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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 行列式,3.1,行列式的定义,3.2,行列式的性质及应用,3.3,克莱姆（,Cramer,）法则,3.4,行列式的计算,3.5,应用实例,3.6,习题,3.1,行列式的定义,3.1.1,二、三阶行列式的定义,引入记号：，称它为,二阶行列式,其值规定为：,把 的连线称为二阶行列式的主对角线，,把 的连线称为二阶行列式的副对角线，,那么,二阶行列式的值就等于主对角线上元素,的乘积减去副对角线上元素的乘积,。,例,3.2,在平面上有一个平行四边形,OACB,，,A,、,B,两点的坐标分别为：、，如图,3.1,所示，求平行四边形,OACB,的面积。,图,3.1,二阶行列式等价于平行四边形面积,解：,过点,A,做,x,轴垂线，交,x,轴于点,E,；过点,B,做平行,x,轴直线与过点,C,做平行,y,轴直线相交于,点,D,。显然可以得到三角形,CDB,和三角形,AEO,全等，则有：,（,3-2,）,根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面,积刚好是以,A,、,B,两点坐标所构成的二阶行列,式：,例,3.3,求下面三元线性方程组的解：,解：,利用消元法可以得到：,（,3-3,）,当 之前的系数不为零时，可以解出 的值,但这个结果很难记忆，为此引进三阶行列式,的定义，我们称：,是一个,三阶行列式,其值规定为：,（,3-4,）,图,3.2,给出了它的图示计算规则（称为,沙路,法,）。,图,3.2,三阶行列式的计算规则,有了三阶行列式的定义，我们可以把式（,3-,3,）写为：,当方程组（,3-2,）的系数行列式,时，可以得到它的解。,3.1.2,n,阶行列式的定义,把三阶行列式定义式（,3-4,）改写为如下形,式：,则有：,（,3-5,）,定义,3.1,在,n,阶行列式中，划去元素 所在的,第,i,行和第,j,列元素后，余下的元素按原来次序,构成的,n-1,阶行列式，称为元素 的,余子式,记作 ，称为元素 的,代数余子式,。,根据定义,3.1,，可以把式（,3-5,）变为：,定义,3.2,由 个数组成的 阶行列式,是一个算式，当 时，,；当 时，,（,3-6,）,3.1.3,行列式定义的进一步讨论,定义,3.3,由,n,个自然数,1,、,2,、,3,、,、,n,组成,的一个有序数组，称为一个,n,元排列,。,例如，,1 2 3,、,132,、,213,、,231,、,312,、,321,都,是,3,元排列。,在,n,元排列的,n,！个排列中，,123n,是唯一一,个按从小到大排列的,n,元排列，称为,标准排列,（或,自然排列,）,定义,3.4,一个排列中任两个数，如果排在前,面的数大于排在后面的数，则称这两个数构,成一个,逆序,。一个排列中逆序的总数，称为,这个排列的,逆序数,。,排列的逆序数记为,例如，五元排列,25341,，,1,和,2,、,5,、,3,、,4,有四,个逆序，,4,和,5,有一个逆序，,3,和,5,有一个逆,序，则排列,25341,的逆序数为,4,1,1,6,。,定义,3.5,（行列式的另一种定义方法）,：,由 个数组成的 阶行列式：,(3-7),其中 是一个,n,元排列，表示对,所有,n,元排列（,n,！个）求和。,例,3.4,写出四阶行列式中含有 的项。,解：,四阶行列式共有,24,项，其中含有 的项,为：，我们只要分析列标排列,1x2y,的各种情况，显然有,1324,和,1423,两种情况，,1324,逆序数为,1,，,1423,逆序数为,2,，则四阶行列式中含有 的项为：,和 。,3.1.4,矩阵与行列式的关系,矩阵是一个数表，而行列式是一个算式，即,它是一个值。,在比较两个矩阵是否相等时，不仅要求两个,矩阵同型，而且要求两个矩阵所有对应元素,相等。,而两个行列式是否相等，只需分析其值是否,相等。,矩阵是由一对方括号（或圆括号）括起，而,行列式是由一对竖线括起。,矩阵的行数和列数不做任何限制，而行列式,的行数与列数必须相等。,当讨论的矩阵,A,是方阵时，把,A,的一对方括号,去掉，加上一对竖线，就变成了行列式，我,们把这个行列式称为,方阵,A,的行列式,，,记作：或 。,例,3.5,证明,n,阶下三角矩阵,的行列式 。,证明：,用数学归纳法证明，当 、时，结论显然成立。