近世代数课件--5.3 扩域.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.,代数扩域,上一节的结果告诉我们，把域 上一个超越元或一个代数元添加于 所得到的单扩域的结构完全不同,我们有以下事实：设 是 的一个扩域，并且 含有 上的超越元那么总存在 的一个子域 ，,使得 是由添加 上的超越元于而得到的，而 只含上的代数元,这一事实的证明已超出本书的范围这个事实告诉我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的、一个代数的部分我们以下将不再讨论超越的扩域，而只对代数的扩域作一些进一步的研究,，,定义,若域 的一个扩域 的每一个元都是 上的一个代数元，那么 叫做 的一个,代数扩域（扩张）,我们首先提出以下问题：假定 是添加集合 与 域所得的扩域，并且 的元都是 上的代数元，那么 的元是否都是 上的代数元？,为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念,假定 是域 的一个扩域那么对于 的加法 和到 的乘法来说，作成 上的一个向量空间 ，或者有一个维数 ，是正整数；或者是一个无限维空间,定义,若是域 的一个扩域 作为 上的向量空间有维数 ，那么 叫做,扩域 在 上的次数,，记做 这时 叫做域 的一个,有限扩域,；否则 叫做域 的一个,无限扩域,关于扩域的次数我们有重要的,定理,令 是域 的有限扩域，而 是 的有限扩域那么 也是 的有限扩域，并且,证明,设 ，而 ，,，是向量空间 在域 上的一个基，,，是向量空间 在域 上的一个基看 的元,（，,，；，,，）,我们只须证明，这 个元是向量空间 在域 上的一个基设,那么,，,由 于对于 来说线形无关，我们得,（，,，）,但 对于 来说线形无关，因而,（，,，；，,，）,这就是说，以上 的个 的元 对于 来说线形无关现在假定 是 的一个任意元因为 是 上的 的一个基，,又由于 是 上的 的一个基，,这样，我们有,这就证明了，是向量空间 在域 上的一个基证完,推论,令 是域，其中后一个是前一个的有限扩域那么以下等式成立：,现在我们证明下述几个定理来解答前面提出的问题,定理,令 是域 的一个单代数扩域那么 是 的一个代数扩域,证明,令 在 上的极小多项式的次数是 由,，定理，的每一个元都可以唯一地表成,的形式这就是说，元，,，作成 上的向量空间 的一个基，因此 是 的一个 次有限扩域令 是 的一个任意元那么，,，这 个元对于 来说相形相关因此，在 中存在不都等于零的 个元 ，,，能使,这就是说，的任意元都是 上的代数元，而 是 的代数扩域证完,由定理的证明可以得到以下两个重要事实,推论,令 是 域的一个单代数扩域，而 在 上的极小多项式的次数是 那么 是 的一个 次扩域,推论,域 的有限扩域一定是 的代数扩域,定理,令 ，其中每一个 都是域 上的代数元那么 是 的有限扩域，因而是 的代数扩域,证明,我们用归纳法,由定理，当 的时候，定理成立,假定，当我们只添加 个元 ，,，于时，定理成立，也就是说，假定 是的有限扩域,现在来看 的情形我们知道，,由于 是 上的代数元，所以它也是 上的代数元因此 是 的单代数扩域，而由推论，是 的有限扩域,由于,根据定理，是 的有限扩域，于是由推论，它是 的代数扩域证完,推论,一个域 上的两个代数元的和、差、积与商（分母不为零）仍是 上的代数元,定理,令 ，这里集合 只包含域 上的代数元那么 是 的代数扩域,证明,令 是 的任意元根据,，（）式，,这里 是 中有限个元素，而 和 是上这些 的多项式这样 于是由定理，是 上的代数元证完,