补及其概率,(,complement,),事件,A,不发生的事件，称为,A,的补事件。,A,的补事件,(,或称逆事件,),，,记为,A,。,它是样本空间中所有不属于事件,A,的样本点的集合,A,A,P,(,A,)=1-,P,(,A,),广义加法公式,对任意两个随机事件,A,和,B,，,它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)-,P,(,A,B,),两个事件的并,两个事件的交,广义加法公式,(,事件的并或和,),事件,A,或事件,B,发生的事件，称为事件,A,与事件,B,的并。它是由属于事件,A,或事件,B,的所有样本点组成的集合，记为,A,B,或,A,+,B,B,A,A,B,广义加法公式,(,事件的交或积,),A,B,A,B,事件,A,与事件,B,同时发生的事件，称为事件,A,与事件,B,的交,，,它是由属于事件,A,也属于事件,B,的所有公共样本点所组成的集合，记为,B,A,或,AB,广义加法公式,(,例题分析,),解：,设,A,=,员工离职是因为对工资不满意,B,=,员工离职是因为对工作不满意,依题意有：,P,(,A,),=0.40,；,P,(,B,),=0.30,；,P,(,AB,),=0.15,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)-,P,(,AB,),=0.40+0.30-0.15,=,0.55,【例】,一,家计算机软件开发公司的人事部门最近做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有,40%,是因为对工资不满意，有,30%,是因为对工作不满意，有,15%,是因为他们对工资和工作都不满意。求两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率,条件概率与事件的独立性,条件概率,(,conditional probability,),在事件,B,已经发生的条件下事件,A,发生的概率，称为已知事件,B,时事件,A,的条件概率，记为,P,(,A,|,B,),P,(,B,),P,(,AB,),P,(,A,|,B,)=,事件,B,及其概率,P,(,B,),事件,A,B,及其概率,P,(,A,B,),事件,A,事件,B,一旦事件,B,发生,条件概率,(,例题分析,),解：,设,A,=,顾客购买食品，,B,=,顾客购买其他商品,依题意有：,P,(,A,),=0.80,；,P,(,B,),=0.60,；,P,(,AB,),=0.35,【例】,一家超市所作的一项调查表明，有,80%,的顾客到超市是来购买食品，,60%,的人是来购买其他商品，,35%,的人既购买食品也购买其他商品。求：,(1),已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率,(2),已知某顾客购买其他,商品,的条件下，也购买食品的概率,条件概率,(,例题分析,),【例】,一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示,从这,200,个配件中任取一个进行检查，求,(1),取出的一个为正品的概率,(2),取出的一个为供应商甲的配件的概率,(3),取出一个为供应商甲的正品的概率,(4),已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率,甲乙两个供应商提供的配件,正品数,次品数,合计,供应商甲,84,6,90,供应商乙,102,8,110,合计,186,14,200,IBM,条件概率,(,例题分析,),解：,设,A,=,取出的一个为正品,B,=,取出的一个为供应商甲供应的配件,(1),(2),(3),(4),乘法公式,(,multiplicative,law,),用来计算两事件交的概率,以条件概率的定义为基础,设,A，B,为两个事件，若,P,(,B,)0，,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),或,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),乘法公式,(,例题分析,),【例】,一家报纸的发行部已知在某社区有,75%,的住户订阅了该报纸的日报，而且还知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概率为,50%,。