,假设结论对,阶下三角行列式成立，则由定义,3.2,得：,右端行列式是 阶下三角行列式，根据归,纳假设得：,同理可证，,n,阶对角矩阵的行列式（也称,n,阶,对角行列式）,3.1.5,行列式按行（列）展开,定理,3.1,n,阶行列式,D,等于它的任一行（列）,的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,，,即：,或：,例,3.6,计算行列式,解：,此行列式第,3,列只有一个非零元素，故应,把行列式按第三列展开。得到的三阶行列式,中的第,3,列又只有一个非零元素，再得：,3.2,行列式的性质及应用,3.2.1,行列式的性质,性质,1,行列式 与它的转置行列式 相等。,行列式的转置和矩阵的转置概念相同。,如：,性质,2,互换行列式的两行（列），行列式变,号。,如：,推论,1,如果行列式有两行（列）完全相同，,则此行列式为零。,推论,2,n,阶行列式,D,的任一行（列）的各元素,与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积,之和等于零，即：,或：,例,3.7,已知四阶行列式 ，,求 ，（其中 为行列式,D,的代数余子式）。,解：,可以先求出行列式,D,的第四行各元素的代,数余子式，然后再进一步求得题目的答案。,也可以利用代数余子式的性质来分析此题。,构造行列式 ，行列式 按第四,行的展开式，刚好就是,性质,3,用数,k,乘以行列式,D,，等于,D,中某一行,（列）的所有元素同乘以数,k,。,如下等式中，把数,3,乘到了行列式的第二列,中：,推论,1,行列式某一行（列）中所有元素的公,因子可以提到行列式的外面。,推论,2,如果行列式的任意两行（列）对应元,素成比例，则行列式为零。,下列行列式的第一行和第三行所有对应元素,成比例，故知：,性质,4,行列式可以按某一行（列）拆分成两,个行列式之和。,具体拆分方法用,4,阶行列式说明如下：,性质,5,把行列式的某一行（列）的各元素乘,以同一数后加到另一行（列）对应的元素上,去，行列式值不变。如：,3.2.2,方阵行列式的性质,设,A,、,B,为,n,阶方阵，,k,是数，根据行列式的性,质可以得到方阵的行列式有如下性质：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,3.2.3,方阵可逆的充要条件,定义,3.6,设矩阵,且 的代数,余子式为 ，则称矩 为 的,伴,随矩阵,。,记为 ，或 。,伴随矩阵的重要性质,：,定理,3.2 n,阶方阵 为可逆矩阵的充要条件,是 。当 可逆时，。,证：,充分性，当 时，,知 故结论成立；,必要性，设 可逆，有 ，两边同取,行列式 ，故,推论 若 和 为同阶方阵，且满足 ，,则 ，即矩阵 和矩阵 互逆。,例,3.8,判断三阶方阵 ，是否可逆；,若可逆，求,解：,因为 ，所以 可逆。中各元素的代数余子式分别为,则：,例,3.9,设 为,n,阶可逆方阵，,证明（,1,）也是可逆矩阵且,（,2,）,证,：（,1,）因为矩阵 为可逆方阵，则,又根据伴随矩阵的性质,知 ，故 是可逆矩,阵且,（,2,）对等式 两边取行列式，,有,又因为矩阵 为可逆方阵，则,故有,3.3,克莱姆（,Cramer,）法则,讨论用行列式来求解含有,n,个方程,n,个变量的,线性方程组,（,3-7,）,方程组（,3-7,）也可以写成矩阵形式：,（,3-8,）,其中：,行列式 ，称为方程组（,3-7,）的,系数行,列式,。,定理,3.3,（克莱姆法则）若方程组（,3-7,）的,系数行列式 ，则该方程组有唯一解：,，,，,（,3-9,）,其中 是把 中第 列的元素用,方程组右端的常数项代替后所得到的,n,阶行列,式，即：,第 列,定理,3.3,的逆否定理为：如果线性方程组（,3-,7,）无解或有超过一个以上的解，则它的系数,行列式必为零。,把常数项全为零的线性方程组,称为,齐次线性方程组,；,把常数项不全为零的线性方程组,称为,非齐次线性方程组,。,推论,1,对于,nn,齐次线性方程组 ，当,系数行列式,时,，,只有一个零解,。,推论,2,若,nn,齐次线性方程组 ，有,非零解，则必有,。,例,3.10,已知齐次线性方程组,有非零解，问 应取何值？,解：,根据推论,2,，知方程组系数行列式必为,零，故有：,得：或,3.4,行列式的计算,3.4.1,行列式的笔算技巧,主要的方法是把矩阵变换为行阶梯形（三角,形），然后计算其主对角线元素的连乘积；,其次是充分利用含零元素较多的行或列进行,展开；,其他还有加边法、公式法、递推法、数学归,纳法等等。