高三数学高考(理)总复习系列课件：2.5二次函数人教大纲版 高三数学高考(理)总复习系列课件： 函 数人教大纲版 高三数学高考(理)总复习系列课件： 函 数人教大纲版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.,二次函数解析式的三种形式,(1),一般式：,f,（,x,）,=,.,(2),顶点式：,f,(,x,)=,.,(3),零点式：,f,(,x,)=,.,求二次函数解析式的方法：待定系数法,.,根据所,给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式,中的一种来求,.,2.5,二次函数,基础知识 自主学习,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),a,(,x,-,m,),2,+,n,(,a,0),a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)(,a,0),已知三个点的坐标时，宜用一般式,.,已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大,（小）值有关时，常使用顶点式,.,已知抛物线与,x,轴有两个交点，且横坐标已知时，,选用零点式求,f,(,x,),更方便,.,2.,二次函数的图象和性质,图象,函数性质,a,0,定,义,域,x,R,（个别题目有限制的，由解,析式确定）,值,域,a,0,a,0,a,0,时，,图象与,x,轴有两个交点,M,1,(,x,1,，,0),、,M,2,(,x,2,，,0),，,4.,三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二,次不等式）,.,在高考中三个二次不仅是各种问题转化的最后,的落脚点，而且单纯的三个二次问题间的相互,转化有时技巧性也会很强,.,基础自测,1.,函数,y,=,x,2,+,bx,+,c,（,x,0,，,+,）是单调函数的,充要条件是（）,A.,b,0 B.,b,0,C.,b,0D.,b,0,解析,b,0.,故选,A.,A,2.,方程,a,2,x,2,+,ax,-2=0(|,x,|1),有解，则 （）,A.|,a,|1 B.|,a,|2,C.|,a,|1 D.,a,R,解析,原方程可分解为,(,ax,+2)(,ax,-1)=0,ax,=-2,或,ax,=1,则有,|,a,|2,或,|,a,|1.,即,|,a,|1.,A,3.,一次函数,y,=,ax,+,b,与二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,在同一坐标,系中的图象大致是 （）,解析,选项,A,中,一次函数的斜率,a,0,而二次函数,开口向下，相互矛盾，排除,A.,同理排除,D,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的对称轴为,当,a,0,b,0,时，排除,B.,当,a,0,b,f,(3),B.,f,(3),f,(2),C.,f,(3)=,f,(2),D.,f,(3),与,f,(2),的大小关系不能确定,解析,f,(4)=,f,(1),选,C.,C,5.,若二次函数,f,(,x,),满足,f,(,x,+1)-,f,(,x,)=2,x,且,f,(0)=1,则,f,(,x,),的表达式为（）,A.,f,(,x,)=-,x,2,-,x,-1,B.,f,(,x,)=-,x,2,+,x,-1,C.,f,(,x,)=,x,2,-,x,-1,D.,f,(,x,)=,x,2,-,x,+1,解析,方法一,由,f,(0)=1,可得,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+1,(,a,0),，用排除法可选,D.,方法二,由,f,(0)=1,可得,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+1(,a,0),故,f,(,x,+1)=,a,(,x,+1),2,+,b,(,x,+1)+1.,f,(,x,+1)-,f,(,x,)=2,ax,+,a,+,b,由已知：,f,(,x,+1)-,f,(,x,)=2,x,即,2,ax,+,a,+,b,=2,x,.,答案,D,题型一 二次函数的解析式的求法,【,例,1,】,已知二次函数,f,(,x,),满足,f,(2)=-1,f,(-1)=-1,且,f,(,x,),的最大值是,8,，求此二次函数的解析式,.,确定二次函数采用待定系数法，有三,种形式，可根据条件灵活运用,.