高等数学第9章D9_7方向导数与梯度.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义,:,若函数,则称,为函数在点,P,处沿方向,l,的,方向导数,.,在点,处,沿方向,l,(,方向角为,),存在下列极限,:,记作,定理,:,则函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数存在,证明,:,由函数,且有,在点,P,可微,得,故,对于二元函数,为,),的方向导数为,特别,:,当,l,与,x,轴同向,当,l,与,x,轴反向,向角,例,1.,求函数,在点,P,(1,1,1),沿向量,3),的方向导数,.,解,:,向量,l,的方向余弦为,例,2,.,求函数,在点,P,(2,3),沿曲线,朝,x,增大方向的方向导数,.,解,:,将已知曲线用参数方程表示为,它在点,P,的,切向量为,例,3.,设,是曲面,在点,P,(1,1,1),处,指向外侧的法向量,解,:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数,.,在点,P,处沿,求函数,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1.,定义,即,同样可定义二元函数,称为函数,f,(,P,),在点,P,处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明,:,函数的,方向导数,为梯度在该方向上的投影,:,向量,其中,称为,向量微分算子,或,Nabla,算子,.,(,为方向,l,上的单位向量,),2.,梯度的几何意义,称为函数,f,的,等值线,或,等高线,.,则,L,*,上点,P,处的,法向量,为,举例,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向,.,同样,的等值面,(,等量面,).,当,其各偏导数不同,其上点,P,处的法向量为,称为,时为零时,等高线图举例,这是利用数学软件,Mathematica,绘制的曲面及其等高线图,带,阴影的等高线图中,亮度越大,对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,例,4.,设函数,解,:,(1),点,P,处切平面的法向量为,在点,P,(1,1,1),处的切平面方程,.,故所求切平面方程为,即,(2),求函数,f,在点,P,(1,1,1),沿增加最快方向的方向导数,.,求,等值面,(,2),函数,f,在点,P,处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,思考,:,f,在点,P,处沿什么方向变化率为,0?,注意,:,对三元函数,与,垂直的方向,有无穷多,3.,梯度的基本运算公式,例,5.,证,:,试证,处矢径,r,的模,三、物理意义,函数,(,物理量的分布,),数量场,(,数性函数,),场,向量场,(,矢性函数,),可微函数,梯度场,(,势,),如,:,温度场,电势场等,如,:,力场,速度场等,(,向量场,),注意,:,任意一个向量场不一定是梯度场,.,例,6.,已知位于坐标原点的点电荷,q,在任意点,试证,证,:,利用例,5,的结果,这说明场强,:,处所产生的电势为,垂直于等势面,且指向电势减少的方向,.,内容小结,1.,方向导数,三元函数,在点,沿方向,l,(,方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向,l,(,方向角为,2.,梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.,关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,梯度在方向,l,上的投影,.,方向,:,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,梯度的特点,练习,P130,题,16,提示,:,P107 2，3，6，7，8，9，10,作业,第,八节,备用题,1.,函数,在点,处的,梯度,解,:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,(1992,考研,),指向,B,(3,2,2),方向的方向导数是,.,在点,A,(1,0,1),处沿点,A,2.,函数,提示,:,其,单位向量为,(1996,考研,),