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,*,*,3.1,电路的图,1.,图,：支路与结点的集合。每个支路的两端都联接到相应的结点上。,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,+,i,2,i,3,i,4,i,1,i,5,i,6,u,S,1,2,3,4,1,2,3,4,电路的图,第三章 电阻电路的一般分析,任何包含图中的所有结点，而没有任何一个回路的连通图。,3.,树：,电路的图,5,4,3,4,2,1,5,1,2,3,4,5,树,1,2,3,4,5,6,7,8,5.,平面图,：打了结点的是平面图。,4.,有向图,：如果把图中的电压或电流标出方向，可分为,两种，一种叫电压加权图，一种叫电流加权图。,有向图,电路的图,在定向图中可列关联矩阵,A,a,。,什么是关联矩阵？,定义：结点与支路之间连接方式的矩阵。它反映了结点有 哪几条支路，支路连接了哪个结点。,1,表示支路,k,与结点,j,关联并背离此结点。,0,表示支路,k,与结点,j,无关,a,jk,=,-1,表示支路,k,与结点,j,关联并指向此结点,2.,列写方法：,3,4,2,1,1,2,3,4,5,6,i,2,i,1,i,3,i,4,i,5,i,6,图的,结点和支路的关联性质,-1,-1,1 0 0 0,0 0 -1,-1,0 1,1 0 0 1 1 0,0 1 0 0 -1,-1,1 2 3 4 5 6,1,2,3,4,=,A,a,它的关联矩阵为：,3.,降阶矩阵：,把,A,a,的任,一行划掉，余下的,(n-1),b,矩阵用,A,表示，并称为降阶矩阵。,0 1 0 0 -1,-1,-1,-1,1 0 0 0,0 0 -1,-1,0 1,1 0 0 1 1 0,=,A,二,.,基本回路矩阵,定义：某一些树支与一条连支构成的回路（一定是单一回路）。,构成树的支路叫,树支,；不构成树的支路叫,连支,。,电路的图,树,树支,连支,2.,特点：,（,1,）符合,KVL,定律：,u=0,（,2,）基本回路中必须有一条连支。,（,3,）基本回路电流的方向与连支电流方向相同。,（,4,）基本回路数目,m=L,（,连支数）,=b,（,支路数）,-,（,n-1,）（,独立结点数）。,1,表示支路,k,与,回路,j,关联并方向一致。,0,表示支路,k,与,回路,j,无关,b,jk,=,-1,表示支路,k,与,回路,j,关联并方向不一致。,3.,基本回路矩阵：,.,设有向图的独立回路数为,l,，,支路数为,b,，,并且所有独立回路和支路均加以编号，则该有向图的回路矩阵是一个,(l,b),的,矩阵，用,B,表示。,B,的行对应一个回路，列对应支路，它的任一元素,b,jk,定义为：,列,KVL,方程：,基本回路矩阵,电压加权,=KVL,定律,3,4,2,1,1,2,3,4,5,6,i,2,i,1,i,3,i,4,i,5,i,6,有向图,写出回路矩阵。,例：,割集,:,对于一个连通图，如任选一个树，则与树对应的连支集合不能构成一个割集，即没有树支的任何连支的集合不能构成割集。而它的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。,3,4,2,1,1,2,3,4,5,6,有向图,2,1,3,由树的一条树支与相应的一些连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。,1.,基本割集,3,1,2,4,5,6,7,8,电路的连通图,选,2,，,3,，,4,，,6,支路为树支。,3,1,2,4,5,6,7,8,3,1,2,4,5,6,7,8,3,1,2,4,5,6,7,8,3,1,2,4,5,6,7,8,由于,KCL,适用于任何一个闭合面，因此属于同一个割集的所有支路的电流应满足,KCL,。,2.,对基本割集有：,i=0,3.,割集矩阵元素,1,表示支路,k,与割集,j,关联并方向一致。,0,表示支路,k,与割集,j,无关,q,jk,=,-1,表示支路,k,与,回路,j,关联并方向相反。,设有向图的结点数为,n,，,支路数为,b,，,则该图的独立割集数为,(n-1),。,对每个割集编号，并指定一个割集方向。可得割集矩阵为一个,(n-1),b,的,矩阵，用,Q,表示。,Q,的行对应割集，列对应支路，它的任一元素定义为：,3,4,2,1,1,2,3,4,5,6,有向图,例：,写出割集矩阵。,基本割集方程,+,基本回路方程,=,未知数的个数,有：,Q i=0,属于一个割集所有支路电流的代数和等于零。,Q i=,-1,-1,1 0 0 0,1 0 0 1 1 0,-1,-1,0 -1 0 1,i,1,i,2,i,3,i,4,i,5,i,6,=,-i,1,-i,2,+i,3,i,1,+i,4,+i,5,-i,1,-i,2,-i,4,+i,6,=,0,0,0,3.2 KCL,，,KVL,的独立方程,1.KCL,独立方程,对于具有,n,个,结点的电路,在任意,(n-1),个结点上可以列出,(n-1),个独立的,KCL,方程。