材料力学05.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,上海应用技术学院,11,1,引 言,11,2,对称弯曲正应力,11,3,惯性矩与平行轴定理,11,4,对称弯曲切应力简介,11,5,梁的强度条件,11,6,梁的合理强度设计,11,7,双,对称截面,梁的非,对称弯曲,11,8,弯拉,(,压,),组合强度计算,第,十,一,章,弯 曲 应 力,主要介绍：,梁的弯曲正应力、梁的强度分析与设计、弯拉,(,压,),组合问题。,一、梁横截面上的,内力和应力的对应关系,t,=,f,1,(,F,S,),正应力,仅与,弯矩有关,11,1,引 言,切应力,仅与,剪力有关,s,=,f,2,(,M,),二、,纯弯曲,概念,(Pure Bending),F,a,a,A,F,B,C,D,F,S,M,x,x,F,F,Fa,Fa,若,F,S,=,F,S,(,x,),M,=,M,(,x,),同时存在，,称为,横力弯曲或剪切弯曲,。,梁在弯曲变形的同时产生剪切变形。,如简支梁的,AC,、,BD,段。,在梁的,CD,段中：,F,S,=,0,，,M,=,常量,即只有,M,存在，没有剪力作用，称为,纯弯曲,。,实践指出，对于工程中简化为梁的构件，正应力往往是引起破坏的主要因素。,纯弯曲,：,F,S,=,0,，,梁横截面上没有,t,，,只有,s,。,11,2,对称弯曲正应力,一、矩形横截面梁纯弯曲实验研究,弯曲正应力的分布为静不定问题，必须考虑,几何变形,、,物理,和,静力学,三方面的关系,。,纯弯曲实验：万能材料实验机上进行。,F,b,d,a,c,O,2,O,1,1,1,2,2,取矩形横截面梁实验：,z,y,O,梁表面作与梁轴线平行的纵向线,代表纵向纤维；,与梁轴线垂直的横向线,代表横截面。,在梁两端加弯矩,M,，,使梁产生纯弯曲变形。,观察,现象,：,1,.,横向线仍为直线，但相对地转过 一个微小角度，仍与已弯曲成圆 弧线的纵向线垂直；,与轴向拉、压时变形相似。,2,.,纵向线均弯曲成圆弧线，且靠近,凸面处伸长，靠近凹面处缩短；,3,.,在伸长区，梁宽度减小，,在缩短区，梁宽度增加。,b,d,a,c,O,2,O,1,1,1,2,2,M,M,ab,ab,M,cd,cd,M,伸长,缩短,z,y,O,b,d,a,c,O,2,O,1,1,1,2,2,二、假设,1.,梁弯曲平面假设,弯曲变形时：,2.,单向受力假设,由实验现象和假设可推知：,设想梁由许多层纵向纤维组成，弯曲时各纵向纤维处于单向受拉或单向受压状态。,梁弯曲变形后，,横截面仍保持为平面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直，只是绕该截面内某轴转过一个微小角度。,靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短；,靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。,z,y,O,b,d,a,c,O,2,O,1,1,1,2,2,b,d,a,c,O,2,O,1,1,1,2,2,M,M,O,1,O,2,弯曲变形时，梁横截面是绕中性轴转动的。,从伸长到缩短的过程中，必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度。,由变形的连续形可知：,中性层,：由既不伸长也不缩短的纵 向纤维组成。,中性轴,：中性层与梁横截面的交线。,O,2,中性层,中性轴,中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。