,例,3.12,计算四阶行列式,解：,利用行列式性质把行列式化为三角行列,式（性质法、三角化法）,例,3.13,证明：,证：,利用行列式性质及行列式按列展开（性,质法、展开法）,此例中的四阶行列式，称为四阶,范德蒙,（,Vander Monde,）,行列式,n,阶范德蒙行列,式为：,例,3.14,计算,n,阶行列式（空白处都为零）：,解：,其中只有,n,个非,0,元素，这,n,个元素之积正,是行列式唯一的非零项，再由列下标全排,列（,n-1,n-2,2,1,n,）的逆序数确定该项的,正负。,例,3.15,计算,5,阶行列式：,解：,由分块矩阵行列式公式：,则得,例,3.16,计算,5,阶行列式：,解：,该行列式称为三对角行列式，通常可以,用递推法来求解,例,3.17,设 ，均为,n,阶方阵，,求：,解：,由于 ，,则有：,例,3.18,设矩阵 ，矩阵 满,足：，其中 为单位矩阵，是,的伴随矩阵，求 。,解：,由于 ，则存在 ，且有,即有：,两边取行列式，有：,而,则,例,3.19,设 ，为三阶方阵且,，求 。,解：,根据分块矩阵的乘法概念，有：,则,3.4.2,用,MATLAB,计算行列式,考虑的问题主要是计算速度和计算精度问题,一初等矩阵的行列式,对于第一类初等矩阵,E1,，即行交换变换，它,的行列式等于,-1,。,det(E1)=-1,(3-11),对于第二类初等矩阵,E2,，即行数乘变换，它,的行列式等于,k,。,det(E2)=k,(3-12,）,对于第三类初等矩阵,E3,，即行的乘加变换，,它的行列式仍等于,1,。,det(E3)=1,(3-13,）,二把方阵变换为上三角矩阵,LU,分解,如果不考虑出现基准元素为零或很小的情况,时，连第一类初等变换都用不到。这样，通,过,N=(n-1)2/2,次使用第三类初等矩阵,E3,，就,可以把主对角线左下方的,N,个元素全变为零。,写成,(3-14,）,其中,U,是一个上三角矩阵，所有的,E3,矩阵也,是上三角矩阵。,由于初等变换矩阵都是可逆的，其乘积也是,可逆的，设其逆矩阵为,L,，它应该是一个下三,角矩阵，于是此式可写成,(3-15,）,这种把矩阵,A,通过第三种初等矩阵左乘分解为,一个下三角矩阵和一个上三角矩阵乘积的变,换称为,LU,变换,。,其中下三角矩阵,L,的行列式为,1,，因而上三角,矩阵的行列式就等于原矩阵的行列式，即,det(A)=det(L)*det(U)=det(U),在实际工程中为了保证计算结果的精度，计,算软件在做行阶梯变换时还是要把基准元素,取为每列的绝对值最大项，所以还是使用了,行交换变换。因为其行列式等于,-1,，每多一,次交换，就改变一次符号。它并不影响行列,式的绝对值，但影响其正负号。,另外在,(3-14,）式左端的连乘积中，多了若干,个交换矩阵。会使得最后的下三角矩阵,L,不那,末标准，各行有些颠倒，常常称之为,准下三,角矩阵,。,MATLAB,提供了矩阵的三角分解函数,lu.m,，,其调用格式为：,L,U=,lu(A,),它返回的结果就是一个准下三角矩阵,L,和一个,上三角矩阵,U,。因为这个函数并不专为行列式,计算之用，有一定的普遍性，所以它不限定,A,为方阵。,另一种调用格式能同时给出真正的下三角矩,阵,L,和交换矩阵,P,其形式为：,L,U,P=,lu(A,),此时，它满足,P*A=L*U,（,3-16,）,三求出上三角方阵的行列式,由,(3-15,）式知道，,det(U,),决定了,det(A,),的绝,对值。因,U,是一个上三角矩阵，它的行列式为,其对角元素的连乘积。,在不计正负号的时候，可以写出：,用,MATLAB,语句表示为,D=prod(diag(U),在必须知道行列式的正负号时，必须知道,lu,分,解过程中进行了多少次交换，每一次交换就,改变一次正负号。,lu,子程序没有给出这个数据，所以解决不了问,题。