求某住户既订阅日报又订阅晚报的概率,解：,设,A,=,某住户订阅了日报,B,=,某个订阅了日报的住户订阅了晚报,依题意有,：,P,(,A,),=0.75；,P,(,B,|,A,)=0.50,P,(,A,B,),=,P,(,A,),P,(,B,|,A,)=0.750.5=,0.375,独立事件与乘法公式,(,例题分析,),【例】,从一个装有,3,个红球,2,个白球的盒子里摸球,(,摸出后球不放回,),，求连续两次摸中红球的概率,解：,设,A,=,第2,次摸到红球,B,=,第1,次摸到红球,依题意有,：,P,(,B,),=3/5；,P,(,A,|,B,)=2/4,P,(,A,B,),=,P,(,A,),P,(,B,|,A,)=3/52/4=,0.3,独立事件与乘法公式,(,independent events),若,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),或,P,(,B,|,A,)=,P,(,B,)，,则称事件,A,与,B,事件独立，或称独立事件,若两个事件相互独立，则这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积，即,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),若事件,A,1,A,2,A,n,相互独立，则,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,),P,(,A,2,),P,(,A,n,),独立事件与乘法公式,(,例题分析,),【例】,一个旅游景点的管理员根据以往的经验得知，有,80%,的游客在古建筑前照相留念。求接下来的两个游客都照相留念的概率,解：,设,A,=,第一个游客照相留念,B,=,第二个游客照相留念,两个游客都照相留念是两个事件的交。在没,有其他信息的情况下，我们可以假定事件,A,和事件,B,是相互独立的，所以有,P,(,A,B,),=,P,(,A,),P,(,B,)=0.800.80=,0.64,独立事件与乘法公式,(,例题分析,),【例】,假定我们是从两个同样装有,3,个红球,2,个白球的盒子摸球。每个盒子里摸,1,个。求连续两次摸中红球的概率,解：,设,A,=,从第一个盒子里摸到红球,B,=,从第二个盒子里摸到红球,依题意有,：,P,(,A,),=3/5；,P,(,B,|,A,)=3/5,P,(,A,B,),=,P,(,A,),P,(,B,|,A,)=3/53/5=,0.36,全概,公式与逆概公式,全概公式,全概公式,B,2,B,5,B,4,B,1,B,3,完备事件组,全概公式,(,例题分析,),【例】,假设在,n,张彩票中只有一张中奖奖券，那么第二个人摸到奖券的概率是多少？,解：,设,A,=,第二个人摸到奖券，,B,=,第一个人摸到奖券,依题意有,：,P,(,B,),=1/,n,；,P,(,B,)=(,n,-1)/,n,P,(,A,|,B,)=0；,P,(,A,|,B,)=1/(,n,-1),逆概公式,逆概公式,(,贝叶斯公式,),P,(,B,i,),被称为事件,B,i,的先验概率,(,prior probability,),P,(,B,i,|,A,),被称为事件,B,i,的后验概率,(,posterior probability),逆概公式,(,例题分析,),【例】,某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为,1/2,，而他不知道正确答案时猜对的概率应该为,1/4,。考试结束后发现他答对了，那么他知道正确答案的概率是多大呢？,解：,设,A,=,该考生答对了，,B,=,该考生知道正确答案,依题意有,：,P,(,B,),=1/2；,P,(,B,)=1-1/2=1/2,P,(,A,|,B,),=1/4；,P,(,A,|,B,)=1,5.,2,离散型概率分布,5.2.1,随机变量,5.2.2,离散型随机变量的概率分布,5.2.3,离散型随机变量的数学期望和方差,5.2.4,几种常用的离散型概率分布,随机变量,随机变量,(,random variables),一次试验的结果的数值性描述,一般,用,X,，,Y,，,Z,来表示,例如：投掷两枚硬币出现正面的数量,根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量,(,discrete random variables),随机变量,X,取有限个值或所有取值都可以逐个列举,出来,x,1,x,2,，,以确定的概率取这些不同的值,离散,型随机变量的一些例子,试验,随机变量,可能的取值,抽查,100,个,产品,一家餐馆营业一天,电脑公司一个月的销售,销售一辆汽车,取到次品的个数,顾客数,销售量,顾客性别,0,1,2,100,0,1,2,0,1,2,男性为,0,女性为,1,连续型随机变量,(,continuous random variables),可以取一个或多个区间中任何值,所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点,连续型随机变量的一些例子,试验,随机变量,可能的取值,抽查一批电子元件,新建一座住宅楼,测量一个产品的,长度,使用寿命,(,小时,),半年后工程完成的百分比,测量误差,(,cm),X,0,0,X,100,X,0,离散型随机变量的概率分布,离散型随机变量的概率分布,列出离散型随机变量,X,的所有可能取值,列出随机变量取这些值的概率,通常用下面的表格来表示,X,=,x,i,x,1,，,x,2,，,，,x,n,P,(,X,=,x,i,)=,p,i,p,1,，,p,2,，,，,p,n,P,(,X,=,x,i,)=,p,i,称为离散型随机变量的概率函数,p,i,0；,离散型随机变量的概率分布,(,例题分析,),【例】,投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型随机变量。