,b,d,a,c,O,2,O,1,1,1,2,2,b,d,a,c,O,2,O,1,1,1,2,2,M,M,1.,变形几何关系,正应变分布规律,二、弯曲正应力一般公式,取梁微段,d,x,分析：,弯曲变形后：,1,1,2,2,O,2,O,1,d,x,r,设中性层曲率半径为,r,。,横截面,1-1,、,2-2,仍保持为平面，,取坐标轴：,y,轴，,z,轴。,y,轴与截面对称轴重合；,z,轴与中性轴重合,(,位置未定,),。,但各自绕中性轴转过一个角度，形成一夹角,，,为,d,q,；,z,y,O,d,q,1,1,2,2,M,M,O,1,O,2,距,中性层为,y,处,纵向纤维,ab,的变形：,弯曲前：,ab,O,1,O,2,=,=,d,x,弯曲后,：,ab,=(,r,+,y,)d,q,中性层长度不变：,O,1,O,2,=,=,d,x,=,r,d,q,O,1,O,2,ab,=,d,x,=,r,d,q,ab,的伸长：,D,ab,=,ab,ab,=(,r,+,y,)d,q,r,d,q,=,y,d,q,ab,的正,应变,：,为横截面上,正应变分布规律,。,y,b,a,b,a,y,(a),式表示：纵向纤维的正应变与其离中性层的距离,y,成正比。,在一定的,M,作用下，,r,为常数，,|,y|,，,|,e,|,。,z,y,O,1,1,2,2,O,2,O,1,d,x,d,q,1,1,2,2,M,M,O,1,O,2,r,中性层下方，,y,为正值，,e,也为正值，表示为拉应变；,b,a,O,2,O,1,1,1,2,2,M,M,d,q,r,y,中性层上方，,y,为负值，,e,也为负值，表示为压应变。,z,y,O,2.,物理关系,正应力分布规律,纵向纤维,间无相互挤压，,ab,单向受拉,(,压,),，,当,s,5,h,时，,F,S,产生的附加正应力,s,与,M,引起的,s,相比很小，在工程计算中可略去，纯弯曲正应力公式仍可适用,，误差,0,，,y,2,、,z,2,0,，,I,z,、,I,y,0,，,单位：,m,4,，,cm,4,，,mm,4,(2),若,A=A,1,+A,2,+,+A,n,则：,I,z,=I,z,A1,+I,z,A2,+,+,I,z,An,=,S,I,z,Ai,I,y,=I,y,A1,+I,y,A2,+,+,I,y,An,=,S,I,y,Ai,为,组合图形的惯性矩公式,。,矩形截面的惯性矩,：,取微面积,d,A,：,b,d,y,圆形截面的惯性矩,：,取微面积,d,A,：,(,z,，,y,),I,z,=,I,y,且,有,r,2,=,y,2,+z,2,z,y,C,d,d,A,y,z,r,z,y,C,h,/2,h,/2,b,/2,b,/2,d,y,y,箱形截面的惯性矩,：,由,组合图形的惯性矩公式：,空心圆截面的惯性矩,：,z,y,C,b,h,H,B,z,y,C,D,d,二、,平行轴定理,已知：,A,、,I,z,0,、,I,y,0,I,z,=,A,y,2,d,A,=,A,(,y,0,+,a,),2,d,A,求：,I,z,、,I,y,Cy,0,z,0,：过,形心直角坐标系,Oyz,：,任意直角坐标系,z,与,z,0,平行，间距为,a,，,y,与,y,0,平行，间距为,b,，,=,A,(,y,0,2,+,2,ay,0,+a,2,),d,A,I,z,=,I,z,0,+,a,2,A,I,z,0,=,A,y,0,2,d,A,同理,得：,解：,y,=,y,0,+,a,z,=,z,0,+,b,A,y,0,d,A=,0,A,d,A,=A,I,y,=,I,y,0,+,b,2,A,=,A,y,0,2,d,A+,2,a,A,y,0,d,A+a,2,A,d,A,即：截面对任一坐标轴,z,的惯性矩,I,z,，,等于对其平行形心轴,z,0,的惯性矩,I,z,0,加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。