,相应的,(n-1),个结点称为独立结点。,3,4,2,1,1,2,3,4,5,6,-i,1,-i,2,+i,3,=0,-i,3,i,4,+i,6,=0,i,1,+i,4,+i,5,=0,i,2,-i,5,-i,6,=0,2.KVL,独立方程,一个电路的,KVL,独立方程等于它的独立回路数。,对于图的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外其它支路均由树支组成。这种回路称为单连支回路或基本回路。,平面图的全部网孔是一组独立回路。,3.3,支路电流法,(branch current method),举例说明：,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,+,i,2,i,3,i,4,i,1,i,5,i,6,u,S,1,2,3,4,b,=6,n,=4,独立方程数应为,2,b=,12,个。,支路电流法,：,以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,+,i,2,i,3,i,4,i,1,i,5,i,6,u,S,1,2,3,4,(1),标定各支路电流、电压的参考方向,u,1,=,R,1,i,1,，,u,2,=,R,2,i,2,，,u,3,=,R,3,i,3,，,u,4,=,R,4,i,4,，,u,5,=,R,5,i,5,，,u,6,=,u,S,+,R,6,i,6,(a),(,b,=6,，,6,个方程，关联参考方向,),(2),对节点，根据,KCL,列方程,节点,1,：,i,1,+,i,2,i,6,=0,节点,2,：,i,2,+,i,3,+,i,4,=0,节点,3,：,i,4,i,5,+,i,6,=0,节点,4,：,i,1,i,3,+,i,5,=0,(b),(,出为正，进为负,),3,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,+,i,2,i,3,i,4,i,1,i,5,i,6,u,S,1,2,3,4,(3),选定图示的,3,个回路（网孔）,回路,1,：,u,1,+,u,2,+,u,3,=0,回路,2,：,u,3,+,u,4,u,5,=0,回路,3,：,u,1,+,u,5,+,u,6,=0,(3),独立回路,：独立方程所对应的回路。,1,2,独立节点：,与独立方程对应的节点。,任选,(,n,1),个节点即为独立节点。,尚缺,2,b,-,b,-(,n,-1)=,b,-(,n,-1)=6-(4-1)=3,个独立方程。,i,1,+,i,2,i,6,=0,i,2,+,i,3,+,i,4,=0,i,4,i,5,+,i,6,=0,R,1,i,1,+,R,2,i,2,+,R,3,i,3,=0,R,3,i,3,+,R,4,i,4,R,5,i,5,=0,R,1,i,1,+,R,5,i,5,+,R,6,i,6,u,S,=0,KCL,KVL,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,+,i,2,i,3,i,4,i,1,i,5,i,6,u,S,3,1,2,3,4,1,2,支路电流的方程如下：,支路电流法的一般步骤：,(1),标定各支路电流、电压的参考方向；,(2),选定,(,n,1),个节点,，,列写其,KCL,方程；,(3),选定,b,(,n,1),个独立回路，列写其,KVL,方程；,(,元件特性代入,),(4),求解上述方程，得到,各,个支路电流；,例1.,I,1,I,3,U,S1,U,S2,R,1,R,2,R,3,b,a,+,+,I,2,U,S1,=130V,U,S2,=117V,R,1,=1,R,2,=0.6,R,3,=24,.,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解,1,2,1,2,3,例2.,列写如图电路的支路电流方程,(,含理想电流源支路,),。,i,1,i,3,u,S,i,S,R,1,R,2,R,3,b,a,+,+,i,2,i,5,i,4,u,c,R,4,解：,解：,列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。,1,2,4,i,1,i,3,u,S,i,1,R,1,R,2,R,3,b,a,+,+,i,2,i,6,i,5,u,c,i,4,R,4,+,R,5,u,2,+,u,2,例,3.,3,3.4 3.5,网孔（回路）电流法,(loop current method),支路电流法的未知数是各支路电流；网孔（回路）电流法的待求量是网孔（回路）电流。,假设网孔（回路）中有网孔（回路）电流存在，各支路电流用网孔（回路）电流的代数和求得。,网孔电流法仅适用于平面网络。回路电流法不仅适用于平面网络，也适用于立体网络。网孔电流法是回路电流法的特例。,回路电流法,：,以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,i,1,i,3,u,S1,u,S2,R,1,R,2,R,3,b,a,+,+,i,2,i,l,1,i,l,2,可见，回路电流法的独立方程数为,b,-,(,n,-,1),。