第三章1-2节导数.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1,导数概念,第三章 函数与微分,引例,1,变速直线运动的瞬时速度问题,:,设某物体作变速直线运动，从某时刻(不妨设为0）,到时刻,t,所通过的路程为,s,。,显然，路程,s,是时刻,t,的函数。如果已知路程函数为,s,=,s,(,t,),求该物体在时刻,t,0,时的瞬时速度,v,(,t,0,).,一、问题的提出,引例,1,分析与求解,从时刻,t,0,到时刻 ,物体,所通过的路程为,称比值 为物体在时间区间,内的平均速度，即,于是，物体在时刻,t,0,的,瞬时速度,v,(,t,0,),就为,引例2,平面曲线在一点处的切线斜率问题：,设平面曲线的方程为,y,=,f,(,x,),求该曲线在点 处,的切线斜率,其中,L,M,作割线 的斜率,引例2,分析与求解,L,切线问题,割线的极限位置,切线位置,切线问题,割线的极限位置,切线位置,切线问题,割线的极限位置,切线位置,切线问题,割线的极限位置,切线位置,切线问题,割线的极限位置,切线位置,切线问题,割线的极限位置,切线位置,切线问题,割线的极限位置,切线位置,切线问题,割线的极限位置,切线位置,切线问题,割线的极限位置,切线位置,割线的极限位置切线位置!,割线,（,切线,）,割线斜率的极限是,切线斜率,!,当,二.,导数的定义,表述定义：,函数在点,x,0,取得,的增量,y,与自变量增量,x,之比的极限定义为函数在点,x,0,的,导数,（,变化率,）,设函数,y=f(x),在 有定义，则称,为函数,f(x),在,x=x,0,的,导数,，,记为,称,f(x),在,x,0,可导,，称,x,0,是,f(x),的,导数存在的点,分析定义,（,函数在,x,0,的导数,）,（定义式）,导数的其它常用记号,其它形式,即,注记,：,当极限 存在时，才称可导，极限值称,为导数；,当极限 不存在时，称,f(x),在,x,0,不可导，,或导数不存在。特别地，时，有时也称,f(x,),在,x,0,的导数为无穷大；,导数的一个等价形式：,左导数和右导数定义,左导数,：,(,当极限存在）,右导数：,（当极限存在）,y=f(x),在,x,0,可导的充要条件,y=f(x),在,x,0,可导,即,关于导数的说明：,导函数,f(x,),的导函数,f,(,x)x,(,a，b)，,简称导数,f,(,x)x,(,a，b,),f(x,),在,x,0,的导数等于导函数,f,(,x),在,x,0,的函数值，,注记,：,三、由定义求导数,步骤,:,例1,解,例2,解,一般地,：,解,更一般地,例如,例3,解,同理:,例4,解,当,例5,解,例6,求分段函数,在点,x=0,处的导数。,解,?,0,解,例7,证明函数 在,x=0,处连续,但不可导,证,如果函数,y=f(x),在开区间(,a,b),内可导，且,f,+,(a),及,f,-,(b),都存在就说,f(x),在闭区间,a,b,上可导,。,函数在闭区间可导,四、导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,解,y,=2,x,曲线在（-1，1）处的切线方程为,法线方程为,例,求抛物线 在点(-1，1)处,的切线方程和法线方程,例,7,解,由导数的几何意义,得切线斜率为,切线方程为,法线方程为,可导,(,f(x),在,x,0,可导,),连续,(,f(x),在,x,0,连续),五、函数可导与连续的关系,证,0,角点的情形不可导,注记1：,连续函数不存在导数举例,0,1,例如,注记2：,例如,0,1,1/,1/,注记3：,注记4：,例8,设 在,x=0,处可导，,求,a，b,之值,解,可导必连续,连续必有,而,b=1,可导,而,六、小结,1.,导数的实质,:,增量比的极限,;,3.,导数的几何意义,:,切线的斜率,;,4.,函数可导一定连续，但连续不一定可导,;,5.,求导数最基本的方法,:,由定义求导数,.,6.,判断可导性,不连续,一定不可导,.,连续,直接用定义,;,看左右导数是否存在且相等,.,求导公式,(1),（,C,）,=0,(2),（,x,n,）=n x,n-1,(3),（,a,x,）=a,x,lna,(4),(5),（,sinx,）=,cosx,（,cosx,）=,-,sinx,思考题,思考题解答,作业,习题三,