,已知,：,d,、,m,求：,I,z,解,：,d,m,z,z,0,y,C,已知,：,h,、,b,求：,I,z,解,：,C,h,b,z,y,z,0,4,6,z,y,2,2,求,：图示图形对形心轴,z,的惯性矩,I,z,。,单位：,cm,解,：,(1),确定形心位置,z,C,(2),I,z,I,z,=I,z,A1,+,I,z,A2,=21.28+36.59=57.87 cm,4,C,2,C,1,A,1,A,2,其他常见图形的惯性矩见附录,B,，,P,346,工字钢、角钢等型钢的惯性矩见附录,E,，,P,352,y,C,4,6,z,y,2,2,组合图形对形心轴,z,惯性矩,I,z,的,计算步骤,：,(1),将,组合图形分解为几个简单图形，由形心公式,确定形心位置：,z,C,(2),由,平行轴定理分别计算各简单图形对,z,轴的惯性矩,I,z,Ai,C,2,C,1,A,1,A,2,y,C,I,z,Ai,=,I,z,0,+,a,2,A,i,(3),由,组合公式计算组合图形对,z,轴的惯性矩,I,z,I,z,=I,z,A1,+I,z,A2,+,+,I,z,An,=,S,I,z,Ai,例,2,：,已知钢带厚,d,=2 mm,，,宽,b,=6mm,，,钢带材料弹性模量,E,=200GPa,，,带轮直径,D,=1400mm,。,求钢带内的最大弯曲正应力和钢带受的弯矩,。,解,：分析,已知,钢带变形，求钢带应力与弯矩：,由前有：,应力与变形关系,弯矩与变形关系,(1),计算,s,max,(2),计算,M,b,d,例,3,：,悬臂梁截面为,T,形如图示。已知：,F,=15,kN,，,l,=0.4 m,，,b,=12 cm,，,d,=2 cm,。,求：,B,截面上的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力。,|,M,B,|,=,F,l,=15,10,3,0.4=6000 N,m,解,：,(1),计算,弯矩,(2),计算,惯性矩,I,z,I,z,=I,z,A1,+,I,z,A2,=302+582=884 cm,4,y,2,(3),计算,s,tmax,、,s,cmax,y,2,M,max,M,1,解,：,1),作,M,图确定截面弯矩,例,4,受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求：,1,2,120,180,z,y,30,(1)1-1,截面上,1,、,2,两点的正应力；,(2),此截面上的最大正应力；,(3),全梁的最大正应力；,(4),已知,E,=200GPa,，,求,1-1,截面的 曲率半径。,x,M,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,2),计算应力,3),计算曲率半径,M,max,M,1,1,2,120,180,z,y,30,x,M,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,一、,矩形截面,梁横截面上的切应力,假设,：,11,4,对称弯曲切应力简介,z,y,O,t,y,F,S,横截面上剪力,F,S,位于纵向对称轴上，,由,切应力互等定理,可知：,截面两侧边处的切应力方向应平行于侧边。,1.,截面上各点切应力都与剪力平行；,2.,距中性轴等距离处，切应力沿宽度均布。,当,h,/,b,1,时与实际情况较接近。,在以上假设的基础上分析得切应力的计算公式为：,矩形截面,：高,h,，,宽,b,，,h,b,。,即切应力沿截面高度呈抛物线分布。,S,z,(,w,),：为所求切,应力处以外图形 面积,w,对,z,轴的静矩,。,在中性轴上：,y,=0,，,在上、下表层：,y,=,h,/2,，,t,=0,；,可知：,t,方向,：与横截面上剪力方向相同；,t,大小,：沿截面宽度均匀分布，沿高度,h,呈抛物线分布,。