一,直角坐标系中的累次积分法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、直角坐标系中的累次积分法,二、极坐标系中的累次积分法,第二节 二重积分的计算方法,第十章,重 积 分,设,A,(,x,),表示过点,x,任取子区间,x,x,+,d,x,a,b,.,且垂直,x,轴,的平面,与曲顶柱体相交的截面的面积，,1.设积分区域,D,可用不等式组表示为,如,图所示，,选,x,为积分变量，,x,a,b,，,一、直角坐标系中的累次积分法,则曲顶柱体体积,V,的微元,d,V,为,式中面积函数,A,(,x,),是一个以区间,1,(,x,),2,(,x,),为底边、,以曲线,z,=,f,(,x,y,),(,x,是固定的,),为曲边的曲边梯形，,其面积可表示为,将,A,(,x,),代入上式，,则曲顶柱体的体积,于是,，,二重积分,公式称为先积,y,(,也称内积分对,y,),后积,x,(,也称外积分对,x,),的累次积分公式.,它通常也可写成,这结果也适用于一般情形.,2.,设积分区域,D,可用不等式组表示为,如右图，则,首先在,xy,平面上画出所围成的区域,D,.,若是先积,y,后积,x,时,，,得投影区间,a,b,，,则把区域,D,投影到,x,轴上，,在,a,b,上任意确定一个,x,，,这时,a,就是对,x,积分,(,外积分,),的下限，,b,就是对,x,积分,(,外积分,),的上限；,过,x,画一条与,y,轴平行的直线，,假定它与区域,D,的边界曲线,(,x,=,a,x,=,b,可以除外,),的交点总是不超过两个,(称这种区域为凸域),.,把二重积分化为累次积分，其上下限的定法可用如下直观方法确定：,且与边界曲线交点纵坐标分别为,y,=,1,(,x,),和,y,=,2,(,x,),，,如果,2,(,x,),1,(,x,),，,那么,1,(,x,),就对,y,积分,(,内积分,),的下限,，,2,(,x,),就是对,y,积分,(,内积分,),的上限,.,类似地，先积,x,(,内积分,),后积,y,(,外积分,),时的定限方法如右图所示,.,如果区域不属于凸域，把,D,分成若干个小区域，使每个小区域都属于凸域，那么,D,上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和.,例,1,试将二重积分,两种不同次序的累次积分，,其中,D,是由,x,=,a,x,=,b,y,=,c,y,=,d,(,a,b,c,d,),所围成的矩形区域.,解,画出积分区域,D,如图.,如果先积,y,后积,x,，,则有,如果先积,x,后积,y,，,则可得,例 2,试将 化为两种不同次序的累次,积分，,其中,D,是由,y,=,x,，,y,=2,-,x,和,x,轴所围成的区域.,解,首先画出积分区域,D,如图，,并求出边界曲线的交点(1,1)、(0,0)及(2,0).,如果先积,x,后积,y,，,则为,其中,D,是抛物线,y,2,=,x,与直线,y,=,x,-,2,所围成的区域.,例 3,计算二重积分,解,画出积分区域,D,如图，,并求出边界曲线的交点(1,-,1)及(4,2),，,由图可见，,先积,x,(,内积分)后积,y,(,外积分),较为简便.,由定限示意图有,=,例 4,计算,其中,D,是由直线,y,=,x,y,=1,与,y,轴所围成.,解,画出积分区域,D,，,作定限示意图，,并求出边界曲线的交点(1,1),(0,0)及(0,1)，则,x,=,y,D,O,x,1,y,(1,1),即,x=,常数和,y=,常数，,二、极坐标系中的累次积分法,在直角坐标系中，用平行于,x,轴和平行于,y,轴的两族直线，,把区域,D,分割成许多子域.,这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，,绝大多数都是矩形域,(如图),.,(,当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向于,0,.所以不必考虑).,于是，图中阴影所示的小矩形,i,的面积为,因此，在直角坐标系中的面积元素可记为,而二重积分可记为,和,r,=,常数的两族曲线，,在极坐标系中，,我们可用,=常数,和另一族圆心在极点的同心圆，,即一族从极点发出的射线,这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，,把,D,分割成许多子域，,绝大多数都是扇形域,(如图).,(当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向,于 0.,所以不必考虑).,于是图中所示的子域的面积近似等于,以,r,d,为长，,d,r,为宽的矩形面积，因此在极坐标系中的面积元素可记为,于是二重积分的极坐标形式为,再通过变换,且边界方程为,r,=,r,(,),，,如图，,实际计算中，分两种情形来考虑,:,1,),如果原点在积分域,D,内,，,则二重积分的累次积分为,或写为,r,=,r,(,),x,O,分别是对,积分,(外积分),的下限和上限，,则从原点作两条射线,=,和,=,(,),2,),如果坐标原点不在积分域,D,内部,，,(如图)夹紧域,D,.,在,与,之间作任一条射线与积分域,D,的边界交两点，它们的极径分别为,r,=,r,1,(,)，,r,=,r,2,(,),，,假定,r,1,(,),r,2,(,)，,那么,r,1,(,),与,r,2,(,),分别是对,r,积分,(内积分),下限与上限，,即,例,5,把,化为极坐标系中的累次积分，,其中,D,是由圆,x,2,+,y,2,=2,Ry,所围成的区域.,并把,D,的边界曲线,x,2,+,y,2,=2,Ry,化为极坐标方程，,作射线,=0 与,=,夹紧域,D,.,解,在极坐标系中画出区域,D,如图，,即为,r,=2,R,sin,与域边界交两点,r,1,=,0，,r,2,=2,R,sin,，,在 0,中任作射线,D,r,=2,R,sin,O,x,得,并把,D,的边界曲线化为极坐标方程，即为,例,6,在极坐标系中，,计算二重积分,D,是由,x,2,+,y,2,=,R,1,2,和,x,2,+,y,2,=,R,2,2,(,R,1,R,2,),所围成的环形区域在第一象限的部分.,解,在极坐标系中画出区域,D,，,如图，,在,0,与 之间任作一射线与域,D,的边界交两点,r,=,R,1,和,r,=,R,2,，,如果积分域,D,是整个环形，,显然有,r,=,R,1,r,=,R,2,作两条射线,=0,与,=,夹紧积分域,D,.,所以有,