其实,MATLAB,已经把上述过程集成在一,起，给出了直接计算方阵行列式的函数,det.m,其调用格式为：,D=det(A),这个函数要求输入变元必须是方阵,3.5,应用实例,3.5.1,用,LU,分解计算行列式,例,3.14,用化简为三角矩阵的方法求下列矩阵,的行列式,解：,列出程序：,A,10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1;,L,U,lu(A,),%,分解为上三角矩阵,U,和,准下三角矩阵,L,dU,diag(U,);%,取,上三角矩阵,U,主对角线上元素向量,D,prod(dU,)%,求主对角元素的连乘积,程序运行的结果如下：,dU,104.8 10.6259.4824,1.2349,D,5.9720e,003,5972,3.5.2,行列式奇异性对计算精度的影响,例,3.15,设线性方程组,中，,是一个,6,阶,的,hilbert,矩阵，就是说它的下标为,(i,j),的元素,值为,1/(i+j-1),，系数,A,b1,及其增量,b2=b1+,b,如下：,计算解,x1,x2,，分析两个解的差与系数差,之间的关系。,解,：用,MATLAB,写出程序,ea344,如下：,A=hilb(6),b1=1;2;1;1.732;1;2;b2=1;2;1;1.7321;1;2;,x1=inv(A)*b1,x2=inv(A)*b2,dx=x2-x1,db=b2-b1,程序运行的结果为：,由于系数,b,的万分之一的变化，引起解,x,的误,差,dx,最大可达近,400,。,主要,因为,行列式,D=det(A),很接近于零。本题,中的矩阵系数是,hilbert,矩阵，它的主要特点就,是行列式很接近于零。这样的矩阵方程，我,们就称之为病态的，或很接近于奇异的，对,它的解是否正确，要保持一定的怀疑。,为了定量地分析解的误差和可信度，应该用,相对误差做标准。,b,的相对误差是,x,的相对误差是,两者之间是以条件数,(Condition Number),相关,联的，条件数与行列式有关，它随着行列式,的减小而减小：,（,3-17,）,例,3.16,设,，,求其逆阵,V,解,：,输入,A,的数据后，键入,V,inv(A),，程序,为：,A=-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9,V=inv(A),运行后得到警告信息,：,Warning:Matrix is close to singular or badly scaled,Results may be inaccurate.RCOND,6.042030e,018.,det(A,)=0,，故它是一个奇异矩阵，其逆不存,在。在用数值方法求矩阵的逆时，由于计算,中存在方法和截断误差，故矩阵是否奇异，,结果不是绝对的。为了评价矩阵接近“奇异”的,程度,MATLAB,用了“逆条件数”作为衡量指标。,3.5.3,用逆阵进行保密编译码,把消息中的英文字母用一个整数来表示。然,后传送这组整数。,例如“,SEND MONEY”,这九个字母就用下面九,个数来表示；,5,8,10,21,7,2,10,8,3,。,5,代表,S,，,8,代表,E,，,等等。,这种方法是很容易被破译的。在一个很长的,消息中，根据数字出现的频率，往往可以大,体估计出它所代表的字母。,用矩阵乘法来对这个消息进一步加密。,如,A,是一个行列式等于,1,的整数矩阵，则,A,1,的元素也必定是整数。可以用这样的一个,矩阵来对消息进行变换。,设 可得,把编了码的消息,也组成一个矩阵,乘积,所以发出的消息为,31,80,54,37,83,67,29,69,50,通过以下的变换可以解出原来的消息：,3.5.4,用行列式计算面积,例,3.17,设一个三角形的三个顶点的坐标为,(x1;y1),(x2;y2),(x3;y3),，,（,1,）试求此三角形的面积。,（,2,）利用此结果计算四个顶点坐标为,(0,1),(3,5),(4,3),(2,0),任意四边形的面积,。,（,3,）将此结果推广至任意多边形,。,解：（,1,）三角形面积为对应的平行四边形面,积之半，利用行列式等于两向量所构成的平,行四边形面积的关系，可求出三角形面积与,顶点坐标之间的关系。,将三角形一个顶点,(x1;y1),移到原点，则其余两,顶点坐标分别为,(x2-x1,y2-y1),(,x3-x1,y3-y1),，,根据（,3.2,）式，此两个顶点所对应的向量构,成的平行四边形面积为,三角形面积为,（,3-18,）,（,2,）画出此四边形所对应的图形如下图，别,计算其面积再相加即可。,图,3.5,题,3.5.2,的四边形,三角形,ABD,的面积为：,S1=0.5|(2-0)(5-1)-(3-0)(0-1)|=0.5(8+3)=5.5,三角形,CBD,的面积为：,S2=0.5|(4-2)(5-0)-(3-2)(3-0)|=0.5(10-3)=3.5,此四边形的面积为：,S=S1+S2=9,（,3,）此问题留作为作业。,