,t,max,：为平均,切,应力的,1.5,倍。,二、,工字形截面,梁横截面上的切应力,切应力仍可用矩形截面时公式计算：,腹板上切应力：,腹板为矩形：,h,d,腹板上切应力的分布与矩形截面相同。,工字形截面,：由中间腹板和上下两 块翼板组成,。,S,z,(,w,),：为所求切,应力处以外图形面积,w,对,z,轴的静矩,。,求得,S,z,(,w,),后代入上式得腹板上切应力的计算公式为：,即腹板上切应力沿腹板高度呈抛物线分布。,在中性轴上：,y,=0,，,在腹板与翼板交接处，,y,=,h,/2,，,对,工字型钢,：,式中,翼板上切应力,：,可查型钢求得。,在翼板上还存在垂直方向的切应力，数值很小，一般略去不计。,此外，在翼板上还有沿水平方向,(,z,方向,),的切应力存在，其推导方法和结果可参考有关资料。,三、弯曲正应力与弯曲,切应力比较,最大弯曲正应力,：,最大弯曲切应力,：,当,l,h,时，,s,max,t,max,对实心截面的细长梁，弯曲,正应力,是影响梁,强度,的主要因素。,11,5,梁的强度条件,对一般梁，弯曲正应力和切应力的,分布规律,为：,横截面的中性轴处：有,t,max,，,并且为纯剪切。,横截面的上下边缘处：有,s,max,，,并且为单向受拉,(,压,),；,y,2,y,1,y,z,C,一、,弯曲正应力强度条件,对一般梁，,M,=,M,(,x,),，,作,M,图，确定,M,max,，,即危险截面，,s,为弯曲时材料许用正应力。,则：,发生在横截面的上下边缘处，且,为单向受拉,(,压,),。,或：,弯曲正应力强度条件：,塑性材料：,s,c,=,s,t,，,只需,s,max,s,t,脆性材料：,s,c,s,t,，,应：,M,由强度条件可进行三方面强度计算：,1.,强度,校核：,2.,设计截面：,s,max,s,选择型钢时，若,则可选用。,3.,确定许可载荷：,M,max,s,W,z,由,M,max,F,二、弯曲,切应力强度条件,一般对短梁,(,l,5,h,),、,组合截面腹板较薄,(,工字形、,T,形、槽形等,),、抗剪切强度低,(,焊缝、胶合面、铆钉连接等,),的场合要进行弯曲切应力强度校核。,弯曲切应力强度条件：,t,为材料的许用切应力。,解,：,(1),作,F,S,、,M,图,例,5,图示矩形截面木梁，已知,b,=0.12m,，,h,=0.18m,，,l,=3m,，,材料,=7,MPa,，,=0.9,MPa,。试,校核梁的强度。,可知：,F,Smax,=5400 N,M,max,=4050N,m,(2),校核梁的强度,=6.25,MPa,=0.375,MPa,F,S,x,梁安全。,x,M,q=,3.6,kN/m,A,B,l,x,M,例,6,图示减速箱齿轮轴，已知,F,=70,kN,，,d,1,=110mm,，,d,2,=100 mm,，,材料,=100,MPa,。,试,校核轴的强度。,F,140,350,350,d,1,d,2,A,B,C,D,12.25,kN,m,9.8,解,：,(1),作,M,图，确定危险截面,C,截面：,M,max,=12.25,kN,m,，,为危险截面,D,截面：,M,D,=9.8,kN,m,，但其,直 径较小，也可能为危险 截面。,(2),强度校核,C,截面：,=93.9,MPa,D,截面：,=99.9,MPa,梁满足强度要求。,解,：,(1),作,M,图,例,7,图示,T,形截面铸铁梁，已知,I,z,=8.8410,-6,m,4,，,y,1,=45mm,，,y,2,=95mm,，,材料,t,=35,MPa,，,s,c,=140,MPa,。,试,校核梁的强度。