第8章 常微分方程—8-2(齐次、一阶线性).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第,8,章 常微分方程,高等数学,A,8.2,一阶微分方程,8.2.2,齐次方程,8.2.3,一阶线性微分方程,8.2,一阶微分方程,8.2.2,齐次方程,8.2.3,一阶线性微分方程,可化为齐次方程的方程,齐次方程,基本形式和求解方法,例题,基本形式和解法,例 题,一阶线性微分方程题解,基本形式,例题,习题,一阶齐次线性方程的解法,一阶非齐次线性方程的解法,8.2.1,可分离变量的方程（,复习上次课的相关内容,）,一阶微分方程,8.2.2,齐次方程,8.2.3,一阶线性微分方程,习 题,由光的反射定律,:,可得 ,OMA,=,OAM,=,模型,1,探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由,解,:,将光源所在点取作坐标原点,并设,入射角,=,反射角,能的要求,在其旋转轴,(,x,轴,),上一点,O,处发出的一切光线，,xOy,坐标面上的一条曲线,L,绕,x,轴旋转而成,按聚光性,经它反射后都与旋转轴平行,.,求曲线,L,的方程,.,于是方程化为,(,齐次方程,),从而,AO,=,OM,而,AO,于是得微分方程,:,积分得,故有,得,(,抛物线,),故反射镜面为旋转抛物面,.,齐次方程的定义和解法,的微分方程称为,齐次方程,.,2.,解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.,定义,齐次方程的定义和解法,例,1,求解微分方程,例,2,解微分方程,例,3,求解微分方程,例,例,例,例,1,求解微分方程,微分方程的解为,解,例题,例,2.,解微分方程,解,:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明,:,显然,x,=0,y,=0,y=x,也是原方程的解,但在,(,C,为任意常数,),求解过程中丢失了,.,例,3,求解微分方程,解,例题,微分方程的解为,例题,于是，原方程化为,两边积分，得,即,例,4,解：,例,原方程可化为,代入原方程得,解：,即,所以通解为,例,6,原方程可化为,代入上述方程得,解,即,分离变量并积分得,可化为齐次的方程,（其中,h,和,k,是待定的常数）,2.,解法,定义,有唯一一组解,.,得通解代回,未必有解,上述方法不能用,.,可化为齐次的方程,可分离变量的微分方程,.,可分离变量的微分方程,.,可分离变量,.,可化为齐次的方程,例,例,解,代入原方程得,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,例,解,分离变量并积分得,于是，原方程变为,联立方程组,解之，得,可化为齐次方程的,可化为齐次方程的,例,解,两边积分，得,即,在闭合回路中,所有支路上的电压降为,0,模型,2.,有一电路如图所示,电阻,R,和电,解,:,列方程,.,已知经过电阻,R,的电压降为,R i,经过,L,的电压降为,由回路电压定律,:,其中电源,求电流,感,L,都是常量,如何解方程？,因此有,即,初始条件,:,一阶线性微分方程,的标准形式,:,上方程称为,齐次的,.,上方程称为,非齐次的,.,一阶线性微分方程的标准形式,例如,线性的,;,非线性的,.,齐次方程的通解为,1.,线性齐次方程,一阶线性齐次微分方程的,解法,(,使用分离变量法,),2.,线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,:,一阶线性非齐次微分方程的,解法,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,.,实质,:,未知函数的变量代换,.,作变换,一阶线性非齐次微分方程的,解法,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶线性非齐次微分方程的,解法,解方程,:,由初始条件,:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,暂态电流,稳态电流,因此所求电流函数为,解的意义,:,例,10,例,13,用适当的变量代换解下列微分方程,:,例,11,例,12,一阶线性微分方程的例题,解,例,10,例,11,.,解方程,解,:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解,.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,一阶线性微分方程的例题,例,12,原方程可以改写为,这是一个以,x,为自变量的非线性方程,.,把,x,看着,y,的函数，该方程进一步变形为,这是一个以,x,为函数,y,为自变量的一阶线性方程,.,解,整理得原方程的通解,解,分离变量法得,所求通解为,例,13,用适当的变量代换解下列微分方程,:,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,例,14.,设河边点,O,的正对岸为点,A,河宽,OA,=,h,一鸭子从点,A,游向点,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点,O,提示,:,如图所示建立坐标系,.,设时刻,t,鸭子位于点,P,(,x,y,),设鸭子,(,在静水中,),的游速大小为,b,求鸭子游动的轨迹方程,.,O,水流速度大小为,a,两岸,则,则鸭子游速,b,为,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,(,自己求解,),(,齐次方程,),思考题,已知 ，求,.,