线性变换的矩阵.ppt

,*,返回,后页,前页,教学目标：,掌握线性变换的矩阵的定义与性质,6.3,线性变换的矩阵,教学难点：,线性变换矩阵的性质,授课题目：,6.1,线性变换的矩阵,授课时数：,4,学时,教学重点：,线性变换矩阵的定义,一,.,线性变换的矩阵表示,1),V,的任一线性变换,，由它在基,1,，,2,，,，,n,上的作用惟一确定，即如果,(,i,),(,i,)(,L,(,V,),i,=1,2,n,),则,=,;,定理,6.3.1,设,V,是数域,F,上的一个,n,维线性空间，,1,，,2,，,，,n,是,V,的一个基,1,.,线性变换对基的作用的重要性,证只须证,2,）,设,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,是,V,的任意向量，,规定,V,的一个变换,:,(,)=,x,1,1,+,x,2,2,x,n,n,.,这时，有,(,i,)=,i,i,=1,2,n,.,以下我们证明,是,V,的线性变换,2),任给,1,，,2,，,，,n,V,，必存在,V,的惟一,线性变换,，使,(,i,)=,i,(,i,=1,2,n,).,设,=,y,1,1,+,y,2,2,+,y,n,n,V,+,=(,x,1,+,y,1,),1,+(,x,2,+,y,2,),2,+(,x,n,+,y,n,),n,.,于是,(,+,),=(,x,1,+,y,1,),1,+(,x,2,+,y,2,),2,+(,x,n,+,y,n,),n,=(,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,)+(,y,1,1,+,y,2,2,+,y,n,n,),=,(,)+,(,),(,k,)=,k x,1,1,+,k x,2,2,+,k,x,n,n,=,k,(,).,所以，,是,V,的满足定理所要求的条件和的线性,变换,如果,L,(,V,),且,(,i,)=,i,i,=1,2,n,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,V,则,(,)=,x,1,(,1,)+,x,2,(,2,)+,x,n,(,n,),=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,=,(,).,所以，,定义,1,设,1,，,2,，,，,n,是数域,F,上,的,n,维线性空间,V,的一个基，,L,(,V,),基向量的象可由基线性表示：,2,.,线性变换矩阵的定义,我们把（,1,）写成矩阵等式的形式,(,(,1,),(,2,),(,n,),=(,1,2,n,),A,(2),其中,矩阵,A,称为线性变换,在基,1,，,2,，,，,n,下的矩阵,例,1,求,F,3,x,的线性变换,：,(,f,(,x,)=2,f,(,x,)-,f,(,x,),在基,1,x,x,2,x,3,下的矩阵,解因为,(1)=2=2+0,x,+0,x,2,+0,x,3,(x,)=2,x,-,1=,-,1+2,x,+0,x,2,+0,x,3,(,x,2,)=2,x,2,-,2,x,=0,-,2,x,+2,x,2,+0,x,3,(,x,3,)=2,x,3,-,3,x,2,=0+0,x,-,3,x,2,+2,x,3,所以,在基,1,x,x,2,x,3,下的矩阵是,3,.,几个例子,采用矩阵形式的写法为,(,(1),(,x,),(,x,2,),(,x,3,)=(1,x,x,2,x,3,),A,例,2,求,M,2,(,F,),的线性变换,：,(,X,)=,解因为,(,E,11,)=,a E,11,+0,E,12,+,c,E,21,+0,E,22,(,E,12,)=0,E,11,+a,E,12,+0,E,21,+,c,E,22,(,E,21,)=,b,E,11,+0,E,12,+,d,E,21,+0,E,22,(,E,22,)=0,E,11,+,b,E,12,+0,E,21,+,d,E,22,在基,E,11,E,12,E,21,E,22,下的矩阵,故,在基,E,11,E,12,E,21,E,22,下的矩阵是,例,3,设,是,F,3,的一个线性变换，,1,（,1,，,0,，,0,），,2,（,0,，,1,，,0,），,3,（,0,，,0,，,1,），,(,1,),（,2,，,-1,，,3,），,(,2,),（,-1,，,0,，,4,），,(,3,),（,0,，,-5,，,5,）,求,在标准基,1,，,2,，,3,下的矩阵,解由于,(,1,)=2,1,-,2,+3,3,(,2,)=,-,1,+0,2,+4,3,(,3,)=0,1,-,5,2,+5,3,有（,(,1,),，,(,2,),，,(,3,),）,