杨辉三角探秘.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,杨辉三角探秘,二项式（,a+b,）,n,展开式的二项式系数，当,n,依次取,1,，,2,，,3,时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角,杨辉,详解九章算法中记载的表,杨辉三角,第5行,1 5 5 1,第0行,1,杨辉三角与二项系数,第1行,1 1,第2行,1 2 1,第3行,1 3 3 1,第4行,1 4 1,第6行,1 6 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,15,20,10,10,6,4,杨辉三角基本性质,第5行,1 5 5 1,第0行,1,第1行,1 1,第2行,1 2 1,第3行,1 3 3 1,第4行,1 4 1,第6行,1 6 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,15,20,10,10,6,4,再探杨辉三角,横看杨辉三角中各行数字,第,1,行,1,1,2,第,2,行,1,2,1,4,2,2,第,3,行,1,3,3,1,8,2,3,第,4,行,1,4,6,4,1,16,2,4,第,5,行,1,5,10,10,5,1,32,2,5,第,n,行,(1),第,n,行数字的和为,2,n,(2),前,n,行,(,含第,0,行,),所有数的和为,2,n+1,1,性质,1,横看杨辉三角中各行数字,一看：,1,，,3,，,7,，,15,各行数字,三看：,2,，,3,，,5,，,7,，,11,二看：,4,，,8,，,16,，,各行数字,1,、第,1,，,3,，,7,，,15,，,这些行即,2,k,-1,（,k,是正整数）行的各个数字均为奇数，,2,k,行除两端的,1,之外都是偶数。,2,、当行数,P,是质数（素数），除去两端的数字,1,以外，行数,P,整除其余所有的数。,性质,2,斜看杨辉三角中各行数字的和,从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数,斜看杨辉三角中各行数字的和,一般地，在第,m,条斜线上（从右上到左下）前,n,个数字的和，等于第,m+1,条斜线上的第,n,个数,性质,3,1,2,5,第5行,1 5 10 10 5 1,第6行,1 6 15 20 15 6 1,第7行,1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行,1,第2行,1 2 1,第3行,1 3 3 1,第4行,1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,第8行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,斜看杨辉三角中各数的和,性质,4,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，,此数列,a,n,满足,a,1,=1,a,2,=1,且,a,n,=a,n-1,+a,n-2,(n3),这就是著名的,斐波那契数列,世事洞明皆数学，留心处处是文章。,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作,算术之法,中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，,杨辉三角与,“,纵横路线图,”,“,纵横路线图,”,是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从,A,处走到,B,处,(,只能由北到南，由西向东,),，那么有多少种不同的走法？,A,B,由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,杨辉三角与弹子游戏,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球,(,黑色,),向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,成果展示,1,、杨辉三角的第,n,行数字的和为,2,n,。前,n,行（含第,0,行）所有和为,2,n,-1,，它恰好比第,n,行的和,2,n,小,1,；,2,、杨辉三角的第,1,，,3,，,7,，,15,，,行，即第,2,K,-1,（,k,是正整数）行的各个数字均为奇数。,3,、当行数,P,是质数（素数），除去两端的数字,1,以外，行数,P,整除其余所有的数。,4,、一般地，在第,m,条斜线上（从右上到左下）前,n,个数字的和，等于第,m+1,条斜线上的第,n,个数,5,、,数列,an,满足,a,1,=1,a,2,=1,且,a,n,=a,n-1,+a,n-2,(n3),这就是著名的,斐波那契数列,方法总结,1,、运用了联系、类比的观点看问题；,2,、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；,3,、学会从多角度看问题，横看成岭侧成峰，远近高低各不同；,4,、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。,研究性作业：除了以上性质（蕴含的）数字之外，还有哪些好的性质？,第,0,行,1,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,第,5,行,1 5 10 10 5 1,1,、（,04.,上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第,_,行中从左至右第,14,与第,15,个数的比为,2,：,3,34,链接高考,第,1,行,1,第,2,行,2 2,第,3,行,3 4 3,第,4,行,4 7 7 4,第,5,行,5 11 14 11 5,第,6,行,6 16 25 25 16 6,开始,I=3,I12,F=S+Q,Q=S,，,S=F,输出,F,结束,S=1,，,Q=1,N,Y,