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解,方法一,设,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),依题意有,所求二次函数为,y,=-4,x,2,+4,x,+7.,方法二,设,f,(,x,)=,a,(,x,-,m,),2,+,n,.,f,(2)=,f,(-1),抛物线对称轴为,m,=,又根据题意函数有最大值为,n,=8,，,y,=,f,（,x,）,=,f,（,2,）,=-1,，,解之，得,a,=-4.,方法三,依题意知：,f,(,x,)+1=0,的两根为,x,1,=2,x,2,=-1,故可设,f,(,x,)+1=,a,(,x,-2)(,x,+1),即,f,(,x,)=,ax,2,-,ax,-2,a,-1.,又函数有最大值,y,max,=8,即,解之，得,a,=-4,或,a,=0(,舍去）,.,函数解析式为,f,(,x,)=-4,x,2,+4,x,+7.,二次函数的解析式有三种形式：,(1),一般式：,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),(2),顶点式：,f,(,x,)=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0),(3),两点式：,f,(,x,)=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)(,a,0),具体用哪种形式，可根据具体情况而定,.,探究提高,知能迁移,1,设二次函数,f,(,x,),满足,f,(,x,+2)=,f,(2-,x,),，且,f,（,x,）,=0,的两实数根平方和为,10,，图象过点,(0,3),求,f,（,x,）的解析式,.,解,设,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0).,由,f,(,x,+2)=,f,(2-,x,),知，该函数图象关于直线,x,=2,对称,即,b,=-4,a,.,又图象过（,0,，,3,）点，,c,=3.,b,2,-2,ac,=10,a,2,.,由得,a,=1,b,=-4,c,=3.,故,f,（,x,）,=,x,2,-4,x,+3.,题型二 二次函数的图象与性质,【,例,2,】,已知函数 在区间,0,1,上的最大值是,2,，求实数,a,的值,.,研究二次函数在给定区间上的最值问,题，要讨论对称轴与给定区间的关系,.,解,对称轴为,思维启迪,(1),当,0 1,，即,0,a,2,时，,得,a,=3,或,a,=-2,与,0,a,2,矛盾,.,不合要求；,(2),当,0,，即,a,1,，即,a,2,时，,y,在,0,，,1,上单调递增，,有,y,max,=,f,(1),f,(1)=2,综上，得,a,=-6,或,a,=,探究提高,(1),要注意抛物线的对称轴所在的位置对,函数最值的影响,.,(2),解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二,次函数化为,y,=,a,(,x,-,m,),2,+,n,的形式，得顶点（,m,，,n,）或,对称轴方程,x,=,m,，分三个类型：,顶点固定，区间固定；,顶点含参数，区间固定；,顶点固定，区间变动,.,知能迁移,2,已知函数,f,(,x,)=-,x,2,+8,x,求函数,f,(,x,),在区间,t,t,+1,上的最大值,h,(,t,).,解,f,（,x,）,=-,x,2,+8,x,=-(,x,-4),2,+16,当,t,+14,即,t,4,时，,f,(,x,),在,t,t,+1,上单调递减,.,此时,h,(,t,)=,f,(,t,)=-,t,2,+8,t,.,综上可知,题型三 二次函数的综合应用,【,例,3,】,（,14,分）已知二次函数,y,=,f,(,x,),的图象与,x,轴,交于,A,，,B,两点，且 它在,y,轴上的截距,为,4,又对任意的,x,都有,f,(,x,+1)=,f,(1-,x,).,（,1,）求二次函数的表达式；,（,2,）若二次函数的图象都在直线,l,:,y,=,x,+,c,的下方，,求,c,的取值范围,.,先根据性质特征：关于,x,=1,对称，可设,为顶点式再待定系数,.,思维启迪,解题示范,解,（,1,）,方法一,f,（,x,+1,）,=,f,（,1-,x,），,y,=,f,（,x,）的对称轴为,x,=1,，,2,分,又,f,(,x,),为二次函数，,可设,f,(,x,)=,a,(,x,-1),2,+,k,(,a,0),又当,x,=0,时，,y,=4,a,+,k,=4,得,f,(,x,)=,a,(,x,-1),2,-,a,+4,令,f,(,x,)=0,得,a,(,x,-1),2,=,a,-4.,6,分,即,f,(,x,)=-2(,x,-1),2,+6=-2,x,2,+4,x,+4.,8,分,方法二,令二次函数,y,=,f,(,x,),的图象与,x,轴交于,A,（,x,1,，,0,），,B,（,x,2,，,0,），（,x,2,x,1,）,f,（,x,+1,）,=,f,（,1-,x,），,x,1,+,x,2,=2,，,x,2,-,x,1,=,，得,3,分,设二次函数,又,f,(0)=4,则,a,=-2.,即,f,(,x,)=-2(,x,-1),2,+6=-2,x,2,+4,x,+4.,8,分,(2),由条件知,-2,x,2,+4,x,+40,对,x,R,恒成立,.,12,分,14,分,探究提高,（,1,）求二次函数的解析式问题，一般都,采用待定系数法，就是根据条件先确定什么形式,.,如,一般式、顶点式、两点式等,.,（,2,）在研究二次函数图象在直线上方或下方，通常,是构造不等式，这也是数形结合的一个重要方面,.,知能迁移,3,已知二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