（,1,，,2,，,3,）,即,在基,1,，,2,，,3,下的矩阵是,一般地，,F,n,的一个线性变换,在标准基,1,，,2,，,，,n,下的矩阵,A,就是把,(,i,),的分量作列排成的,n,阶方阵,.,例,4,单位变换,在任何基下的矩阵都是单位,矩阵,I,数乘变换,k,在任何基下的矩阵都是,数量矩阵,kI,在,V,中取定一个基后，通过（,2,）式，我们,在,L,(,V,),与,M,n,(,F,),之间建立了一个映射,，它把,每个,L,(,V,),映成,在该基下的矩阵,A,M,n,(,F,),：,A,定理,6.3.1,的,2,）说明,是双射,这个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘,和乘法运算,二,.,L,(,V,),与,M,n,(,F,),之间,的密切关系,1,.,的性质,定理,6.3.2,L,(,V,),到,M,n,(,F,),的上述映射,具有,以下性质：,1),对任意的,，,L,(,V,),，有,（,+,）,（,）,+,（,）；,2),对任意的,L,(,V,),k,F,有,(,k,)=,k,(,);,3,）对任意的,，,L,(,V,),，有,（,）,（,）,（,）；,4),若,L,(,V,),，,可逆，则,（,）,A,是可逆矩阵，且,（,-1,）,A,-1,反之，若,A,可逆，则,也可逆,证令,(,)=,A,=(,a,ij,),n,n,，,(,)=,B,=(,b,ij,),nn,即,(,(,1,),(,2,),(,n,)=(,1,2,n,),A,(,(,1,),(,2,),(,n,)=(,1,2,n,),B,.,1)(,+,)(,i,)=,(,i,)+,(,i,),=(,a,1,i,+,b,1,i,),1,+(,a,2,i,+,b,2,i,),2,+(,a,ni,+,b,ni,),n,i,=1,2,n,.,由此可得,(,+,)(,1,),(,+,)(,2,),(,+,)(,n,),=(,1,2,n,)(,A,+,B,),即,(,+,)=,A,+,B,=,(,)+,(,).,2)(,k,)(,i,)=,ka,1,i,1,+,ka,2,i,2,+,ka,n,i,n,i,=1,2,n,.,由此可得,(,k,)(,1,),(,k,)(,2,),(,k,)(,n,),=(,1,2,n,)(,kA,),即,(,k,)=,kA,=,k,(,).,3),(,j,)=,(,(,j,),j,=1,2,n,.,由此可得,(,(,1,),(,2,),(,n,),=(,(,1,),(,2,),(,n,),B,=(,1,2,n,)(,AB,),即,(,)=,AB,=,(,),(,).,=,()=,4,）,可逆时，,-1,L,(,V,),-1,=,.,(,-1,)=,(,),(,-1,),=,A,(,-1,)=,(,)=,I,n,所以，,A,可逆，且,A,-1,=,(,-1,).,若,A,可逆，有,AA,-1,=,I,n,设,(,)=,A,-1,(,)=,I,n,=,AA,-1,=,(,),(,),=,(,)=,A,-1,A=,(,),(,)=,(,).,于是有,=,=,，即,可逆,定理,6.3.2,说明，双射,除了是,F,上的两个,线性空间,L,(,V,),和,M,n,(,F,),之间的一个同构映射外，,还保持乘法运算和可逆性这样，我们在,L,(,V,),与,M,n,(,F,),之间建立了十分密切的联系,利用线性变换的矩阵可以直接计算向量的象,2,.,线性变换矩阵的一个应用,定理,6.3.3,设,V,是数域,F,上的一个,n,维线性空间，,L,(,V,),，,在基,1,，,2,，,，,n,下的矩,阵是,A,，如果,V,中的向量,在这个基下的坐标,是（,x,1,x,2,，,，,x,n,），而,(,),在该基下的坐,标是（,y,1,y,2,，,y,n,）那么,证,由假设,（,（,1,），,（,2,），,，,（,n,）,=(,1,，,2,，,，,n,),A,=,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,=(,1,，,2,，,，,n,),是,V,的线性变换，所以,(,)=,x,1,(,1,),+,x,2,(,2,),+,x,n,(,n,),=(,(,1,),，,(,2,),，,，,(,n,),=(,1,，,2,，,，,n,),A,另方面，由假设知,（,）,=(,1,，,2,，,，,n,),比较（,4,）与（,5,）两式，有,.,定理,6.3.4,线性空间,V,的线性变换,在,V,的两个基,1,，,2,，,，,n,（,6,）,1,，,2,，,，,n,（,7,）,线性变换的矩阵显然依赖于基的选择同一,线