第二章2.4.2抛物线的几何性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,抛物线的几何性质,07.01.05,前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么,?,一、复习回顾：,图 形,方 程,焦 点,准 线,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,y,2,=2,px,（,p,0,）,y,2,=-2,px,（,p,0,）,x,2,=2,py,（,p,0,）,x,2,=-2,py,（,p,0,）,练习,：填空（顶点在原点，焦点在坐标,轴上）,方程,焦点,准线,开口方向,开口向,右,开口向,左,开口向,上,开口向,下,P(x,y),一、,抛物线,的,几何性质,抛物线在,y,轴的右侧，当,x,的值增大时，,y,也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,1,、,范围,由抛物线,y,2,=2,px,（,p,0,）,而,所以抛物线的范围为,关于,x,轴,对称,由于点 也满,足 ，故抛物线,(p,0),关于,x,轴,对称,.,y,2,=2,px,y,2,=2,px,2,、对称性,P(x,y),定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线,的,顶点,。,P(x,y),由,y,2,=2,px,（,p,0,）,当,y=0,时,x=0,因此抛物线的,顶点,就是坐标原点,（,0,，,0,）,。,注,:,这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,、顶点,4,、,离心率,P(x,y),抛物线上的点与焦点的,距离,和它到准线的,距离,之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知,e=1,。,请自己推导其余三种标准方程抛物线的几何性质。,5,、开口方向,P(x,y),抛物线,y,2,=2,px,（,p,0,）的开口方向向右。,+X,，,x,轴正半轴，向右,-X,，,x,轴负半轴，向左,+y,，,y,轴正半轴，向上,-y,，,y,轴负半轴，向下,特点：,1.,抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线,;,2.,抛物线只有一条对称轴,没有,对称中心,;,3.,抛物线只有一个顶点、,一个焦点、一条准线,;,4.,抛物线的离心率是确定的,为,1;,思考,：抛物线标准方程中的,p,对抛物线开口的影响,.,P(x,y),（二）归纳：抛物线,的,几何性质,图 形,方程,焦点,准线,范围,顶点,对称轴,e,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,y,2,=2,px,（,p,0）,y,2,=-2,px,（,p,0）,x,2,=2,py,（,p,0）,x,2,=-2,py,（,p,0）,x0,yR,x0,yR,y0,xR,y,0,xR,(0,0),x,轴,y,轴,1,例,：,已知抛物线关于,x,轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点,M,（，）,，求,它的标准方程，并用描点法画出图形,。,因为抛物线关于,x,轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点,M,（，）,，,解：,所以设方程为：,又因为点,M,在,抛物线上,：,所以：,因此所求抛物线标准方程为：,（三）、,例题讲解：,作图：,(1),列表,（在第一象限内列表）,x,0,1,2,3,4,y,(2),描点,：,(3),连线,：,1,1,x,y,O,变式题,：,求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点,M,（，），,抛物线,的标准方程,。,练习,：,顶点在坐标原点，焦点在,y,轴上，并且经过点,M,（,4,),的,抛物线,的标准方程为,练习,2,：,顶点在坐标原点，对称轴是,X,轴，点,M,（,-5,),到焦点距离为,6,则,抛物线,的标准方程为,变式题,2,：,已,抛物线,C,的顶点在坐标原点，焦点,F,在,X,轴的正半轴上,若,抛物线,上一,动点,P,到,A(2,1/3),F,两点的距离之和最小值为,4,求,抛物线,的标准方程,例,2,、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为,60cm,灯深,40cm,，求抛物线的标准方程及焦点的位置。,F,y,x,O,解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，,x,轴垂直于灯口直径。,A,B,设抛物线的标准方程是：,由已知条件可得点,A,的坐标是（,40,，,30,），代入方程可得,所求的标准方程为,焦点坐标为,补充,（,1,）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线，,与抛物线相交于两点，连接这,两点的线段叫做抛物线的,通径,。,|PF|=x,0,+p/2,x,O,y,F,P,通径的长度,：,2P,P,越大,开口越开阔,（,2,）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的,焦半径,。,焦半径公式：,（标准方程中,2,p,的几何意义）,利用抛物线的,顶点,、通径的两个,端点,可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,已知抛物线的顶点在原点，对称轴为,x,轴，焦点在直线,3x-4y-12=0,上，那么抛物线通径长是,.,课堂练习：,例,3.,斜率为,1,的直线,l,经过抛物线,y,2,=4x,的焦点,且与,抛物线,相交于,A,，,B,两点，求线段,AB,的长。,（三）、,例题讲解：,结论：直线,l,经过抛物线,y,2,=2px,的焦点,且与,抛物线,相交于,A,，,B,两点，则线段,AB,的长,|AB|=x,1,+x,2,+P,.,练习,3,：,已知过抛物线,y,2,=9x,的焦点的,弦长为,12,则弦所在直线的,倾斜角,是,练习,4,：,若直线,l,经过抛物线,y,2,=4x,的焦点,与,抛物线,相交于,A,，,B,两点,且线段,AB,的,中点的横坐标为,2,求线段,AB,的长,.,例,4,：,已知抛物线的方程为,y,2,=4x,直线,l,经过点,P(-2,1),斜率为,k,.,当,k,为何值时,直线与,抛物线,:,只有一个公共点,;,有两个公共点,:,没有公共点,.,（三）、,例题讲解：,练习,5,：,已知直线,y=kx+2,与抛物线,y,2,=8x,恰有一个公共点,则实数,k,的值为,例,5,：,已知过点,Q(4,1),作抛物线,y,2,=8x,的弦,AB,恰被,Q,平分,求弦,AB,所在的直线方程,.,（三）、,例题讲解：,练习,6,：,求以,Q(1,-1),为中点的抛物线,y,2,=8x,的弦,AB,所在的直线方程,.,（三）、,例题讲解：,例,6,：,求抛物线,y,2,=64x,上的点到直线,4x+3y+46=0,的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标,.,（三）、,例题讲解：,练习,7,：,抛物线,y=-x,2,上的点到直线,4x+3y-8=0,的距离的最小值是,（三）、,例题讲解：,变式题,6,：,已知直线,y=x+b,与抛物线,x,2,=2y,交于,A,B,两点,且,OAOB,(O,为坐标原点,),求,b,的值,.,小结,:,1.,掌握抛物线的,几何性质,:,范围、对称性、顶点、离心率、通径、焦半径；,2.,会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题,;,