写出掷一枚骰子出现点数的概率分布,X,=,x,i,1,2,3,4,5,6,P,(,X,=,x,i,),p,i,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,概率分布,离散型随机变量的概率分布,(,例题分析,),【例】,一部电梯在一周内发生故障的次数,X,及相应的概率如下表,故障次数,X,=,x,i,0,1,2,3,概率,P,(,X,=,x,i,),p,i,0.10,0.25,0.35,一部电梯一周发生故障的次数及概率分布,(1),确定,的值,(2),求正好发生两次故障的概率,(3),求故障次数多于一次的概率,(4),最多发生一次故障的概率,离散型随机变量的概率分布,(,例题分析,),解：,(1),由于,0.10+0.25+0.35+,=1,所以，,=0.30,(2),P,(,X,=2)=0.35,(3),P,(,X,2)=0.10+0.25+0.35=0.70,(4),P,(,X,1,)=0.35+0.30=0.65,离散型随机变量的数学期望和方差,离散型随机变量的数学期望,(,expected value),离散,型随机变量,X,的所有可能取值,x,i,与其,取相对应的,概率,p,i,乘积之和,描述离散型随机变量取值的集中程度,记为,或,E,(,X,),计算,公式为,离散型随机变量的方差,(,variance,),随机变量,X,的,每一个取值与期望值的离差平方和的数学,期望，记为,2,或,D,(,X,),描述离散型随机变量取值的分散程度,计算公式为,方差的平方根称为标准差，记为,或,离散型数学期望和方差,(,例题分析,),【例】,一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件,100,个中拥有次品的个数及概率如下表,次品数,X,=,x,i,0,1,2,3,概率,P,(,X,=,x,i,),p,i,0.75,0.12,0.08,0.05,每100,个配件中的次品数及概率分布,求该供应商次品数的数学期望和标准差,几种常用的离散型概率分布,常用离散型概率分布,两点分布,一个离散型随机变量,X,只取,0和1,两个可能的值,它们的概率分布为,或,也称,0-1,分布,两点分布,(,例题分析,),【例】,已知一批产品的次品率为,p,0.04，,合格率为,q,=1-,p,=1-0.04=0.96。,并指定废品用,1,表示，合格品用,0,表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为,X,=,x,i,0 1,P,(,X,=,x,i,)=,p,i,0.05 0.95,0.5,0,1,1,x,P,(,x,),二项试验,(,伯努利试验,),二项分布与伯努利试验有关,伯努利试验满足下列条件,一次试验只有两个可能结果，即,“,成功,”,和,“,失败,”,“,成功,”,是指我们感兴趣的某种特征,一次试验“成功”的概率为,p,，,失败的概率为,q,=1-,p,，,且概率,p,对每次试验都是相同的,试验是相互独立的，并,可以重复进行,n,次,在,n,次试验中，,“,成功,”,的次数对应一个离散型随机变量,X,二项分布,(,binomial distribution),重,复,进行,n,次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为,X,B,(,n,，,p,),设,X,为,n,次重复试验中出现成功的次数，,X,取,x,的概率为,二项分布,对,于,P,(,X,=,x,),0，,x,=1,2,n,，,有,同,样有,当,n,=,1,时,，二项分布化简为,二项分布,(,数学期望和方差,),数,学期望,=,E,(,X,)=,np,方差,2,=,D,(,X,)=,npq,0.0,0.2,0.4,0.6,0,1,2,3,4,5,X,P,(,X,),n,=5,p,=0.5,0.2,0.4,0.6,0,1,2,3,4,5,X,P,(,X,),n,=5,p,=0.1,二项分布,(,例题分析,),【例】,已知一批产品的次品率为,4%，,从中任意有放回地抽,取,5,个。求,5,个产品中,(1),没有次品的概率是多少？,(2),恰好有,1,个次品的概率是多少？,(3)有,3,个以下次品的概率是多少？,二项分布,(用,Excel,计算概率,),第1,步：,进入,Excel,表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格,第,2,步：,在,Excel,工作表中，直接单击,【,f(x),】(,粘贴函数,),命令,第,3,步：,在复选框“函数分类”中,单,击,【,统计,】,选项，在“函数,名”中,单,击,【,BINOMDIST,】,选项，然后确定,第,4,步：,在,【,Number_s,】,后填入试验成功次数,(,本例为,1,),在,【,Trials,】,后填入总试验次数,(,本例为,5,),在【,Probability_s,】,后填入试验的成功概率,(,本例为,0.04,),在,【,Cumulative,】,后填入,0(,或,FALSE,)，,表示,计算成功次数恰好等于指定数值的概率,(,填入,1,或,TRUE,表示计算成功次数小于或等于指定数值的累积,概率值,),用,Excel,计算概率,二项分布,(,用,Excel,生成累积二项分布概率表,),第1,步：,将试验次数的数值输入到工作表的,A,列,试验成功的次数输入到,B,列,每次试验成功的概率输入到,第1,行,形成二项分布的表头,第,2,步：,在,C3,单元格输入公式,“=,BINOMDIST($B3,$A2,C$2,1)”,然后将其向下、向右复制即可,用,Excel,生成累积二项分布概率表,泊松分布,(,Poisson