,可知危险截面：,D,截面、,B,截面,D,截面：最大正弯矩,M,D,=5.56,kN,m,B,截面：最大负弯矩,M,B,=3.13,kN,m,5.56kNm,=59.8,MPa,|,M,B,|,，,|,y,2,|,|,y,1,|,|,s,a,|,|,s,d,|,即最大压应力 为,D,截面上,a,点。,而最大拉应力为,D,截面上,b,点或,B,截面上,c,点，由计算确定。,s,tmax,=33.6,MPa,t,梁,不安全。,(2),校核梁的强度,5.56kNm,弯曲正应力是决定梁强度的主要因素，,11,6,梁的合理强度设计,是设计梁的主要依据。,要使,s,max,，,则应使,M,max,、,W,z,一、,合理安排梁的载荷及支座,目的：,使,M,max,如：合理安排载荷,M,max,=0.25,Fl,M,max,=0.167,Fl,M,max,=0.125,ql,2,M,max,=0.025,ql,2,如：合理安排支座,二、,梁的合理截面形状,M,max,s,W,z,即梁所能承受的弯矩,M,max,与,W,z,成,正比，,W,z,越大越,有利；,另外，梁所用材料的多少和重量的大小与横截面面积,A,成正比，面积,越小，材料越少，重量越轻，越经济。,梁的合理截面形状应为：,A,较小而,W,z,较大。,如：矩形截面，高,h,，,宽,b,，,h,b,实际中矩形截面梁均为竖放,。,竖放时：,h,b,y,z,C,b,h,y,z,C,平放时：,即矩形截面梁竖放比平放具有更高的弯曲强度。,若：,h,:,b,=3:2,时，,竖放时强度比平放时强度高,50%,。,根据弯曲正应力的,分布规律,：,离中性轴愈远，正应力愈大；靠近中性轴处，正应力很小。,y,z,C,因此靠近,中性轴处的材料工作时未充分发挥作用。,如：矩形截面改为工字形截面，可提高,W,z,所以应将尽可能多的,材料配置在远离中性轴处的部位。,y,z,C,其他如箱形截面、,T,形截面、,槽,形截面等都可提高,W,z,。,一般可用,W,z,/,A,来评价,梁截面形状的合理性和经济性。,若,W,z,/,A,较大，则表示梁截面形状较为合理性，较为经济。,矩形截面：,可知：,矩形,截面较,圆形,截面更为,合理,。,圆形截面：设直径,d,=,h,工字钢、,槽,钢：,此外在考虑梁的,合理截面形状,时，还应考虑到,材料的力学性能,。,对,t,=,c,的,塑性,材料，一般采用,对称于中性轴,的截面，,此时有：,tmax,=,cmax,=,比较合理。,如,T,形截面，,并使中性轴偏向于强度较弱的一边。,对,t,c,的,脆性,材料，一般采用,不对称于中性轴,的截面，,tmax,=,t,，,cmax,=,c,设计时应有：,由：,即：,可使最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。,对钢筋混凝土梁，应将钢筋置于梁中较大拉应力处。,三、,等强度梁的概念,一般,M,=,M,(,x,),若在,A-A,处再开一缺口，使截面对称，则成为轴向拉伸：,钢板安全。,可见应,避免,偏心载荷。,F,F,b,t,A,A,F,N,M,A,A,F,a,b,例,9,图示悬臂梁，,F,=10,kN,，,l,=2 m,，,e,=,l,/10,，,a,=30,，,材料,=160,MPa,。,试选择工字钢型号,。,解,：,(1),外力分析,将,F,向,B,截面形心简化：,梁的计算简图：,轴向,力：,F,C,=,F,x,=,F,cos,a,集中力偶矩：,M,e,=,e,F,cos,a,横向力：,F,y,=,F,sin,a,可知：梁为拉伸和弯曲组合变形。,(2),内力分析,作,F,N,图,：,F,N,=8.66,k,N,由强度条件,：,得：,作,M,图,：,M,max,=8.27,k,N,m,(3),初选梁,工字钢型号,查附录,E,表,4,：选,No,12.6,工字钢，,W,z,=77.5 cm,3,，,A,=18.118 cm,2,(4),强度校核,时，需重新选择。,