概率统计2-3.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,随机变量函数的分布,问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数,更感兴趣,.,求截面面积,A,=,的分布,.,例如，已知圆轴截面直径,d,的分布，,2.3,随机变量函数的分布,方法,将与,Y,有关的事件转化成,X,的事件,问题,设随机变量,X,的分布已知，,Y=g,(,X,),(,设,g,是连续函数），,如何由,X,的分布求出,Y,的分布？,设,r.v.,X,的分布律为,由已知函数,g,(,x,),可求出,r.v.,Y,的,所有可能取值，则,Y,的概率分布为,离散型随机变量函数的分布,如果,g,(,x,k,),中有一些是相同的，把它们作适当,并项即可,.,一般，若,X,是离散型,r.v,，,X,的分布律为,X,则,Y=g,(,X,),例,1,已知,X,的概率分布为,X,p,k,-1 0 1 2,求,Y,1,=,2X,1,与,Y,2,=,X,2,的分布律,解,Y,1,p,i,-3 -1 1 3,Y,2,p,i,1 0 1 4,Y,2,p,i,0 1 4,已知,X,的,d.f.,f,(,x,),或分布函数,求,Y,=,g,(,X,),的,d.f.,方法：,（,1,）,从分布函数出发,（,2,）,用公式直接求,d.f.,连续型随机变量函数的分布,对于连续型随机变量,，,在求,Y,=,g,(,X,),的分布时，,关键的一步是把事件,g,(,X,),y,转化为,X,在一定范围内取值的形式,，从而可以利用,X,的分布来求,P,g,(,X,),y,.,方法一,从分布函数出发,解：设,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,),，,例,设,X,求,Y,=2,X,+8,的概率密度,.,F,Y,(,y,),=P,Y y,=,P,(2,X,+8,y,),=,P,X,=,F,X,(),于是,Y,的密度函数,故,注意到,0,x,4,时，,即,8,y,0,时，,例,已知,X,的,d.f.,为,为常数，且,a,0,求,f,Y,(,y,),当,a 0,时,注意到,Y=X,2,0,，,故当,y,0,时，,解：设,Y,和,X,的分布函数分别为 和,，,则,Y=X,2,的概率密度为：,例如,设,X,N,(0,1),其概率密度为：,从上述两例中可以看到，在求,P,(,Y,y,),的过程中，关键的一步是设法,从,g,(,X,),y,中解出,X,从而得到与,g,(,X,),y,等价的,X,的不等式,.,例如，用 代替,2,X,+8,y,X,用 代替,X,2,y,这样做是为了利用已知的,X,的分布，从而求出相应的概率,.,这是求,r.v,的函数的分布的一种常用方法,.,其中，,此定理的证明与前面的解题思路类似,.,定理,设,连续型,r.v,X,具有概率密度,f,X,(,x,),又设,y=g,(,x,),单调可导，其反函数为,则,Y=,g,(,X,),是一个,连续型,r.v,，其概率密度为,方法二 用公式,前例,设,X,求,Y,=2,X,+8,的概率密度,.,例,X E,(2),Y=,3,X+,2,求,解,