distribution),1837,年法国数学家泊松,(,D.Poisson，17811840),首次提出,用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布,泊松分布的例子,一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数,一定时间内，到车站等候公共汽车的人数,一定路段内，路面出现大损坏的次数,一定时间段内，放射性物质放射的粒子数,一匹布上发现的疵点个数,一定页数的书刊上出现的错别字个数,泊松分布,(,概率分布函数,),给定的时间间隔、长度、面,积、体积内“成功”的平均数,e=2.71828,x,给定的时间间隔、长度、面,积、体积内“成功”的次数,泊松分布,(,数学期望和方差,),数学期望,E,(,X,)=,方,差,D,(,X,)=,0.0,0.2,0.4,0.6,0,1,2,3,4,5,X,P,(,X,),0.0,0.2,0.4,0.6,0,2,4,6,8,10,X,P,(,X,),l,=6,l,=0.5,泊松分布,(,例题分析,),【例】,假定某航空公司预订票处平均每小时接到,42,次订票电话，那么,10,分钟内恰好接到,6,次电话的概率是多少？,解：,设,X,=,10,分钟内航空公司预订票处接到的电话次数,泊松分布,(用,Excel,计算概率,),第1,步：,进入,Excel,表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格,第,2,步：,在,Excel,表格界面中，直接单击,【,f,(,x,),】,命令,第,3,步：,在复选框“函数分类”中,单,击,【,统计,】,选项，并在“函数,名”中,单,击,【,POISSON,】,选项，然后,单,击,【确定,】,第4,步：,在,【,X,】,后填入事件出现的次数,(,本例为,6,),在,【,Means,】,后填入泊松分布的均值,(,本例为,7),在,【,Cumulative,】,后填入,0,(,或,FALSE,)，,表示计算成,功次数恰好等于指定数值的概率,(,填入,1,或,TRUE,表示,计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值,),用,Excel,计算概率,泊松分布,(,作为二项分布的近似,),当试验的,次数,n,很大，成功的概率,p,很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即,实际应用,中，当,P,0.05，,n,20,，,np,5,时，近似效果良好,超几何分布,(,hypergeometric,distribution,),采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等,总体元素的数目,N,很小，或样本容量,n,相对于,N,来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布,概率分布函数为,超几何分布,(,例题分析,),【例】,假定有,10,支股票，其中有,3,支购买后可以获利，另外,7,支购买后将会亏损。如果你打算从,10,支股票中选择,4,支购买，但你并不知道哪,3,支是获利的，哪,7,支是亏损的。求,(1)有,3,支能获利的股票都被你选中的概率有多大？,(2)3,支可获利的股票中有,2,支被你选中的概率有多大？,解：,设,N,=,10,，,M,=3，,n,=4,超几何分布,(用,Excel,计算概率,),第1,步：,进入,Excel,表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格,第,2,步：,在,Excel,工作表中，直接单击,【,f,(,x,),】(,插入函数,),命令,第,3,步：,在复选框“函数分类”中单击,【,统计,】,选项，并在“函数,名”中单击,【,HYPGEOMDIST,】,选项，然后,单击,【确定,】,第4,步：,在,【,Sample_s,】,后填入样本中成功的次数,x,(,本例为,3,),在【,Number_sample,】,后填入样本容量,n,(,本例为,4,),在【,Population_s,】,后填入总体中成功的次数,M,(,本例,为,3,),在,【,Number_pop,】,后填入总体中的个体总数,N,(,本例为,10,),用,Excel,计算概率,5.,3,连续型概率分布,5.3.1,概率密度函数,5.3.2,正态分布,5.3.3,其他连续型概率分布,常用连续型概率分布,概率密度函数,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值,它取任何一个特定的值的概率都等于,0,不能列出每一个值及其相应的概率,通常研究它取某一区间值的概率,用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述,概率密度函数,(,probability