,回路,1,：,R,1,i,l,1,+,R,2,(,i,l,1,-,i,l,2,),-,u,S1,+,u,S2,=0,回,路,2,：,R,2,(,i,l,2,-,i,l,1,)+,R,3,i,l,2,-,u,S2,=0,整理得，,(,R,1,+,R,2,),i,l,1,-,R,2,i,l,2,=,u,S1,-,u,S2,-,R,2,i,l,1,+(,R,2,+,R,3,),i,l,2,=,u,S2,电压与回路绕行方向一致时取“,+”,；否则取“,-,”,。,R,11,=R,1,+R,2,回路,1,的自电阻。等于回路,1,中所有电阻之和。,令,R,22,=R,2,+R,3,回路,2,的自电阻。等于回路,2,中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R,12,=R,21,=R,2,回路,1,、回路,2,之间的互电阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,u,l,1,=u,S1,-,u,S2,回路,1,中所有电压源电压的代数和。,u,l,2,=u,S2,回路,2,中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取,负,号；反之取,正,号。,R,11,i,l,1,+,R,12,i,l,2,=,u,S,l,1,R,12,i,l,1,+,R,22,i,l,2,=,u,S,l,2,由此得标准形式的方程：,一般情况，对于具有,l=b,-,(,n,-,1),个回路的电路，有,其中,R,kk,:,自电阻,(,为正,),，,k,=1,2,l,(,绕行方向取参考方向,),。,R,jk,:,互电阻,+:,流过互阻两个回路电流方向相同,-,:,流过互阻两个回路电流方向相反,0:,无关,对于不含受控源的线性网络,R,jk,=,R,kj,系数矩阵为对称阵。,R,11,i,l,1,+R,12,i,l,1,+R,1,l,i,ll,=u,S,l,1,R,21,i,l,1,+R,22,i,l,1,+R,2,l,i,ll,=u,S,l,2,R,l,1,i,l,1,+R,l,2,i,l,1,+,R,ll,i,ll,=,u,S,ll,回路电流法的一般步骤：,(1),选定,l=b,-,(,n,-,1),个独立回路，并确定其绕行方向；,(2),对,l,个独立回路，以回路电流为未知量，列写其,KVL,方程；,(3),求解上述方程，得到,l,个回路电流；,(5),其它分析。,(4),求各支路电流,(,用回路电流表示,),；,网孔电流法,：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。,例,1.,用回路电流法求各支路电流。,解：,I,a,I,c,I,b,+,_,U,S2,+,_,U,S1,I,1,I,2,I,3,R,1,R,2,R,3,+,_,U,S4,R,4,I,4,例,2.,(1),用网孔电流法确定如图所示电路中每个电压源相应的功率。,（,2,）计算,8,电阻上的功率。,+,_,+,_,40V,+,_,8,6,2,6,4,20V,u,0,解：,i,a,i,b,i,c,例,3.,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。,+,_,2V,3,U,2,+,+,3,U,2,1,2,1,2,I,1,I,2,I,3,I,4,I,5,I,a,I,b,I,c,解,：,例,4.,用网孔电流法确定如图所示电路中,4,电阻上的功率损耗。,i,1,15,i,0,+,5,1,20,4,+,50V,i,2,i,3,i,0,解：,假设电流源两端的电压为,U.,利用电流源的电流,i,s,已知这一条件，把,i,s,表示成回路电流的代数和。,(2),将电流源支路电流定为某一回路电流，使电流源支路只与一个回路相关。,对含有独立电流源或受控电流源支路，列回路方程时，有两种处理方法：,当电路中含有理想受控源支路时，还需多加一个辅助方程，把控制量用回路电流量表示出来。,例,5.,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,I,1,I,2,I,3,_,+,_,U,S1,U,S2,R,1,R,2,R,5,R,3,R,4,I,S,_,+,U,i,+,I,1,I,2,_,+,_,U,S1,U,S2,R,1,R,2,R,5,R,3,R,4,I,S,_,+,U,i,+,I,3,（,1,）电路中如果有电流源，列,KVL,方程时，尽量先把电流源转换为电压源。,（,2,）,尽量选理想电流源为非公用支路。,（,3,）如果理想电流源不能成为非公用支路，即拉不出来，则设它二端电压为,U,，,再列网孔方程，加一个,KCL,方程。,（,4,）对于含有受控源的支路，先将它作为独立源处理。列出方程后将控制量表示的受控源移至方程的左边，即整理后方程右边只放独立电源，受控源是作为一个负载处理的。,应用回路电流法时的注意事项：,网,孔电流法适用于网孔少，结点多的情况。