,(,a,、,b,为常,数且,a,0),满足条件：,f,(-,x,+5)=,f,(,x,-3),且方程,f,(,x,)=,x,有等根,.,（,1,）求,f,(,x,),的解析式；,（,2,）设,g,(,x,)=,f,(,x,)+,tx,(,t,R,),，试求,g,(,x,),在区间,-1,1,上的最小值；,（,3,）是否存在实数,m,、,n,(,m,n,),，使,f,(,x,),的定义域,和值域分别是,m,，,n,和,3,m,3,n,?,如果存在，,求出,m,、,n,的值，若不存在，请说明理由,.,解,（,1,）,f,(-,x,+5)=,f,(,x,-3),f,(,x,),的对称轴,又,f,(,x,)=,x,有等根，,ax,2,+(,b,-1),x,=0,有等根,.,（,2,）其对称轴为,x,=,t,+1,函数,图象是开口向下的抛物线，故求最小值只需讨论区,间两个端点,-1,与,1,离对称轴的距离,.,当,t,+10,，即,t,-1,时，为最小值；,当,t,+10,，即,t,-1,时，为最小值,.,（,3,）假设存在这样的,m,、,n,满足条件，,故二次函数,f,(,x,),在区间,m,n,上是增函数，,m,n,m,=-4,n,=0.,思想方法 感悟提高,方法与技巧,1.,数形结合是讨论二次函数问题的基本方法,.,特别,是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合,图形寻找思路,.,2.,含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是,分类讨论,.,比如讨论二次函数的对称轴与给定区,间的位置关系，又例如牵涉二次不等式需讨论,根的大小等,.,3.,求二次函数解析式的方法有：（,1,）一般式：,y,=,ax,2,+,bx,+,c,（,a,0,）,;(2),顶点式：,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,;,(3),两点式：,y,=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,).,4.,关于二次函数,y,=,f,(,x,),对称轴的判断方法：,（,1,）对于二次函数,y,=,f,(,x,),对定义域内所有,x,都有,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,),那么函数,y,=,f(x,),图象的对称轴方程为,:,(2),对于二次函数,y,=,f,(,x,),对定义域内所有,x,都有,f,(,a,+,x,)=,f,(,a,-,x,),成立，那么函数,y,=,f,(,x,),图象的对称,轴方程为：,x,=,a,(,a,为常数,).,（,3,）对于二次函数,y,=,f,(,x,),对定义域内所有,x,都有,f,(,x,+2,a,)=,f,(,x,),，那么函数,y,=,f,(,x,),图象的对称轴方程,为,:,x,=,a,(,a,为常数,).,注意：（,2,）（,3,）中，,f,（,a,+,x,）,=,f,(,a,-,x,),与,f,(,x,+2,a,)=,f,(,x,),是等价的,.,（,4,）利用配方法求二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),对称,轴方程为,(5),利用方程根法求对称轴方程,.,若二次函数,y,=,f,(,x,）,对应方程为,f,(,x,)=0,两根为,x,1,、,x,2,那么函数,y,=,f,(,x,),图,象的对称轴方程为：,失误与防范,1.,求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟,练准确利用配方法,.,2.,对于函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,要认为它是二次函数，就必,须认定,a,0,，当题目条件中未说明,a,0,时，就要,讨论,a,=0,和,a,0,两种情况,.,3.,对于二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),给定了定义域为,一个区间,k,1,，,k,2,时，利用配方法求函数的最值,是极其危险的，一般要讨论函数图象的,对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四,种情况：,对于这种情况，也可以利用导数法求,函数在闭区间的最值方法求最值,.,这两种方法运,算量相当,.,4.,注意判别式作用，正确利用判别式,.,定时检测,一、选择题,1.,已知二次函数,y,=,x,2,-2,ax,+1,在区间（,2,，,3,）内是单调,函数，则实数,a,的取值范围是 （）,A.,a,2,或,a,3B.2,a,3,C.,a,-3,或,a,-2D.