density function),设,X,为一连续型随机变量，,x,为任意实数，,X,的概率密度函数记为,f,(,x,)，,它满足条件,f,(,x,),不是概率,概率密度函数,密度函数,f,(,x,),表示,X,的所有取值,x,及其频数,f,(,x,),值,(值,频数,),频数,f,(,x,),a,b,x,概率密度函数,在平面直角坐标系中画出,f,(,x,),的图形，则对于任何实数,x,1,x,2,，,P,(,x,1,X,x,2,),是该曲线下从,x,1,到,x,2,的,面积,f,(,x,),x,a,b,概率是曲线下的面积,分布函数,(,distribution function),连续,型随机变量的概率可以用分布函数,F,(,x,),来表示,分,布函数定义为,根,据分布函数，,P,(,a,X,b,),可以写为,分布函数与密度函数的图示,密度函数曲线下的面积等于,1,分布函数是曲线下小于,x,0,的面积,f,(,x,),x,x,0,F,(,x,0,),连续型随机变量的期望和方差,连续型随机变量的数学期望,方差,正态分布,正态分布,(,normal distribution),由,C.F.,高斯,(,Carl Friedrich Gauss,，,1777,1855,),作为描述误差相对频数分布的模型而提出,描述连续型随机变量的最重要的分布,许多现象都可以由正态分布来描述,可用于近似离散型随机变量的分布,例如：二项分布,经典统计推断的基础,x,f,(,x,),概率密度函数,f,(,x,)=,随机变量,X,的频数,=,正态随机变量,X,的均值,=,正态随机变量,X,的方差,=3.1415926,;,e=,2.71828,x,=,随机变量的取值,(-,x,5,，,n,(,1-p,),=100,(1-0.2=805),均匀分布,均匀分布,(,uniform distribution),若随机,变量,X,的概率密度函数为,称,X,在,a,b,上,服从均匀分布，记为,X,U,a,b,数学,期望和方差,x,f,(,x,),b,a,c,d,均匀分布,(,概率计算,),随机,变量,X,在某取值范围,a,b,的任一子区间,c,d,上取值的概率为,同样有,均匀分布,(,例题分析,),【例】,某公共汽车站从早上,6,时起每隔,15,min,开出一趟班车，假定某乘客在,6,点以后到达车站的时刻是随机的，所以有理由认为他等候乘车的时间长度,X,服从参数为,a,=0，,b,=15,的均匀分布。试求该乘客等候乘车的时间长度少于,5,min,的概率,解：,概率密度函数为,落入区间,0,，,15,的任一子区间,0,，,d,的概率是 ，等候乘车的时间长度少于,5,min,即有,d,=5,，,因此该事件发生的概率等于,5/15=1/3,指数分布,指数分布,(,exponential distribution,),若随机,变量,X,的概率密度函数为,称,X,服从参数为,的指,数,分布，记为,X,E,(,),数学,期望和方差,X,f(X),=2.0,=0.5,指数分布,(,概率计算,),随机,变量,X,取小于或等于某一特定值,x,的概率为,随机,变量,X,落入任一区间,(,a,，,b,),的概率为,指数分布,(,例题分析,),【例】,假定某加油站在一辆汽车到达之后等待下一辆汽车到达所需要的时间,(,单位：,min),服从参数为,1/5,的指数分布，如果现在正好有一辆汽车刚刚到站加油，试分别求以下几个事件发生的概率：,(1),一辆汽车到站前需要等待,5,min,以上,(2),一辆汽车到站前需要等待,5,10,min,解：,指数分布,(用,Excel,计算概率,),第1,步：,进入,Excel,表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格,第,2,步：,在,Excel,表格界面中，直接单击,【,f,(,x,),】(,粘贴函数,),命令,第,3,步：,在复选框“函数分类”中单击,【,统计,】,选项，并在“函数,名”中单击,【,EXPONDIST,】,选项，然后单击【确定,】,第4,步：,在,【,X,】,后填入指数分布函数计算的区间点,(,本例为,5),在,【,Lambda,】,后填入参数,(,本例为,0.2),在,【,Cumulative,】,后填入,1,(或,TRUE),表示计算事件,出现次数小于或等于指定数值的累积概率值,(,填入,0,或,FALSE,则表示计算事件出现次数大于指定数值的累积,概率值,),用,Excel,计算概率,Excel,中的统计函数,BINOMDIST,计算二项分布的概率,POISSON,计算泊松分布的概率,HYPGEOMDIST,计算超几何分布的概率,NORMDIST,计算正态分布的概率,NORMINV,计算正态分布的区间点,(,临界值,),NORMSDIST,计算标准正态分布的概率,NORMSINV,计算标准正态分布的区间点,(,分位数,),本章小结,事件及其概率,离散型概率分布,两点分布,二项分布,泊松分布,连续型概率分布,正态分布,均匀分布,指数分布,用,Excel,计算分布的概率,结 束,THANKS,