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的我们,来看线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,三,.,矩阵的相似,1.,同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,证因为,（,（,1,），,（,2,），,，,（,n,）,=(,1,，,2,，,，,n,),A,（,（,1,），,（,2,），,，,（,n,）,=(,1,，,2,，,，,n,),B,(,1,，,2,，,，,n,),=(,1,，,2,，,，,n,),T,下的矩阵分别是,A,和,B,，从（,6,）到（,7,）的过渡矩,阵是,T,，那么,B,=,T,-1,AT,.,所以,(,1,，,2,，,，,n,),B,=,（,（,1,），,（,2,），,，,（,n,）,=,（,（,1,），,（,2,），,，,（,n,）,T,=(,1,，,2,，,，,n,),AT,=(,1,，,2,，,，,n,),T,-1,AT,故,B,=,T,-1,AT,.,定义,2,设,A,B,是数域,F,上的两个,n,阶方阵如果,存在,F,上的一个,n,阶可逆矩阵,T,，使,B,=,T,-1,AT,，则,称,B,与,A,相似或,A,相似于,B,，记为,A,B,.,根据这个定义，定理,6.3.4,说的是，,n,维线性,空间,V,的同一线性变换在两个基下的矩阵是相,似的,2,.,相似矩阵及其性质,矩阵的相似关系具有如下性质：,1),自反性,A,A,因为,A,=,I,-1,AI,;,2),对称性如果,A,B,那么,B,A,这是因为当,B,=,T,-1,AT,时，,A,=(,T,-1,),-1,BT,-1,;,3),传递性如果,A,B,B,C,那么,A,C,这是因为当,B,=,T,1,-1,AT,1,，且,C,=,T,2,-1,BT,2,时，有,C,=,T,2,-1,(,T,1,-1,AT,1,),T,2,=(,T,1,T,2,),-1,A,(,T,1,T,2,).,由于上述性质，我们可以把集合,M,n,(,F,),中,的元素按相似关系分类，凡是彼此相似的矩阵,属于同一类，不同的相似类之间没有公共元素,下面的定理阐明了相似类的实际意义,定理,6.3.5,设,A,B,M,n,(,F,),A,B,的充分必要条,件是，它们是某个,L,(,V,),在两个基下的矩阵,3,.,相似类的实际意义,证充分性已由定理,6.3.4,证明,由定理,6.3.1,知,存在,F,上的,n,维线性空间,V,的一个,线性变换,使它在,V,的基,1,2,n,下的矩阵为,A,因为,A,B,存在可逆矩阵,T,使,B,=,T,-1,AT,.,令,(,1,，,2,，,，,n,),（,1,，,2,，,，,n,）,T,，,1,，,2,，,，,n,也是,V,的一个基,由定理,6.3.4,，,在这个基下的矩阵就是,T,-1,AT,B,从上面的讨论可以知道，,L,(,V,),中的一个,线性变换在不同基下的矩阵组成一个,M,n,(,F,),中的相似类与该线性变换对应；不同的线性,变换与不同的相似矩阵类对应,我们自然要问，对于线性变换,能否,找到一个基，使,在这个基下的矩阵具有,最简单的形式？换句话说，在,M,n,(,F,),的每,个相似类中，能否找到一个形式最简单的,矩阵？,这就是矩阵的标准形的问题在后面,几节，我们将对其核心,矩阵的对角化,作较多的讨论,习题,6.3,1.,求下列线性变换在所指定的基下的矩阵：,1,）在,R,3,中，基为,R,3,的标准基,(,x,1,x,2,x,3,)=(,x,1,x,1,+,x,2,-3,x,3,2,x,1,-,x,2,-2,x,3,),2,）在,V,2,内，从原点引出两条彼此正交的单位,向量,1,，,2,作为,V,2,的基，令,是将,V,2,的每,一个向量旋转角,的旋转变换；,3,）设,1,=,e,3,t,2,=,t e,3,t,3,=,t,2,e,3,t,V,=,L,(,1,，,2,，,3,),是,R,上的三维向量空间，,线性变换,D,是,V,的微商变换：,D,(,f,(,x,)=,f,(,t,);,4,）,F,n,x,是,F,上的线性空间它的线性变换,：,(,f,(,x,)=,f,(,x,+1)-,f,(,x,).,基为,0,1,i,i,=1,2,n,;,2.,设,3,维线性空间,V,的线性变换,在基,1,2,3,下的矩阵为,5,）在,M,2,(,F,),中，线性变换,(,X,)=,1),在基,1,，,2,，,3,下的矩阵；,2),在基,1,k,2,3,下的矩阵,k,F,k,0;,3),在基,1,+,2,1,3,下的矩阵,基为,E,11,E,12,E,21,E,22,