,例,6.,已知如图所示,;,求,:,列网孔电流方程,.,解,:,+,+,R,1,R,2,R,3,R,4,a,I,1,U,S1,U,S2,I,1,任意选择参考点：其它节点与参考点的电位差即是节点电压,(,位,),，方向为从独立节点指向参考节点。,(,u,A,-,u,B,)+,u,B,-,u,A,=0,KVL,自动满足,u,A,-,u,B,u,A,u,B,节点电压法,：,以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。,可见，节点电压法的独立方程数为,(,n,-,1),个。与支路电流法相比，,方程数可减少,b,-,(,n,-,1,）,个,。,3.6,节点电压法,(node voltage method),举例说明：,(2),列,KCL,方程：,i,R,出,=,i,S,入,i,1,+,i,2,+i,3,+i,4,=,i,S1,-,i,S2,+i,S3,-,i,3,-,i,4,+i,5,=,-,i,S3,u,n1,u,n2,i,S1,i,S2,i,S3,R,1,i,1,i,2,i,3,i,4,i,5,R,2,R,5,R,3,R,4,0,1,2,(1),选定参考节点，标明其余,n,-1,个独立节点的电压,代入支路特性：,整理，得,令,G,k,=1/,R,k,，,k,=1,2,3,4,5,上式简记为,G,11,u,n1,+,G,12,u,n2,=,i,Sn1,G,21,u,n1,+,G,22,u,n2,=,i,Sn2,其中,G,11,=,G,1,+,G,2,+,G,3,+,G,4,节点1的自电导，等于接在节点1上所有支路的电导之和。,G,22,=,G,3,+,G,4,+,G,5,节点2的自电导，等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G,12,=,G,21,=,-(,G,3,+,G,4,),节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,i,Sn1,=,i,S1,-,i,S2,+,i,S3,流入节点1的电流源电流的代数和。,i,Sn2,=,-,i,S3,流入节点2的电流源电流的代数和。,*自电导总为正，互电导总为负。,*电流源支路电导为零。,*流入节点取正号，流出取负号。,由节点电压方程求得各支路电压后，各支路电流可用节点电压表示：,u,n1,u,n2,i,S1,i,S2,i,S3,R,1,i,1,i,2,i,3,i,4,i,5,R,2,R,5,R,3,R,4,0,1,2,一般情况：,G,11,u,n1,+,G,12,u,n2,+,G,1,n,-,1,u,n,n,-,1,=,i,Sn1,G,21,u,n1,+,G,22,u,n2,+,G,2,n,-1,u,n,n,-1,=,i,Sn2,G,n,-,1,1,u,n1,+,G,n,-,1,2,u,n2,+,G,n,-1,n,u,n,n,-,1,=,i,Sn,n,-,1,其中,G,ii,自电导，,等于接在节点,i,上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。,总为,正,。,*当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。,i,Sn,i,流入节点,i,的所有电流源电流的代数和,(,包括由,电压源与电阻串联支路等效的电流源,),。,G,ij,=,G,ji,互电导，,等于接在节点,i,与节点,j,之间的所支路的电导之和，并冠以,负,号。,节点电压法的一般步骤：,（,1,）选定参考节点，往往选多条支路的汇集点。给出其余结点的编号。,（,4,）对,n,-,1,个独立节点，以节点电压为未知量，列写其,KCL,方程；,（,5,）求解上述方程，得到,n,-,1,个节点电压；,（,7,）其它分析。,（,6,）回原图求各支路电流和电压；,（,2,）找出各结点的自电导，互电导：,G,11,，,G,22,，,G,12,，,G,21,等,在没有受控源情况，,G,12,=G,21,。,若有受控源则不相等。,（,3,）当电路中有受控源时，需增补方程，把控制量用结点电压表示。,例,2,.,列写下图含,VCCS,电路的节点电压方程。,i,S1,R,1,R,3,R,2,g,m,u,R,2,+,u,R,2,_,1,2,解,：,用节点法求各支路电流。,例3.,20k,10k,40k,20k,40k,+120V,-,240V,U,A,U,B,I,4,I,2,I,1,I,3,I,5,解：,试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。,方法,1:,方法,2,：,G,3,G,1,G,4,G,5,G,2,+,_,Us,2,3,1,G,3,G,1,G,4,G,5,G,2,+,_,Us,2,3,1,I,例4.,例,5,用,节点电压法求图示电路中的,U,3,。,+,_,u,3,+,_,+,_,10,i,0,5,40,50,4A,50V,100,i,0,解：,0,1,2,3,i,