-3,a,-2,解析,本题考查二次函数图象及其性质，由于,二次函数的开口向上，对称轴为,x,=,a,，若使其在,区间（,2,，,3,）内是单调函数，则需所给区间在,对称轴的同一侧，即,a,2,或,a,3.,A,2.,已知,2,x,2,-3,x,0,，那么函数,f,(,x,)=,x,2,+,x,+1,（）,A.,有最小值 但无最大值,B.,有最小值 有最大值,1,C.,有最小值,1,，有最大值,D.,无最小值，也无最大值,解析,由,2,x,2,-3,x,0,得,故选,C.,C,3.,如果,f,(,x,)=,x,2,+,bx,+,c,对任意实数,t,都有,f,(,t,+2)=,f,(2-,t,),，,那么 （）,A.,f,(2),f,(1),f,(4)B.,f,(1),f,(2),f,(4),C.,f,(2),f,(4),f,(1)D.,f,(4),f,(2),f,(1),解析,由,f,(,t,+2)=,f,(2-,t,),知,f,(,x,),的对称轴为：,x,=2,f,(,x,),在,2,+,）上单调递增，,f,(2),f,(3),f,(4),又,f,(1)=,f,(2,2-1)=,f,(3),f,(2),f,(1)0,m,=0,符合题意,.,若,m,0,，在,x,0,；在,x,0,时，,g,(,x,)0,需要,f,(,x,)=2,x,2,+(4-,m,),x,+4-,m,0,在,0,，,+,）上,恒成立,.,m,0,，在,x,0,时，,g,(,x,)0;,在,x,0,时，,g,(,x,)0,需使,f,(,x,)=2,x,2,+(4-,m,),x,+4-,m,0,在（,-,，,0,上恒,成立，,综上可知，,m,0,1,2,则,实数,m,的取值范围是,.,解析,方法一,方法二,设,f,(,x,)=,x,2,-,mx,+1,=1,且,1,2,0,1.,由图可知，,f,（,1,）,f,(2)=(2-,m,)(5-2,m,)0,b,R,c,R,).,（,1,）若函数,f,(,x,),的最小值,f,(-1)=0,且,c,=1,（,2,）若,a,=1,c,=0,且,|,f,(,x,)|1,在区间,(0,1,恒成,立，试求,b,的取值范围,.,解,（,1,）由已知,c,=1,a,-,b,+,c,=0,且,解得,a,=1,b,=2.,f,(,x,)=(,x,+1),2,.,F,(2)+,F,(-2)=(2+1),2,+,-(-2+1),2,=8.,（,2,）,f,(,x,)=,x,2,+,bx,，原命题等价于,-1,x,2,+,bx,1,在,(0,1,上恒成立，,11.,已知,a,、,b,、,c,、,d,是不全为零的实数，函数,f,(,x,)=,bx,2,+,cx,+,d,g,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,方程,f,(,x,)=0,有实,数根，且,f,(,x,)=0,的实数根都是,g,(,f,(,x,)=0,的根，反,之，,g,(,f,(,x,)=0,的实数根都是,f,(,x,)=0,的根,.,（,1,）求,d,的值；,（,2,）若,a,=0,，求,c,的取值范围,.,解,（,1,）设,r,为,f,(,x,)=0,的一个根，即,f,(,r,)=0,则由题意得,g,(,f,(,r,)=0,，于是,g,(0)=,g,(,f,(,r,)=0,即,g,(0)=,d,=0.,所以，,d,=0.,（,2,）由题意及,(1),知,f,(,x,)=,bx,2,+,cx,g,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,.,由,a,=0,得,b,c,是不全为零的实数，,且,g,(,x,)=,bx,2,+,cx,=,x,(,bx,+,c,),则,g,(,f,(,x,)=,x,(,bx,+,c,),bx,(,bx,+,c,)+,c,=,x,(,bx,+,c,)(,b,2,x,2,+,bcx,+,c,).,方程,f,(,x,)=0,就是,x,(,bx,+,c,)=0.,方程,g,(,f,(,x,)=0,就是,x,(,bx,+,c,)(,b,2,x,2,+,bcx,+,c,)=0.,(),当,c,=0,，,b,0,时，方程的根都是,x,=0,符合,题意,.,(),当,c,0,b,=0,时，方程的根都是,x,=0,符合,题意,.,(),当,c,0,b,0,时，方程的根为,也都是的根，但不是方程,b,2,x,2,+,bcx,+,c,=0,的实数根,.,由题意方程,b,2,x,2,+,bcx,+,c,=0,无实数根，,=(,bc,),2,-4,b,2,c,0,得,0,c,4.,综上所述：,c,的取值范围为,0,，,4,）,.,12.,已知函数,f,(,x,)=,x,2,g,(,x,)=,x,-1.,(1),若存在,x,R,使,f,(,x,),b,g,(,x,),，求实数,b,的取值范,围；,(2),设,F,（,x,）,=,f,(,x,)-,mg,(,x,)+1-,m,-,m,2,且,|,F,(,x,)|,在,0,，,1,上单调递增，求实数,m,的取值范围,.,解,（,1,）存在,x,R,f,(,x,),bg,(,x,),存在,x,R,x,2,-,bx,+,b,0,b,4.,(2),F,（,x,）,=,x,2,-,mx,+1-,m,2,=,m,2,-4(1-,m,2,）,=5,m,2,-4.,当,0,，即 时，则必需,当,0,即 时,设方程,F,(,x,)=0,的根为,x,1,x,2,(,x,1,x,2,).,若 ,1,则,x,1,0,若 ,0,则,x,2,0,综上所述：,-1,m,0,或,m,2.,返回,